如何避免方程失根

代数方程可分为整式方程、分式方程和根式方程。为了求出方程的解,必须对方程进行恒等变形,使之变换成一个易于求解的简单方程。由于在变换过程中,来知数允许值的集合也可能发生变化,这样,在解方程时就可能产生增根、失根现象。对于增根,通过验算不难将它去掉;但对于失根,往往不易发现,失去了根要找回也比较困难。因此,解方程时一定要注意失根问题。     

分式方程的增根与失根

有些同学在解一个方程时，尤其是分式方程，经常出现的错误就是出现增根或失根．出现了这方面的错误，往往是由于违反了方程的同解原理或方程变形时粗心大意造成的．下面我们通过一些例题来说明．     

方程考点例解

方程的解法、一元二次方程根的判别或及根与系数的关系、列方程解应用题等是方程知识的常见考点．一般常见的与方程有关的题型主要有：根的不对称式的求值、技巧型问题、方程应用题与方程思想的应用等．     

含参数方程问题的几何画板解法

对于一些带参数的方程,通过恒等变形,把方程根的问题转化为直线和曲线的交点问题,利用几何画板绘制带参数的函数的图象功能和动态演示功能,探讨方程根的问题.     

幂指数方程的一种解法

一般高中生在解形如u(x)~(f(x))=u(x)~(g(x))的一类方程时,常用对数法解,往往产生减根。原因是对于对数法要求的条件认识不足。笔者根据一些资料,结合课本内容,给出这一类方程的一种解法,提供高中学生参考。 《六年制重点高中数学课本》代数第一册第68页,有这么一段话:“如果(方程中)未知数的字母的取值范围扩大,可能产生增根。”当然,如果未知数字母的取值范围缩小,可能产生减根;如果变形中未知数字母的取值范围既有扩大又有缩小,那就可能产生增根,也可能产生减根。事实上,如果产生增根,通过验根去掉增根;如果产生减根,一般学生要想找回或决定是否有减根,是感到困难的。比如     

Landau—Lifshitz方程的行波解

讨论描述铁氧磁体理论的Landau-Lifshitz方程的变形（8）（其中α=kμ＝0），并通过一定的变换得到一个行波解的一般表达形式。     

用方程根的定义妙解数学题

活用一元二次方程根的定义解相关问题 ,具有事半功倍之效 ,举例如下。例 1　若m、n是关于x的方程x2 + (P - 2 )x + 1 =0的两根 ,则代数式 (m2 +mp + 1 ) (n2 +np + 1 )的值等于　　　 解 :因为m、n是已知方程的根 ,由根的定义可知 :m2 + (p - 2 )m + 1 =0　n2 + (p - 2 )n + 1 =0变形可得 :m2 +pm + 1 =2m　n2 +pn + 1 =2n又由韦达定理可知 :mn =1所以 (m2 +mp + 1 ) (n2 +np + 1 ) =2m× 2n =4mn =4 评析 :解法运用根的定义 ,使得变形过程简洁明快。若按常规解法将求值式展开后 ,运用韦达定理进行计算 ,则项数多 ,过程繁 ,容易出错。例 …     

方程(之11)一元二次方程之2

上面,我们介绍了形式为 x2=a的一元二次方程,它的根有三种情况: 当a>0时,方程有一对互为相反数的根,即这里的 可能是有理数,也可能是无理数. 当a=0时,方程只有一个根,即0,这种情形也可说成是有两个相同的根. 当a<0时,方程没有实数根. 有的一元二次方程的形式初看不是x2=a的样子,但是稍微做一点不影响同解的变形,就可以转化为x2=a的形式.如前面的练习中就     

矩阵方程AXA~T+BYB~T=C的对称最小二乘解

建立了一种求矩阵方程AXAT＋BYBT=C对称最小二乘解的递推算法,对任意的初始对称矩阵,经过有限步迭代得到它的对称最小二乘解.若选取特殊的初始矩阵,通过递推算法得到的解就是极小范数对称最小二乘解.而且,对给定的任意矩阵,通过对方程的变形能得到它的最佳逼近对称解.     

求轨迹方程增解的检验及避免

求动点轨迹方程时，由于仅用不等价变形常常会出现增解，如果不能识别，则导致答案错误。本文用“特殊点检验法”可检验出增解，当然也可在推导中选择适合方法避免增解产生。