用空间向量法求距离问题

立体几何中的求距离，是高考中的命题热点．空间的距离包括两点间的距离；两条平行直线的距离；两条异面直线间的距离；点到直线的距离；点到平面的距离；直线到它的平行平面的距离；两个平行平面之间的距离以及球面上两点之间的球面距离．其中重点是两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离及两异面直线间的距离，这些距离的计算是立体几何中的一个难点．引入向量后，通过将空间元素的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值运算，即借助向量法使解题模式化，用机械性操作把问题转化，因此，向量为立体几何代数化带来了极大的便利．     

浅谈如何在代数问题中使用几何“垂直”条件

数形结合思想是中学数学解题中常用的数学思想,利用这种思想,可以将二次函数代数问题转化为几何问题,通过构造垂直条件,有利于沟通二次函数代数问题与点A(x,y)和点B(a,b)之间距离的几何问题之间的相互转化,使问题圆满解决.     

从解析的观点看一些代数问题解决的模型

对于一些几何问题通过建立坐标系 ,使点坐标化、线方程化 ,这样可将几何问题化归为代数问题 ,进而借助代数工具进行研究 ,这不仅有利于问题的解决 ,而且还可以发现图形中隐藏着的其它性质 ;而对某些代数问题也可借助坐标系 ,使得某些代数关系式具有的几何特征图形化 ,从而利用其几何性质灵巧地解决这类问题 ,同时借用图形的几何性质又可以发现更多诱人的代数关系式 .本文就中学数学中常见的代数问题几何化的几种模型进行探讨 ,以拓宽思考解决问题的途径 .1　距离模型在一些代数问题中 ,人为地从代数表达式中构造出两点或者三点 ,在坐标系下…     

构造解几模型 解决代数问题

下面就通过几个例子谈谈几种常见的解几模型在解决代数问题中的应用.1.构造两点间的距离公式对于形如(x-a)2+(y-b)2型的代数问题,常可构造两点间的距离公式来解决.【例1】　求函数y=x2-8x+17+x2+4x+29的最小值.图1分析　本题用代数方法求解,较难入手,观察函数表达式中,二次根式的被开方式为二次式,联想到距离公式,不妨借助函数式的几何意义,运用数形结合的方法求解.解:将函数解析式改写成y=(x-4)2+(0-1)2+(x+2)2+(0-5)2,根据两点间的距离公式知,y表示x轴上的动点P(x,0)到两定点A(4,1)和B(-2,-5)的距离之和(如图1).于是问题转化为求动折线A…     

绝对值几何意义的应用

初中阶段对实数绝对值的几何意义描述如下:a为实数,│a│表示数轴上代表实数a的点到原点O的距离,(如图1)即线段OA的长或A点到O的距离。图1这一描述体现了代数与几何之间的数形联系。代数问题几何化,更能使同学们通过直观图形理解抽象的代数知识。几何问题代数化,可将某些直观图形抽象归纳为代数表达式。另外,我们可以将绝对值的几何意义进行推广:│a-b│表示数轴上代表实数a和b的两点A、B之间的距离│AB│(如图2)。图2现举例说明绝对值几何意义的应用。例1在一条直线上有依次排列的n(n>1)台机床在工作,我们要设置一个零件供应站p,使这n…     

解析几何教学应有“解析的味道”

文[1]结合"点到直线的距离"的课堂教学实例,对课堂教学方案的整体设计、距离公式推导中的问题设置及对学生发散性探究活动的引导进行了翔实的评价和研究.对于文[1]中提出的一些观点和设想,笔者在实践及反思之余,也深受启发,同时也引起了笔者的诸多联想和更进一步的思考.高中数学课程标准明确指出:解析几何的基本思想和方法是用坐标法研究几何问题.将几何问题化归为代数问题,并用方程的观点实现几何问题的代数化解决.因此,作为"点到直     

绝对值几何意义应用举例

绝对值是初中代数乃至高中代数的重要内容.绝对值的几何意义可以借助数轴加以认识,一个数的绝对值是数轴上表示这个数到原点的距离.如,|a|的几何意义是:数轴上表示数a的点与原点距离.|a-b|的几何意义:数轴上表示数a的点到表示数b点之间的距离.那么|x-a|+|x-b|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a、b两点之间的距离之和.对于一些复杂问题,运用绝对值几何意义求解,直观简捷,事半功倍.     

几类函数最值问题的几何解法

解析几何是用代数方法研究几何问题的一门学科,把几何问题代数化,可以降低逻辑推理的难度;反过来,对于一些较繁的代数问题,也可以通过解析几何公式转化为几何问题,通过逻辑推理的方法代替代数运算,本文略举几则.一、构造两点间距离解题【例1】求函数y=x2-2x 5 x2-4x 5的最小值.分析:函数式为两个根式,这两个根式可分别转化为两点间的距离.解:函数解析式可改写为y=(x-1)2 (0-2)2 (x-2)2 [0-(-1)]2当x变化时,它表示动点P(x,0)到两定点A(1,2)与B(2,-1)的距离之和.如图1,点P在x轴上移动,有|PA| |PB|≥|AB|,当且仅当P、A、B三点共线时取等…     

从距离观点出发解绝对值不等式问题

用距离的观点来解初等数学中的绝对不等式问题有准确、直观、快速的优点,作者在本刊1983年第4期《图象和代数不等式》一文中,曾有探讨。这里对此再作进一步讨论。称绝对值|x-a|为点x到数轴上点a的距离,称绝对值|x+a|为点x到数轴上点-a的距离。这样我们很容易解下面各种形式的问题,它将给初学者解这类问题带来方便并提供一个迅速有效的检验方法。例1.求不等式|x-5|<3的解。     

解几中最值问题的常见解法

我们知道 ,解析几何是用代数方法研究几何问题的一门学科 ,代数性质与几何性质相互转化是解析几何的一大特色 .最值问题是解析几何中的常见问题 ,也是高考的热点问题 ,此类问题的求解有一定的规律性 ,常用如下方法求解 .一、应用平几知识定位 ,利用解几知识求解由平面几何知道 :“三角形任意两边之和大于第三边 ,任意两边之差小于第三边”由此得平面上三点当且仅当它们共线时 ,距离之和最小或距离之差最大 .例 1　已知点Ａ( 4,1) ,Ｂ( 0 ,4) ,点Ｐ在直线Ｌ :3ｘ -ｙ-1=0上移动 ,求 ｜｜ＰＡ｜-｜ＰＢ｜｜取最大值时点Ｐ的坐标 .解 :Ｂ关于Ｌ…     

浅析构造“距离”求最值

<正>函数最值是高中数学常考题型之一,但是若直接求有些带根号式子的最值,较为烦琐,且不易得解,可根据式子的特点,联想到平面直角坐标系中两点间的距离或者点到直线的距离公式,把代数问题几何化,利用几何意义,数形结合,从而使问题顺利解决。     

对点到直线的距离公式证明的再探究

《中国数学教育》2．010年第6期刊登了徐纯剐、张琴竽老师的文章“对点到直线的距离公式证明的棵究”中收集了代数法中的三种证法,几何法中的两种证法和向量法中的一种证法,在这个基础上,我们对于点到直线的距离公式的证明进行了进一步的探究,补充了6种新的证明方法,包括代数法中的两种证法、几何法中的三种证法和向量法中的一种证法,在新证法的探究中提升了教师的专业水平,培养了学生创新思维的能力．还存在着其他的证明方法等待着我们的探究与发现．     

如何求点的坐标

求坐标平面内点的坐标问题,根据题目条件,可选择几何法、代数法及综合法来解决.1 几何法 坐标平面内任一点的坐标,是由这点分别到x轴、y轴的距离和这一点所在     

化繁为简 化难为易——例谈立体几何的“动态”问题

几何体中研究动点问题的总体思路是：运用几何知识，经过逻辑推理证明位置关系或表示出所求量；或者建立空间直角坐标系，将几何问题代数化，用空间向量研究动点问题.文章以定位问题、角度问题、距离问题、体积问题、轨迹问题等为例进行剖析.     

探究:示以学生思维之道,践行数学核心素养 ——"点到直线的距离"教学实录与思考

1 教学分析 1.1 教材分析 "点到直线的距离"是苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学2(必修)》第二章"平面解析几何初步"的最后一节.本节内容研究点到直线的距离公式的推导和应用,推导公式的过程渗透了化归的思想,培养学生勇于探索和勇于创新的精神.在学生已经学习了直线方程,直线与直线的位置关系、平面上两点间的距离等知识,在教学过程中,通过教师引导使学生初步感受到解析法研究问题的一般方法.有了这么多知识和方法做铺垫,进一步深化理解解析几何的基本思想,即把代数作为一种工具和手段来研究几何问题."点到直线的距离"是几何问题中的核心概念之一,在几何问题的研究中有着广泛的应用.从知识的纵向联系上看"点到直线的距离"为进一步学习直线与圆、圆锥曲线奠定了基础,起着承上启下的作用.     

用变换与共线性解一类极值问题

《平面解析几何》中，有一类概值问题：动点在已知曲线上运动，曲线将坐标平面分成不同区域，当两已知点在不同或相同区域时．求动点到两定点距离之和或距离差的绝对值的极值．这类问题，若直接通过建模．单纯用代数法确定极值时．难以求解．易用变换与共线性解之．下面就常见题型作一简单介绍．     

“绝对值”绝对巧妙

绝对值是初中代数中的一个基本概念,一些比较复杂的数学问题,如果用常规的方法做会比较繁琐,而运用绝对值的几何意义解题,很形象直观,往往能取得事半功倍的效果．绝对值的几何意义可以借助数轴来加以认识．我们知道IaI的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离．     

探索“用向量方法求点到直线的距离”的思维过程

传统的求点P到直线ι的距离的方法是:先由点P和直线ι的垂线ι′的斜率求垂线方程;解由直线ι及垂线ι′的方程组成的方程组,求出直线上的垂足Q的坐标;再利用两点距离公式,求得点P、Q的距离,即为点P到直线ι的距离．与传统的代数方法相比较,运用向量知识推     

浅析圆锥曲线最值问题

<正>圆锥曲线是高中数学的一个难点,本文主要对圆锥曲线最值问题的解法进行探究。我们知道解析几何中最值问题的基本解法为几何法和代数法。几何法是根据已知的几何量之间的相互关系,结合平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等);代数法是建立求解目标关     

斜率在中学数学中的妙用

斜率是解析几何中一个最基本的概念,由于斜率直接反映直线的方向问题,所以其结构与代数的分式有关,例如代数中的函数值域问题、数列问题,几何中的三点共线问题、线性规划问题等等都可以转化为斜率问题来解决．现举例如下．