函数f(x)=ax (b/x)(a,b∈R)的性质及应用

一、函数f(x) =ax bx(a ,b∈R)的性质1.当a =b =0时 ,f(x) =0 (x≠ 0 )是常数函数 ,既是奇函数又是偶函数 ,其图象是x轴 (不包括原点 ) .2 .当b =0 ,a≠ 0时 ,f(x) =ax(x≠ 0 )是一次函数且是奇函数 ,其图象是一条直线 (不包括原点 ) .3.当a =0 ,b≠ 0时 ,f(x) =bx(x≠ 0 )是反比例函数且是奇函数 ,其图象是双曲线 .4 .当a≠ 0 ,b≠ 0时 :(1)当a >0 ,b <0时 ,f(x) =ax bx(x≠ 0 )是奇函数且在区间 (-∞ ,0 )和 (0 , ∞ )上是增函数 .(2 )当a <0 ,b >0时 ,f(x) =ax bx(x≠ 0 )是奇函数且在区间 (-∞ ,0 )和 (0 , ∞ )上是减函数 .(3)当a …     

一类函数不定积分的简捷求法

本文给出了一类函数不定积分的简捷求法 ,用此法求形如 :∫p (x)u (x)dx,u (x) ″=βu (x) ,β≠ 0 ,p (x)是多项式 ;∫u (x)v (x)dx,u (x) =au (x) ,v (x) =βv (x) ,α≠ -β;∫[u (x) ]3dx,u (x)″ =βu(x) ,β≠ 0等类型的不定积分较方便 ,并给出了理论依据 ,又通过实例指出了方法的具体运用。     

有两项相等且满足a_(n+1)=p+q/a_n的数列的分类

文 [1 ]中给出了满足递推关系an+1 =p+ qan( 1 )(其中 p 为非零常数 ,q为正常数 )的数列{an}的通项公式 ,并据此证明了当此数列有两项相等时 ,其必为常数列 .下面我们将取消“p为非零常数 ,q为正常数”这一限制而考虑更广泛的情形 ,得出有两项相等且满足(1)的数列的完全分类 .主要结论是 :定理 1设 (实或复 )数列 {an}满足( 1 )且 a1 =a(≠ 0 ) ,其中 p,q为常数且 q≠ 0 ,方程 x=p+ qx的两根 (称为数列 {an}的特征根 )为 x1 和 x2 ,则当 p2 + 4q≠ 0即 x1 ≠ x2时 ,{an}的通项为an=( a- x2 ) xn1 - ( a- x1 ) xn2( a- x2 ) xn- 1 1 - ( a- x…     

函数f(x)=ax+b/x(a,b∈R)的性质及应用

一、函数f(x)=ax b/x(a,b∈R)的性质 1.当a=b=0时,f(x)=0(x≠0)是常数函数,既是奇函数又是偶函数,其图象是x轴(不包括原点). 2.当b=0,a≠0时,f(x)=ax(x≠0)是一次函数且是奇函数,其图象是一条直线(不包括原点).     

求二次函数解析式的策略

求二次函数解析式既是初中数学的重点, 也是中考中的热点,因此,学会并掌握求二次函数解析式的方法是必要的．二次函数的解析式常见的有: 一般式:y=ax2+bx+c(a≠0) 顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),(h,k) 是抛物线顶点．两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) x1和x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标; 确定二次函数的解析式,实质上是要确定上述式子中的三个常数,因此需要三个独立的已知条件建立三个方程组成方程组,才能求解．下面以中考试题为例,供同学们参考．     

构造一元二次方程解题时应注意的问题

一般而言,对于二次方程ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0(a,b,c为常数,且a≠0),其中的x1,x2可看作方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根的前提是x1≠x2,这是因为当x1=x2时,x1与x2并不能完全保证是方程ax2+bx+c=0的两根,此时存在两种可能:     

一个容易忽视的解(高一、高二、高三)

题a、b为常数,且a≠0,函数f(x)=x/(ax+b),同时满足条件: (1)f(2)=1; (2)方程f(x)=x有唯一的解.求a、b的值.     

构造一元二次方程巧求代数式的值

在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0、a、b、c为常数)中,当x=1时,a十b+c=0;反过来,当a+b+c=0时,就有x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根. 由此类推到:如果am2+bm+c=0,an2+bn+c=0,且m≠n那么就知道m、n是一元     

ax=b型方程的解及应用

方程ax=b(a、b为常数)中,(1)a≠0时,它为一元一次方程,这时有唯一一解x=b/a;(2)a=0时,它不是一元一次方程,它的解分两种情况:①a=0,b=0时,则有0·x=0,这时方程有无数多个解;②a=0,b≠0时,则有0·x=b,这时方程无解.     

一道高考题的几种证法

88年高考数学试题(理科)第六题除了标准答案中提供的三种证法外,还有几种较好证法。现介绍如下,供读者参考。题目:给定确数a,a≠0,且a≠1,设函数y=(x-1)/(ax-1)(x∈R,且x≠1/a),证明(1)经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴;(2)这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形。     

学习一元积分学

一元积分学是积分学的基础。主要有:概念(原函数、不定积分与定积分)、计算方法和应用(几何与物理的)三部分内容。 一、不定积分 在(a,b)上定义的函数f(x),存在F(x),满足F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx F(x)就是f(x)的一个原函数。对任意常数C,表达式     

巧用特殊根“1”解题

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当有一个根是“1”时,根据方程根的定义得a+b+c=0,反之,如果a+b+c=0时,方程的根又分别是什么呢?证明:∵a+b+c=0∴b=-a-c则ax2+bx+c=0变为ax2+(-a-c)x+c=0可分解为(ax-c)(x-1)=0解得:x1=1x2=ac也就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,当a+b+c=0时,有一个根是1,另一个根是c/a,借这个特殊性质来巧解题。1、巧求一元二次方程的两个根例1解关于x的方程:mx2-(m-n)x-n=0(m≠0)解:∵m-(m-n)-n=0∴x1=1x2=-(mn).2、巧求代数式的值已知:一元二次方程(ab-2b)x2+2(b-a)x+2a-ab=0有两个相等的实数根,求1a+1b的值。解:方程(ab-2b)x2+2…     

二次函数的研究

内容概述二次函数的解析式由条件确定二次函数的解析式需要三个独立的条件,一般有如下三种特定形式:1.一般式y=ax2+bx+c(a≠0)2.顶点式y=a(x-m)2+h(a≠0)3.分解式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)二次函数的最值对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)若自变量x为任意实数,其最值情况为:当a>0,x=-b/2a,fmin=4ac-b2/4a;当a<0,x=-b/2a,fmax=4ac-b2/4a.若自变量x在范围x1≤x≤x2上取值时,其最值情况为:对a>0,有如下结论:     

线性分式函数的图像和性质讨论

在高中代数中,常常遇见形如y=(ax b)/(cx d)(1)(c≠0,a~2 b~2≠0,bc-ad≠0)的函数,我们称为线性分式函数,其中常数c≠0,是因为若c=0,这就不是分式函数,而是一次函数或常数了,若a~2 b~2=0,则a=b=0,y=0是一个常数,或称常值函数,而若bc=ad则a/c=b/d,函数(1)的解析式变成y=(a/c x b/c)/(x d/c)=(b/d x b/c)/(x d/c)=(b/d(x d/c))/(x d/c)=b/d,也     

函数方程研究

我们知道,求不定积分、解微分方程都是求函数的过程。本文用抽象方法证明以下5个常用的基本函数方程(其中a为常数,f(x)为连续函数)。     

都是“a”惹的祸——一元二次方程常见错解剖析

ax~2+bx+c=0(a、b、c是常数,a≠0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式,这里的条件是a≠0.在解决问题时,同学们往往会忽略这一个隐含条件,导致解题失误.例1:已知方程kx~2-(2k+1)x+k=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.错解:因为方程有两个不相等的实数根,所以b~2-4ac>0,即【-(2k+1)】~2-4k~2>     

一类函数不定积分的简捷求法

本文给出了一类函数不定积分的简捷求法，用此法求形如∫p(x)u(x)dx,u(x)^〃=βu(x),β≠0,p(x)是多基式；∫u(x)v(x)dx,u(x)^〃=au(x),v(x)^〃=βv(x),α≠-β；∫[u（x）]^3dx,u(x)^〃=βu(x),β≠0等类型的不定积分较方便，并给出了理论依据，又通过实例指出了方法的具体运用。     

整系数一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)整数解存在性的讨论

定理1.整系数一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)存在整数解x=0的条件是c=0;存在整数解x=1的条件是a+b+c=0;存在整数解x=-1的条件是a-b+c=0。证明:x=0是ax~2+bx+c=0的解     

一道IMO备选题的新证法

文 [1 ]第 1 1 7页是由波兰提供的第 35届IMO备选题 :对 x≠ 0 ,f( x) =x2 12 x ,定义 f(0 ) ( x) =x,和对所有正整数 n和 x≠ 0 ,f(n) ( x) =f( f(n- 1 ) ( x) ) ,求证 :对所有非负整数 n和 x≠ - 1 ,0 ,1 ,有f(n) ( x)f(n 1 ) ( x) =1 1f x 1x- 12 n .原文用数学归纳法直接给以证明 ,本文从数列角度给出新的简单证明 .证明　记 a0 =f(0 ) ( x) ,an=f(n) ( x) ,则a0 =x,an=f ( an- 1 ) =a2n- 1 12 an- 1,从而 an- 1 =( an- 1 - 1 ) 22 an- 1,an 1 =( an- 1 1 ) 22 an- 1,相除得　 an- 1an 1 =an- 1 - 1an- 1 12 ,重复以上办…     

学习一元二次方程三注意

一元二次方程是中学数学的主要内容,在初中代数中占有很重要的地位.同学们在学习这部分知识时,需要注意以下三个问题.一、一元二次方程成立的条件一元二次方程的一般形式是ax2 bx c=0(a≠0),其中a≠0是一元二次方程成立的必要条件.例1关于x的方程m2x2 (2m 1)x 1=0有两个不相等的实数根,求m的取值范围.错解:由题意得Δ=(2m 1)2-4m2=4m 1>0,解得m>-14.分析:解题时忽视了m2≠0这个条件,导致错解.解:因为原方程有两个不相等的实数根,所以原方程满足m2≠0且Δ=(2m 1)2-4m2=4m 1>0,解得m>-14且m≠0.[练习]m为何值时,关于x的方程m x2-3m x m 5=0有…