Another Method to Find the Derivative of Sin

1　 IntroductionIt is very important to find thederivative of sine in mathematics.For eachderivative of trigonometric functions isbegin with sine.The sketch of its proof istransforming two subtracted sine functionsinto the form of multiplication[1 ] [2 ] [3 ] [4] [5] [6] .But this method appears the form offraction,so it is difficult for the beginnersand the self - learners to understand theincrement of the sine functionΔy[1 ]Δy =sin(x +Δx) - sinx=2 cos(x +Δx2 ) sinΔx2 .In this paper,we …     

一个带参数的分式不等式及其应用

定理设xi>0,(i=1,2,…,n),若k≥1,则x1/kx1 x2 x3 … xn x2/x1 kx2 x3 … xn … xn/x1 x2 x3 … kxn≤n/n k-1.(1)若k<1,则不等式(1)不等号反向.证明因为不等式左端是关于x1,x2,…,xn的一次齐次对称式,故可设x1 x2 x3 … xn=1,则不等式(1)可以分为     

新加坡数学试题选(2)

Question 1(a) If f(x+x-1 ) =x3 +x-3 ,determine the function f(x) .(b) Solve the equation2 3 log1 0 x 5 log1 0 x =16 0 0 .(c) L etf(x) =(m2 - 1) x2 +(m- 1) x+n+2 ,(m≠ 1) ,be an odd function and m and n areconstants.Determine whether g(x) =xm +xn is an even or an odd function,or neither.Question 2(a) Express 5 sinθ+12 cosθ in the form Rsin(θ+α) ,where R is positive andα is acute.(b) If sinα+cosα=13,andα∈ (0 ,π) ,determine sin3 α- cos3 α.(c) Ues the relationship eiθ=cosθ+isinθ …     

一个不等式的加强及其应用

文[1]将一个不等式推广为: 定理1设x1,x2,…,xn为正实数,λ1,λ2,…,λn是不全为零的非负实数,m≥2,则有 ∑xm1/λ1x1 λ2x2 … λnxn ≥n2-m(x1 x2 … xn)m-1/λ1 λ2 …λn,(1) 其中∑表示对x1,x2,…,xn的循环和.     

方差非负性的应用

方差是刻画数据离散程度的常用统计量.由公式S2=n1[(x1--x)2 (x2-x-)2 … (xn-x-)2]可知方差S2≥0,当且仅当x1=x2=…=xn时取等号.又由方差公式S2=n1[(x12 x22 … x2n)-nx-2]易得到如下结论:实数x1、x2、…,xn的平方和x12 x22 … xn2≥nx-2=1n(x1 x2 … xn)2,当且仅当x1=x2=…=x     

一个分式不等式的联想

瓦西列夫不等式[1]叙述如下: 设a,b,c＞0,a 6 c=1,则有a2 b/b c b2 c/c a c2 a/a b≥12.(1) 将此不等式进行联想类比,并推广到多元情形,得到 结论1 设x1,x2,…,xn＞0,n∈N,n≥2,则∑x12 x22 … xn2-1/x2 x3 … xn≤x1,x2 … xn.(2) 其中记.号"∑"表示循环和.     

W.Janous猜测推广的推广

W.Janous猜测:设x,y,z＞0,则x2-z2/y z y2-x2/z x z2-y2/x y≥0文[1]证明了(1)式的如下推广: 设xi＞0(i=1,2,…,n),n≥3,记S=x1 x2 … xn,则当k＞0时,有xk1-xkn/S-x1 xk2-xk1/S-x2 … xkn-xkn-1/S-xb≥0(2)当k＜0时,(2)式不等号反向.     

一个不等式猜想及证明

猜想(数学问题315.2) 议xi>0,i=1,2,…,n(n≥3),则有Sn=x2/x1(x3 x4 … xn) x3/x2(x4 … xn x1) … xn/xn-1(x1 x2 … xn-2) x1/xn(x2 x3 … xn-1)≥(n-2)n∑i=1xi.     

方差的妙用

如果一组数据x1,x2,x3,…,xn其平均数为x=1n(x1+x2+x3+…+xn)①方差为S2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…++(xn-x)2]②此方差公式可简化为S2=1n[(x21+x22+x23+…+x2n)-nx2]③①代入③得S2=1n[(x21+x22+x23+…+x2n)-1n(x1+x2+x3+…+xn)2]()显然S2≥0,当且仅当x1=x2=x3=…=xn时,S2=0.公式()是极为实用的公式,一些数学问题妙用公式()来解,常能化繁为简,化难为易,且思路清晰,简捷明快.下面举例说明.一、求字母的取值范围例1(吉林省初中数学竞赛题)设实数a、b、c满足a2-bc-8a+7=0b2+c2+bc-6a+6=0①②则a的取值范围是.解:①+②得b2+c2=-a2+14a-13②-①得(…     

Solvability of the nonlinear Airy equation on a torus

1. Introduction Consider the problem (P) below 2 i(), for (,),txxxuuuuufxxtT++++=未a where the initial condition is 0(0,)()uxux=. Herein 0u and 2()fLT are square integrable complex functions on T; T is the 1-dimensional torus, +Ris the set of positive numbers, and a a real positive number. This type of equation was first introduced in the study of optical fibers [1]. Y. Martel [2] proved the well-posedness for the case of whole space R(the set of all real numbers) with a = …     

加权幂平均值不等式的一个新证明

不同于文[1],笔者利用熟知的凹函数方法,给出了加权幂平均值不等式的一种新的证明。首先给出凹函数的一个性质作为引理,然后对引理中的不等式作简单的变换,就得到了待证的不等式。证明过程推导简洁,思路清晰。     

关于一个重要不等式的一点注记

不等式涉及数量之间大小的比较,而通过比较常能显示出变量之间变化时相互制约的关系·因此,从某种意义上来说,不等式的探讨在数学分析中甚至比等式的研究更为重要·用一个较简便的方法证明了一个重要的不等式·     

离散型Hoeldel不等式与加权均值不等式的推广

文中的定理2给出了Holdel不等式在∑j=1^n1/pj≥1时的推广形式．我们将对0〈∑j=1^n1/pj〈1和∑j=1^n1/pj〈0时给出其推广形式,并给出文[3]中的加权均值不等式在pj〈0时的推广．     

Laplace不等式的新推广

利用数学归纳法,给出了Laplace不等式的一个新的多元数组及多参数的推广,同时,推广了切比雪夫不等式,并结合利用算术--几何平均值不等式和幂平均不等式,研究了推广结论的一组推论和八个特例.     

加权循环不等式与其对偶不等式及其应用

利用Cauchy不等式和幂平均不等式，研究了循环不等式的校正加权推广及其对偶推广，给出了推广结果的应用。     

一个带参数的分式不等式的新推广及其应用

利用Cauchy不等式，Chebyshev不等式及幂平均不等式，给出了一个带参数的分式不等式的两个新推广，并研究了推广结果的一组推论及其应用。     

Shapiro不等式及其变形的新推广与应用

利用Chebyshev不等式和幂平均不等式,研究了Shap iro不等式及其变形的一组新推广,给出了推广结果的一些应用。     

三种平均数的统一与推广

在幂平均的基础上,定义了加权幂平均并证明了加权幂平均的一个不等式,说明了加权幂平均是算术平均、几何平均和调和平均的统一和推广.     

Three Averages – Ordered by Comparing Areas

This short article gives a geometrical interpretation of the relationship between the harmonic mean, the arithmetic mean and the self‐weighted mean.     

一类加权对称平均不等式

考虑［２］,［３］提出的同一个关于ｎ 个非负实数的对称平均不等式问题,我们定义了一类加权对称平均,并证明了关于这一平均的两个不等式