二元二次多项式的因式分解

本文给出了二元二次多项式ｆ（ｘ,ｙ）＝ａｘ２＋ｃｘｙ＋ｂｙ２＋ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ（１）在整数及实数范围内可分解因式的充要条件,使用所给出的方法,使得二元二次多项式的因式分解规范化,并且简单易行．一、在整数范围内分解定理１　设（１）是整系数多项式,则它可分解为因式（ａ１ｘ＋ｂ１ｙ＋ｃ１）（ａ２ｘ＋ｂ２ｙ＋ｃ２）的充要条件是（Ⅰ）ａｘ２＋ｄｘ＋ｆ＝（ａ１ｘ＋ｃ１）（ａ２ｘ＋ｃ２）,ｂｙ２＋ｅｙ＋ｆ＝（ｂ１ｙ＋ｃ１）（ｂ２ｙ＋ｃ２）,ａｘ２＋ｃｘｙ＋ｂｙ２＝（ａ１ｘ＋ｂ１ｙ）（ａ２ｘ＋ｂ２ｙ）．只要比较ａ…     

连续函数在无穷区间上一致连续的一个充分条件

在无穷区间连续的函数ｙ＝ｆ（ｘ）,未必一致连续。对无穷区间上连续的函数的什么条件下一致连续呢？本文将给出一个充分条件。定理若函数ｆ（ｘ）在［ａ,＋∞）上的连续,当ｘ→＋∞时,ｙ＝ｆ（ｘ）有斜渐近线ｙ＝ｋｘ＋ｂ,则函数ｆ（ｘ）在［ａ,∞）上一致连续。证...     

二元函数的极值与矩阵的特征值

数学分析和高等代数是数学专业的两门重要课程,它们之间的关系是非常密切的。本文主要讨论怎样借助矩阵的特征值来研究二元函数的极值。对于二元函数ｆ（ｘ,ｙ）若讨论它在Ｐ（ａ,ｂ）点是否取极值,令ｘ＝ｓ＋ａ,ｙ＝ｔ＋ｂ,ｆ（ｓ＋ａ,ｔ＋ｂ）＝Ｑ（ｓ,ｔ）,问...     

例说寻找原型解数学题

本文试用寻找原型的思想来解决一些与抽 象函数有关的周期问题，供参考． 例１已知函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ＋ａ）＝ （ａ为常数，且ａ≠０），求证：函数 １－ｆ（ｘ） ｆ（ｘ）是周期函数． 分析：观察式子的特点，易知函数ｆ（ｘ）的 原型是ｙ＝ｔｇｘ，且ｔｇ（ｘ＋）＝，而４ × ＝π正是函数ｙ＝ｔｇｘ的周期，故我们可以猜 测４ａ为函数ｆ（ｘ）的周期． 证明：ｆ（ｘ＋２ａ）＝ｆ［（ｘ＋ａ）＋ａ］＝ １－ｆ（ｘ＋ａ） ｆ（ｘ＋４ａ）二ｆ［（ｘ＋２ａ）＋２ａ］＝ 即ｆ（ｘ＋４ａ）＝ｆ（ｘ），所以函数ｆ（ｘ）是周 期函数． 例２…     

用判别式法求函数值域应注意的几个问题

用判别式法求函数值域应注意的几个问题邢天军（甘肃省临泽一中７３４２００）利用判别式解题是数学解题中一种重要且常用的方法．对于可化为形如ａ（ｙ）ｘ２＋ｂ（ｙ）ｘ＋ｃ（ｙ）＝０（＊）的函数式ｙ＝ｆ（ｘ）,用判别式法求其值域,即求方程（＊）中ｘ在定义域内有...     

二阶变系数线性齐次微分方程的求解定理

在文［１］的启示下，对微分方程ｙ″＋ａ（ｘ）ｙ＇＋ｂ（ｘ）ｙ＝０的求解方法作了探讨，给出只与方程系数ａ（ｘ），ｂ（ｘ）相关的求解定理，应用求解定理解有关方程，其过程十分简捷。     

用函数单调性巧解高次方程

函数单调性是函数一个非常重要的性质，是高考和各级数学竞赛的热点．由于单调函数ｙ＝ｆ（ｘ）中ｘ与ｙ是一一对应的，这样我们就可把复杂的高次方程通过恰当变形转化为型如“ｆ（ｘ）＝ｆ（ａ）”方程，从而利用函数单调性解方程ｘ＝ａ，使问题驭繁为简，而构造单调函数是解决问题的关键．     

变形Bessel函数与高阶双转点的方程

本文运用变形Ｂｅｓｓｅｌ函数这一工具，研究一类带双转点的方程εｙ″＋ （ｘ－ ａ）ｍ （ｂ－ ｘ）ｎｆ（ｘ）ｙ′＋ （ｘ－ ａ）（ｍ－ １）（ｂ－ ｘ）（ｎ－ １）ｇ（ｘ）ｙ＝ ０，０＜ ｘ＜ １，０＜ ａ＜ ｂ＜ １ 的解的渐近性态；并用匹配方法求得解的渐近展开。     

对称曲线方程的求法

对称曲线方程的求法金昌市一中曹宗哲设曲线Ｃ的方程为ｆ（ｘ，ｙ）＝０，求曲线Ｃ的对称曲线Ｃ′的方程，有以下九种情况：１．以ｘ轴为对称。在方程ｆ（ｘ，ｙ）＝０中，保持ｘ不变，把ｙ换成－ｙ，化简整理。２．以ｙ轴为对称。在方程ｆ（ｘ，ｙ）＝０中，保持ｙ不变，...     

一元二次方程根的范围的制约条件

一元二次方程根的范围的制约条件史晓蓉本文就一元二次方程根的范围的制约条件，介绍几个定理及其应用，供参考。引理若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，且ｆ（ａ）·ｆ（ｂ）＜０，则至少有一点ｃ，ａ＜ｃ＜ｂ，使得ｆ（ｃ）＝０。定理设ｘ１、ｘ２（Ｘ１≤ｘ２）...     

一类函数的值域、极值和最值

对于实数域上有理分式函数（其中分子、分母互质，ａ与ａ＇不同时为零）本文将给出值域、最值的求法，并给出该函数极值的有关结论。一、用判别式法求（Ｉ）的值域和最值易知对任实数ｙ，（Ｉ）与下式同解（ａ—ａ＇ｙ）ｘ２＋（ｂ—ｂ＇ｙ）ｘ＋（ｃ－ｃ＇ｙ）＝０（ＩＩ）设ｙ是（Ｉ）的值域中一点，则存在实数ｘ使（Ｉ）成立，即（ＩＩ）成立。于是有：△＝（ｂ—ｂ＇ｙ）～２－４（ａ－ａ＇ｙ）（ｃ—ｃ＇ｙ）≥（Ⅲ）反之，若实数ｙ使（Ⅲ）成立，且ｂ—ｂ＇ｙ与ａ－ａ＇ｙ不同时为零，则ｙ在（Ｉ）的值域中。若ａ—ａ＇ｙ＝ｂ－ｂ＇ｙ…     

函数对称性的一个定理及应用

函数对称性的一个定理及应用安徽省泾县中学汪民岳函数的对称性，是函数一个重要性质，有着广泛应用．下面介绍一个简洁优美的对称定理：函数ｙ＝ｆ（ｘ）关于ｘ＝ａ对称ｆ（ａ＋ｘ）＝ｆ（ａ－ｘ）ｆ（ｘ）＝ｆ（２ａ－Ｘ）．（以下简记）证明从略．下面举例说明应用．一...     

弱极值的充分条件

欧拉方程Ｆｙ－Ｆｙ′ｘ－Ｆｙ′ｙｙ′－Ｆｙ′ｙ′ｙ″＝０若它的解为ｙ＝ｙ（Ｘ）找出泛函Ｔ（ｙ）达到弱极小值的充分条件，若曲线ｙ＝ｙ（ｘ）∈Ｖ满足：１）Ｆｙ－ｄ／ｄｘｆｙ′＝０，２）Ｐ（ｘ）＝１／２Ｆｙ′ｙ′＞０，３）区间（ａ，ｂ）不含ｘ＝ａ的共轭点，则此曲线ｙ＝ｙ（ｘ）使泛函Ｔ（ｙ）达到弱极小值。     

初三数学期末试题

一、填空题（每小题３分，共４２分）： １．方程（ｘ－２）（ｘ＋１）＝０的根是＿。 ２．点Ｐ（３，－２）关于ｙ轴对称的点的坐标是。 ３．若一元二次方程 ｘ２－（ｍ－１）ｘ＋ｍ－５＝０的两个根互为相反数，那么 ｍ＝＿。 ４．在函数ｙ＝中，自变量ｘ的取值范围是。 ４．在函数ｙ＝中，自变量ｘ的取值范围是。 ５．关于ｘ的方程ｘ２－４ｘ＋ｋ＝０有实数根，那么实数ｋ的取值范围是。 ６．一次函数的图像过（－１，３）和（０，２）两点，则此函数的解析式为＿。 ７．在函数ｙ＝中，当ｘ－时，函数值ｙ＝。 ８．实数ａ，ｂ满足ａ＋ｂ…     

《因式分解》自测题

一、填空题（每空２分，共２０分）１．ｘ３－２ｘ２ｙ＋ｘｙ２＝ｘ．２．ｂｃ－ａｃ＋ａＢ－ａ２＝（ｃ＋ａ）（）．３．若１２ｘ２－８ｘ－７＝（２ｘ＋１）（６ｘ＋ｍ），则ｍ＝．４．已知ａ＝３．ｂ＝２。则ａ３－２ａ２ｂ＋ａｂ２－ａ＝５．２７－８ａ３＝（３－２ａ）（）．６．１６ｘ＋　　１／４＝（４ｘ＋．）７．ｘ２－ｙ２－２ｙ－１＝（）．８．分解因式：ｘ３＋ｘ２－２ｘ－２＝（ｘ＋１）（）．二、选择题（每题３分，共２４分）１．若二次三项式ｘ２＋ａｘ—１可分解为（ｘ—２）（ｘ＋ｂ），则ａ＋ｂ的值为（）（Ａ）－１；…     

函数y=f(x)、x=f-1(y)和y=f-1(x)的本质关系

函数ｙ＝ｆ（ｘ）（设它有反函数）和它的反函数ｙ＝ｆ－１（ｘ）,以及对换ｘ、ｙ之前的反函数形式ｘ＝ｆ－１（ｙ）这三者之间的关系,一直有很多同学含糊不清,本文简单归纳如下：１．从方程观点看,ｙ＝ｆ（ｘ）与ｘ＝ｆ－１（ｙ）是两个同解方程,而ｙ＝ｆ（ｘ）与ｙ...     

错在哪里

题 由圆外一点Ｑ（ａ，ｂ）向圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２作割线交圆于Ａ、Ｂ两点，求ＡＢ中点的轨迹方程。 解 如图，设过Ｑ的割线的方程为ｙ－ｂ＝ｋ（ｘ－ａ），ｋ为参数。过Ｏ点作ＯＭ⊥ＡＢ，由Ｍ为ＡＢ的中点，且ＯＭ所在直线的方程为ｙ＝－ｘ／ｋ。又Ｍ为ＱＢ所在直线与ＯＭ所在     

微分中值定理的逆问题

微分中值定理〈１〉拉格朗日中值定理：若函数ｆ（ｘ）满足：ｉ、在［ａ,ｂ］上连续ｉ、在（ａ,ｂ）内可导,则在（ａ,ｂ）内至少存在一点ξ,使得：ｆ′（ξ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ〈２〉洛尔定理：若函数ｆ（ｘ）满足：ｉ、在［ａ,ｂ］上连续ｉ、在（ａ,ｂ）...     

互为反函数的图象的交点问题

互为反函数的图象的交点问题贵州瓮安一中周承欢用方程组ｙ＝ｘ，ｙ＝ｆ（ｘ）｛求方程ｆ（ｘ）＝ｆ－１（ｘ）的解、求ｆ（ｘ）与ｆ－１（ｘ）图象的交点，为什么有时无解、有时漏解呢？这是因为互为反函数的两个函数的图象，有的不相交，而相交的其交点不一定都在直线ｙ...     

因式分解中的交换技巧

多项式的因式分解，方法较多，灵活性强。因式分解时，如果能够根据题目的特点，灵活运用一些技巧，对于提高解题速度，培养创造性思维都是十分有益的。所以同学们要牢固地掌握好课本上所介绍的四种因式分解方法，与此同时，应了解以下几种变换技巧： 一、符号变换 例１分解因式ａ（ｘ—ｙ）＋ｂ（ｙ—ｘ）－ｃ（ｘ－ｙ）。 分析：将第二项改变符号，即把（ｙ－ｘ）变为－（ｘ—ｙ）后，能运用提取公因式法分解。 解：ａ（ｘ－ｙ）＋ｂ（ｙ－ｘ）－ｃ（ｃ－ｙ） ＝ａ（ｘ－ｙ）－ｂ（ｘ、ｙ）－ｃ（ｘ－ｙ） ＝（ｘ－ｙ）（ａ－ｂ－ｃ）。 …