函数观点下的不等式证明

不等式证明是中学数学中的常见问题,在数学竞赛中更是经常碰到.常用的不等式证明方法有初等数学中的综合法(这里常常用到一些重要的不等式)、分析法、比较法和数学归纳法等,高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、极大、极小值等方法.本文介绍构造     

构造函数简证和与积型不等式

与n有关的和与积型不等式的证明题,通常是应用数学归纳法证明.但如果通过构造函数,利用函数的单调性,往往能把握问题的本质,使证明简洁明快.     

构造函数利用其单调性解题举隅

函数的单调性是函数的核心内容之一,它几乎渗透到数学的各个领域,许多非函数问题通过构造函数,也可以利用函数的单调性予以解决．因此在解题教学中,应有意识地让学生在新的综合性的情境下,运用函数单调性知识、方法、技能去解决新问题,以提高学生的观察、分析、推理、运算能力及自觉地运用函数单调性解决问题的能力．１　构造函数处理与自然数有关的数学命题与自然数有关的数学命题通常采用数学归纳法来研究或证明,但如果能从命题中抽象出模型函数,利用函数的单调性往往可使解题简捷、巧妙,令人耳目一新．如若不等式两端结构类似…     

数学归纳法中的函数单调性

2004年有两个省（市）的高考数学题的把关题中考查了数学归纳法，在用数学归纳法证明时都不约而同地用了函数的单调性，给人留下了深刻的印象。函数的单调性与数学归纳法如此亲近，这是偶然的，还是有某种必然联系？     

浅谈利用导数证明不等式问题

不等式的证明是中学数学的重要内容之一 ,也是难点 .其常用方法有 :比较法、综合法、分析法、重要不等式法、数学归纳法等 .而有一类题目 ,用上述传统方法解决是困难的 ,在学习了导数的应用后 ,我们可以先用导数方法证明函数的单调性 ,再用函数单调性的性质去证明不等式 .这一类综合试题 ,通过将新课程内容和传统内容相结合 ,可以加强能力考查力度 ,加强试题的综合性 ,同时可以使试题具有比较广泛的实际意义 ,它体现了导数作为工具分析和解决一些函数单调性和不等式问题的方法 ,这类问题用传统教材的方法是无法解决的 .所以这类问题应引起我…     

几种类型的不等式证明

正不等式的证明题,无论它以什么形式展现,其常规的证明方法如下:利用函数的单调性证明;重要不等式证明;放缩法;数学归纳法等.不等式结构能提示我们做"最近选择",不等式证明的方法最适合证明什么类型的不等式,需要我们去整合.笔者提供几类案例,供参考.一、常数型不等式证明所谓常数型不等式,是指不等式一边是代数式而另一边是常数的     

函数单调性在解题中的应用

函数的单调性在高考中是考查热点,对于函数单调性的考查常常带有一些隐蔽性,利用单调性解决一些其他数学问题是考查热点,即函数单调性的应用.以下就利用函数的单调性求函数的最值、解不等式举例说明.     

例谈不等式的证明方法

综观2007年全国高考数学的37套试卷,不等式证明是考试的热点,尤其是全国Ⅱ卷,出现了第21、第22题这两道不等式证明试题。故而,应熟练掌握一些不等式的证明方法。证明不等式的方法通常有比较法、分析法、综合法、放缩法、数学归纳法、构造法(构造函数,利用函数单调性)、反证法等。当然,很多不等式证明会同时用到几种方法。     

数列不等式中的放缩技巧

正放缩法证明数列不等式是高考数学命题的热点和难点,通常以数列为载体,融合函数、不等式等知识。需要注意的是,数列可以看成是一种特殊的函数,解题时应充分利用这一特征。其中数列与不等式的综合问题常利用放缩法、比较法或数学归纳法证明来解决问题。以下,本文从放缩法在数列证明的运用谈一点浅见。一、利用数列特点,建立函数模型,借助函数单调性及不等式关系,进行放缩     

关于递归数列的有界性和单调性

有界性和单调性是数列的基本问题,也是高等数学的起点之一(单调有界有极限).递归数列的有界性和单调性命题知识综合性较强,往往与不等式、函数性质以及数学归纳法结合在一起,且解法灵活多变,确是考核学生能力的一类很好的命题. 下面,我们首先提出这类命题的数学分析背景及几何解释,在此基础上,我们就能     

从一道不等式的多种证法谈数学主元思想的培养

证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、数学归纳法、放缩法、换元法、构造法、函数单调性法,等等．如何证明不等式一般没有固定的模式,对一道具体的证明不等式问题,不能生搬硬套,而要对不等式的结构特征进行分析,从多角度思考问题,捕捉题目所给的信息,寻找解题方法．     

解抽象函数题的方法

抽象函数是没有给出具体解析式的函数,内容一般涉及到函数的单调性、周期性、奇偶性,不等式性质、解不等式或不等式组、数学归纳法等;题型常有求值、求字母范围、比较函数值的大小、解不等式、证明和开放型题(缺少条件或结论的题)等.掌握抽象函数问题的解法,可以加深我们对函数本质的认识,提高分析和解决问题的能力 一、取特殊值法 例1 已知f(x)在(0,+∞)上有定义,且满足条件:(1)f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(x)≥1/x2;     

自然数函数单调性的应用

与自然数n有关的不等式的证明通常采用数学归纳法。这里我们给出可与数学归纳法相媲美的新方法——自然数函数单调性法。定理若n、n_0∈N,且n>n_0,f(n)是自然数n的单调递增(或单调递减)函数且f(n_0)≥m(或≤M),则f(n)≥m(或≤M)。由函数的单调性知上面的定理是显然的,下面举例说明它的应用。例1 求证:当n是不小于3的整数时,有n~(n+1)>(n+1)~n。证明设f(n)=((n+1)~n)/(n~(n+1)),     

数列单调性在竞赛中的应用

数列是一种特殊的函数,对应函数的单调性,递增数列、递减数列分别属于递增函数、递减函数.在数学竞赛中数列不等式的证明及求最值等问题中常运用数列的单调性.     

构造函数证明一类数列和型不等式

我们把形如sum from k=1 to n f(k)相似文献   

运用数列的单调性证不等式

与自然数有关的不等式证明题，通常运用数学归纳法证明，但有时运用数列的单调性证明却很简捷。     

构造函数巧证不等式

构造思想方法是一种富有创造性的数学思想方法,纵观近几年高考题与竞赛试题,凡涉及与不等式有关的证明题,不仅综合性强,而且思维量大,直接证明相当繁杂．构造辅助函数证明不等式的关键是根据命题中题设条件的特征构造相应辅助函数,通过求导判断函数的单调性,利用函数的单调性进行证明．本文举例探讨构造辅助函数,利用函数的单调性证明不等式．     

构造单调函数 利用导数突围

最近的高三模拟考题中,经常出现一类以不等式为背景考查函数单调性的定义、应用导数求解函数单调性的问题.此类问题设计新颖,既考查函数单调性的定义,又考查函数导数的应用,是两个知识点的交汇融合;既考查函数方程的思想,又考查转化化归的思想,是数学思想方法的应用提升.可谓一举多得.求解此类问     

利用复数的除法证明三角不等式

三角不等式的证明方法很多,如比较法、利用辅助角法、利用判别式法、利用三角函数的单调性、利用不等式定理以及数学归纳法等等。本文介绍一种利用复数除法证明三角不等式的方法,此法简捷明快,易懂易掌握。     

用“构造法”求解函数与其导函数共存类不等式问题

<正>函数与导数以及不等式的交汇，一直是高考数学必考的一个重要内容，此类相关问题应引起我们的高度重视.一般地，如题设条件中给出函数f(x)与其导函数f ′(x)共存类不等式，那么处理此类问题时，需要先根据所给不等式灵活构造一个新函数，再依据求导知识分析新函数的单调性，最后通过运用新函数的单调性以及其他已知条件，即可顺利求解目标问题.