利用三角代换证明不等式

三角代换是一种重要的数学方法,特别当代数不等式的证明很棘手时,若能考虑进行三角代换,将代数不等式转化为三角不等式,进而利用三角函数的性质和众多的三角公式推证,往往起到化难为易、事半功倍之效．但怎样进行恰到好处的三角代换呢？必须对题目进行反复观察,广泛联想,确定恰当的代换途径．本文就如何根据代数式的特征选择三角代换方案,作一些探讨和总结．     

巧用几何图形证明不等式

一些代数不等式,用代数方法证明是较困难的,但若根据题设条件构造几何图形,运用几何方法,往往会得到巧妙直观的证明。本文介绍构造几种特殊的图形证明代数不等式,以供参考。一、构造正三角形例1 正数a、b、c、A、B、C满足条件a A=b B=c C=k,求证:aB bC cA相似文献   

构造几何图形证明不等式

不等式的证明方法很多,有时使人觉得扑朔迷离、无从下手或证法太繁．而构造几何图形证明不等式,却是十分巧妙且有效的方法,也体现了数形结合的优越性．本文介绍用几何法证明不等式的几种途径,读者可以体会到用几何方法证明不等式,思路清新、直观明快．     

构造几何图形证明不等式

高中数学教材(人教版2004年6月版)第二册,介绍了构造几何图形证明均值不等式,这是一种构思新颖,技巧性较强,能使问题直观、简捷地求解的方法,就证明不等式而言,最常选用的是特殊的、简单的几何图形.一、构造三角形证明不等式某些不等式通过对题设条件或结论进行分析,合理地构造出三角形,利用三角形的边长关系进行推理而获得证明.例1已知a,b,m均为正数,且aa/b.证明以a为直角边,b为斜边作Rt△ABC,延长AC至E,使CE=m,过E作DE⊥上AE交AB的延长线于点D,如图1.设BD=n,则n>m.过B作BF∥AE,交DE于F,因为△ABC∽△ADE,所以a/b=AC/AB=AE/AD=a+m/b+n因为n>m,所以a+m/b+m>a+m/b+n,所以a+m/b+m>a/b.YSW2006.12实战实例27     

利用三角代换证明代数不等式

不等式的证明是中学数学教学的难点之一,学生常觉难以入手.对于大量的条件不等式,常可选择适当的三角变换,借助于三角恒等式变形化简,达到证明的目的.     

巧构几何图形证明不等式

一些代数不等式,用代数方法证明是较困难的。但若根据题设条件,构造出特殊的几何图形,运用几何方法。往往会使问题得到直观巧妙的证明。下面介绍构造几种特殊图形证明代数不等式,以供读者参考。例1.正数a、b、c、A、B、C满足条件a+A=b+B=c+C=k。求证aB+bC+cA相似文献   

利用复数的除法证明三角不等式

三角不等式的证明方法很多,如比较法、利用辅助角法、利用判别式法、利用三角函数的单调性、利用不等式定理以及数学归纳法等等。本文介绍一种利用复数除法证明三角不等式的方法,此法简捷明快,易懂易掌握。     

几何图形在不等式证明中的妙用

不等式的证明方法灵活多变,综合性强,有些如用常规的代数方法,要么无从下手难以奏效,要么思维冗长过程繁琐,但若针对题设条件及其给出的数量关系进行观察、分析、联想,赋予特定的几何情境,构造与条件相适应的几何图形,利用几何直观与几何知识,则往往可使问题迅速解决.下面举例说明.     

三角不等式的证明

证明三角不等式主要有以下一些方法与思路: 1.分析法从结论出发,逐步追溯结论成立的充分条件,直到这充分条件就是已知条件或明显成立的不等式(或等式)为止。基本思路是:“执果索因”。这种方法,对于解决一些一时难以下手的条件不等式(或等式)是行之有效的。例1 已知 1/cosαcosβ tgαtgβ=tgγ,求证:cos2γ≤0。分析∵cos2γ=(1-tg~2γ)/(1 tg~2γ),而 1 tg~2γ>0,∴只须证明1-tg~2γ≤0。     

三角不等式的证明

在中等学校里是否需要证明三角不等式呢?我们认为是需要的,因为不等式的证明,即使是最简单的不等式的证明,也要求学生们去作讨论,并且应用不是千篇一律的方法,它能推动学生创造性的思维。实际上,就是最简单的例题:比较量cos40°和cos60°,也需要有自觉地应用三角函数的性质的本领。三角不等式的证明能培养学生以批判的态度来对待公式的结果,能使他们习惯于小心地进行推理。现在让我们来举一个实际例子。学生们常能毫无困难地推导出来大家熟知的公式     

三角不等式的证明

三角不等式的证明,由于课本中没有专门章节叙述,因此学生往往不知从何下手。本文将三角不等式的证明方法加以归纳分类,供参考。一、利用三角函数的性质|sinx|≤1、|cosx|≤1 证题例1.求证: 2+sinx+cosx≥2/(2-sinx-cosx)。证明:(2+sinx+cosx)-(2/(2-sinx-cosx)) =((2+sinx+cosx)(2-sin-cosx)-2)/(2-sinx-cosx) =(4-(sinx+conx)~2-2)/(2-sinx-cosx)     

一类三角不等式的证明

关于三角形内角的一类三角不等式的证明,学生往往无从下手,本文介绍一种利用凸函数或凹函数的方法,可使证明大大简捷。为了说明问题,先介绍两点关于凸函数和凹函数的理论。①如果     

一个三角不等式的证明

《数学通讯》先后有多篇文章(见〔1]一〔41)证明了在△ABC中, 且tg‘石一+tg‘ 山B‘一+tg‘乙也即不等式(2)成立. 引理2设△ABC为锐角兰角形,二,、夕,:意实数.mlJ十22S生n一等号 B .C、、_一八.____、、,_s垃1一s’n万一之同有以卜小等式天系 劣25 inZA g2sinZB+万花双厂 与几2.A一2tgZ月二B万+tg‘一石一十tg‘“C、_一二,产要艺 艺一》,之(e tgB+etgC)+zx(etgC+e士gA)+x,(e tgA+etgB) A .B .Cwe石51刀一二~Slnee.二Sln,二, 之艺艺当目仅当△月BC为正三角形时成立.本文中.我们证明tg艺牛+甘李+,92 “等号当且仅当期少二二sin…     

用柯西不等式证明一类三角不等式

<正>在三角形中,有许多有趣的不等式,本文应用三角恒等变形和柯西不等式,探究一类三角不等式问题的证明途径,意在为读者提供解答该类问题的一种比较新颖的视角。例1在△ABC中,求证:cos A+cos B+cos C≤3/2。证明:应用三角公式和柯西不等式,得     

构造长方体证明三角不等式

用三角方法可证明几何不等式,反之,用几何方法也可以证明三角不等式.为培养高中学生的证题能力,启迪思维、拓展视野,达到综合运用知识的目的,本文通过构造长方体并利用性质：①长方体对角线与各棱角的余弦值的平方和为1;     

三角不等式的系列证明

本文介绍在△ABC的条件下,一类不等式的一系列证明。这种证法的优点是:题目互相关连,一步一步深化,一环紧扣一环,给人以一气呵成之感。例题在△ABC中,a,b,c表示各边的长,R为外接圆半径,△表示面积,求证:     

三角不等式的证明方法

该文归纳了9种证明三角不等式的主要方法。     

利用函数的凹凸性证明一类三角不等式

通过给出关于凹凸函数的一个性质定理及其推论，对一些特定类型的三角不等式通过构造辅助函数，求出函数的二阶导数；再结合其凹凸性利用定理的推论给予简捷的证明，通过实例的证明可看出这种方法是非常简捷有效的。     

一个三角不等式的证明

命题:x是任意实数,三角不等式 cos(sinx)>sin(cosx)恒成立证:函数f(x)=cos(sinx)-sin(cosx)在整个实数集上连续,考虑方程cos(sinx)-sin(cosx)=0,