一阶常微分方程的奇解的存在定理的应用

一阶常微分方程a（y）y＇^3-xy＇＋b（y）=0有奇解的充分条件是2a（y）=a＇（y）b（y）＋2b＇（y）a（y）;若有奇解,则奇解为x=3·2-^2/3a1/3（y）b2/3（y）。     

求圆的切线方程的几种方法的比较

基本问题 :已知圆的方程为 x2 + y2 =r2 ,求过圆上一点 P0 (x0 ,y0 )的圆的切线方程。解法 1:若 y0 ≠ 0 ,则所求切线斜率存在 ,设所求方程为 y- y0 =k(x- x0 ) ,代入 x2 + y2 =r2 得 :(1+ k2 ) x2 + (2 ky0 - 2 k2 x0 ) x+ y0 2 + k2 x0 2 -2 kx0 y0 - r2 =0 ,由判别式△ =0得 :(r2 - x0 2 ) k2 + 2 x0 y0 k+ r2 -y0 2 =0。又 x0 2 + y0 2 =r2 ,∴ y0 2 k0 2 + 2 x0 y0 k+ x0 2 =0。即 (y0 k+ x0 ) 2 =0 ,解得 k=- x0 / y0 。故所求切线方程为 y- y0 =- x0 / y0 (x- x0 ) ,即 x0 x+ y0 y=x0 2 + y0 2 亦即 x0 x+ y0 y=r2 。 1当 y0 =0时 ,…     

三阶半线性微分方程的周期解

研究如下形式的三阶半线性微分方程的周期性边值问题{ y＇=f（t,y,y＇（,0〈t〈l y（0）=y（l）,y＇（0）=y＇（l）,y″（0）=y″（l）的微分不等式理论与解的存在性,并在（t,y,y’）是周期为l（y,y’看作是固定的）的周期函数的条件下,通过[0,l]上的解的周期延拓,得到周期解的存在定理．     

一类三阶微分方程的n点边值问题

研究如下形式的三阶微分方程的n点边值问题{y′′′=f（t,y,y′,y″）,a〈t〈b y（a）=A,y′（a）=B,h[y′（t1）,y′（t2）,…y′（tn-2）,y′（b）]=0的微分不等式与解的存在性,这里a〈t1〈t2〈…〈tn-2〈b.然后利用所得到的结果，研究带有正的小参数ε的n点边镇问题{εy′′′=f（t,y,y′,ε）y″＋g（t,y,y′,ε）,a〈t〈b y（a）=A,y′（a）=B,y′（b）-^N-2∑i=1piy′（ti）=c的奇异摄动，这里常数P1，P2，…，pn-2〉0．     

正确的结果 错误的解法

错误的解法有时也能得出正确的结果 ,这种现象在学生的作业与考试中时有出现。例 1.已知 y=y1 y2 ,y1与 x成正比例 ,y2 与 x成反比例 ,当 x=1时 ,y=6 ;x=2时 ,y=712 。求 x=6时 ,y的值。错解 :设 y1=kx,y2 =kx。∵ y=y1 y2 ,∴ y=kx kx。将 x=1,y=6代入 y=kx kx,得 6 =k k,∴ k=3。∴ y=3x 3x。当 x=6时 ,y=3× 6 36 =1812 。评析 :此解法在设 y1=kx、y2 =kx时 ,取了相同的比例系数 ,显然是错误的。由于是两种不同的比例 ,其比例系数不一定相同 ,故应分别设 y1=k1x,y2= k2x。虽然正确解法的结果也是 k1=k2 =3,但这只是题中数据的一…     

一类二阶微分方程的多点边值问题

本文首先研究如下的形式的多点边值问题:{y″=f(t,y,y′),a0。     

对数平均的推广(英文)

记J_t(x,y)=[t(x~(t+1)-y~(t+1))]/[(t+1)(x~t-y~t)]。它有性质:J_(-1/2)2(x,y)=G(x,y),J_(1/2)(x,y)=He(x,y),J_1(x,y)=A(x,y)。我们证明了J_1(x,y)关于t单调增加。同时有(?)J_t(x,y)=L(x,y)。那么我们有不等式G(x,y)≤L(x,y)≤He(x,y)≤A(x,y)。     

有关反函数的几个问题

一、反函数的概念： 一般地,函数y=f（z）（x∈A）中,设它的值域为C,我们根据这个函数中x、y的关系,用y把x表示出来,得到x=φ（y）．如果对于y在C中的任何一个值,通过x=φ（y）,在A中都有唯一的值和它对应,那么x=φ（y）,就表示y是自变量,x是自变量y的函数．这样的函数x=φ（y）（y∈C）叫做函数y=f（x）（x∈A）的反函数．记作x=f^-1（y）．     

用向量外积的概念解释共线向量的等价条件

在高中数学的向量部分,有两个在形式上颇为相似的重要知识点:其一,对于向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a⊥bx1x2 y1y2=0.其二,对于向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥bx1y2-x2y1=0.     

一类三点边值问题的微分不等式及其奇异摄动

本文先研究如下类型的三点边值问题 {y＇＇=f（t,y,y＇）,α〈t〈c y（α）=A,y（b）-py（c）=B 的微分不等式理论，然后利用所得到的定理，研究如下形式的二阶拟线性微分方程的边值问题的奇异摄动。 {εy＇＇=f（t,y）y＇＋g（t,y） y（α）=A,y（b）-py（c）=B     

作为非有序域的复数域

集合C={z＋yilz,y∈R）,其中i=√-1,带运算 （x1＋y1i）＋（x2＋y2i）-（x1＋x2）＋（y1＋y2）i, （x1＋y1i）·（x2＋y2i）=（x1x2-y1y2）＋（y1x2＋x1y2）i,     

一个最值问题的探究

《中学数学》2007年1月给出的征解题是:设x、y、z为非负实数,且x y z=32,求式子x3y y3z z3x的最大值.笔者经探讨,获得以下一般性结论:定理设x、y、z为非负实数,且x y z=k(k>0),记P=x3y y3z z3x,则P≤22576k4①当且仅当x=0,y=3z=43k或y=0,z=3x=43k或z=0,x=3y=43k时,①式取等号.为方便①式的证明,先给出如下引理:引理设x、y、z为非负实数,则当x≥y≥z或y≥z≥x或z≥x≥y时,x3y y3z z3x≥xy3 yz3 zx3②当x≤y≤z或y≤z≤x或z≤x≤y时,②式反向成立.证明②式等价于:[y (x-y)]3y y3[y-(y-z)] [y-(y-z)]3[y (x-y)]≥[y (x-y)]y3 y[y-(y-z)]3 [y-(…     

运用对称式智取二次根式的求值问题

在含有两个字母x、y的多项式中,如果同时以x代替y,y代替x后,得到的多项式与原来的多项式完全相同,那么称这个多项式是关于x、y的对称多项式.容易发现关于x、y的对称多项式都可以表示成关于x+y和xy的式子,如x2+y2=(x+y)2-2xy、y x+x y=x2+y2xy=(x+y)2-2xy xy等等,利用对称多项式这一性质,我们可以智取二次根式的有关求值问题.例1.已知x=3姨+1、y=姨3-1,求x2+2xy+y2的值.分析:如果直接将x、y的值代入计算     

对复合函数单调性的探讨

<正>考查复合函数f=f(g(x))的单调性.设单调函数y=f(x)为外层函数,y=g(x)为内层函数,(1)若y=f(x)增,y=g(x)增,则y=f(g(x))增.(2)若y=f(x)增,y=g(x)减,则y=f(g(x))减.(3)若y=f(x)减,y=g(x)减,则y=f(g(x))增.(4)若y=f(x)减,y=g(x)增,则y=f(g(x))减.结论:同增异减.     

一道竞赛题的多种解法

第 3 1届西班牙数学奥林匹克第 2题为 :证明 :如果 (x x2 1) (y y2 1) =1,那么x y =0 .1　利用绝对值的性质证明　由已知得x x2 1=1y2 1 y,∴x x2 1=y2 1-y ,∴x y =y2 1-x2 1,∴x y =(y -x) (y x)y2 1 x2 1,∴ (x y) (1 x -yx2 1 y2 1) =0 .∵x2 1>|x| ,y2 1>|y| ,∴x2 1 y2 1>|x| |y|≥ |x -y| ,∴ |x -y|x2 1 y2 1<1,∴ 1 x -yx2 1 y2 1≠ 0 ,∴x y =0 .2　利用函数的性质证明　构造函数f(x) =lg(x x2 1)(x∈R) .可以证明函数f(x)在R上是奇函数且单调递增 .∵ (x x2 1) (y …     

一个代数恒等式的诞生

《中学数学教学参考》编辑部举办的首届中学生数学智能通讯赛中高二年级试题第18题为 :若x ,y∈R ,x y =1,则xx2 y3 yx3 y2 ≤ 83 . ( 1)(从该刊 2 0 0 4年第 5期 p .5 9提供的解答来看 ,条件“x ,y ∈R”应为“x ,y ∈R ”)类比之 ,容易证得命题 1　若x ,y ,∈R ,x y =1,则xx y2 yx2 y ≤ 43 . ( 2 )证明　因为x y2 =y2 -y 1=( y-12 ) 2 34>0 ,x2 y>0 ,所以不等式 ( 2 )等价于3 [x(x2 y) y(x y2 ) ] ≤ 4(x y2 ) (x2 y) x3 y3 4x2 y2 -2xy≥ 0 (x y) 3-3xy(x y) 4x2 y2 -2xy≥ 0 4x2 y2 -5xy 1≥ 0 (xy-14 ) (xy-1)≥ 0 ( 3…     

过抛物线上两点的直线方程及其应用

命题　若一直线与抛物线 C:y2 =2 px(p>0 )相交于 A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 )两点 ,则直线 AB的方程为 :2 px- (y1 y2 ) y y1 y2 =0 .证明　∵点 A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 )在抛物线 C:y2 =2 px上 ,∴ y21 =2 px1 ,y22 =2 px2 .作差得 :y21 - y22 =2 p(x1 - x2 ) ,当 x1 ≠ x2 时 ,k A B=y1 - y2x1 - x2 =2 py1 y2 ,∴直线 AB的方程为 :y- y1 =2 py1 y2(x- x1 ) ,即 2 px- (y1 y2 ) y y1 y2 =0 . 1当 x1 =x2 时 ,直线 AB为 :x=x1 ,此时y2 =- y1 ,故 1仍成立 .综上 ,命题成立 .特别地 :若 A(x1 ,y1 )与 B(x2 ,y2 )重合 ,即可得到过点 A…     

关于全微分方程的一个注记

给出全微分方程M(z,y)dx N(x,y)dy=O中 M(x,y)、N(x.y)的一个性质,由此给出了一个只用积分f∫M(x,y)dx和∫N(x,y)dy计算原函数u(x.y)的简便方法。     

圆锥曲线的证明思路

例题：如图,过抛物线y^2=2px（p〉0）上一定点（x0,y0）（y00）作两条直线分别交抛物线于A（x1,y1）,B（x2,y2）．当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1＋y2/y0的值．并证明直I~．AB的斜率是非零常数．     

圆锥曲线的一个优美性质

笔者近日在学习和研究圆锥曲线时,发现圆锥曲线与其切线有关的一个优美的性质,现表述如下,以期与同仁分享. 性质1 已知A,B是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)上不同的两点(不同时在坐标轴上,或kOA·kOB≠-b2/a2),O为椭圆C的中心,椭圆C在点A,B处的切线分别与直线OB,OA相交于P,Q两点.则AB∥PQ. 证明:如图1,设A(x1,y1),B(x2,y2).则切线AP,BQ的方程分别为:x1x/a2+y1y/b2=1,x2x/a2+y2y/b2=1.直线OA,OB的方程分别为:y=y1/x1x,y=y2/x2x由方程组｛x2x/a2+y2y/b2=1 y=y1/x1x,解得点Q的坐标为xQ=a2+b2+x1/b2x1x2+a2y1y2,yQ=a2+b2+y1/b2x1x2+a2y1y2.