巧构数列 妙解赛题(高二、高三)

1.构造等差中项 例1若(x 了xZ 1)(夕十侧夕2 1)=l,求证x y一0.(第31届西班牙数学奥赛) 证明令x y二Za,视a为x,y的等差中项,则可设x一a一d,y一a d.因为(x 丫护 l)(y 丫少 l)一1,最大值为2涯,最小值为2. 3.构造等比数列【}q}<1)的各项和 例3已知x,y都在区间(一2,2)内,且xy _.49.,,二L。-一l,则u“一十二--下的最小值是() 4一x乙’9一y乙’,一’一一‘12一5 D12一7 C7一n Bco一5 A所以x构辱再万~ ly十丫yZ十1~了少 1一y,(03年全国联赛)x2即x十y一了少 1一了xZ 1.解由x,y任(一2,2),得琴,答任(0,1) 任沙两端平方整理得1一xy一了(x“十1)(少 1…     

集合中的计数题(高一、高二、高三)

以集合为背景的计数题是高中数学的常考题型,也是近年来竞赛数学的热点,这类题目新颖灵活,有一定的难度,本文结合“希望杯”赛的试题,介绍此类问题的解法.     

一道数学赛题的物理妙解(高二、高三)

题已知:ai,bi∈R+,(i=1,2,3,…),求证Σaibi/aibi≤Σai·Σbi/Σ(ai+bi). 证法1 柯西不等式因为∑aibi/ai+bi=∑(ai-ai2/ai+bi) =∑ai-∑ai2/ai+bi,根据柯西不等式∑Mi2/ni≥(Σmi)2/Σni得     

巧建基向量 妙解联赛题(高一、高二、高三)

引入空间向量之后,立体几何由定性研究进入了定量研究,从而全面代数化,立体几何中许多问题,只要进行一些简单向量运算即可.本文就一道联赛题的求解谈谈这种方法的应用.     

改变立场,妙解赛题(高一、高二、高三)

站在不同的立场看问题,会有不同的发现.解力学题也是如此.例如选择不同的参照系,可能带来意外的灵感.在不同的惯性参照系间转换很常见,也较容易,下面来看两个惯性系与非惯性系转换的例子.     

一题八变(高二、高三)

题求咪 以 c若 …十c三的值. 解原式~c聋 咪 峨 … 磷一1 一以 以十…十咪一1一味1一1. 这是一道考查组合性质的题目,我对它进行了改造,结果是受益匪浅.一~一1 .1 .1二In一2麟原八~下;十二;十共歹十…十又犷一—· L互L不L弓七石n变形L. 1 .1 .1水可十可十可十 1.,~十二万的值. 试解原式 2!.2!.2生~二代气-二十丁戈代尸丈十下-丁丁下十 J‘入乙任入JO不任 2 .2 .2~只于二十了共二 ;于:=十 3 XZ’4 X3’5 X4’ 2!…十-:尸---下戈 n气n一1少 2十-气尸---,丁下 n火n一1少 2 22 222一二丁一下产十二丁一,厂十一丁一气二十 乙Jj任任O 如果…     

一个计数题的推广(高一、高二、高三)

题四个球的大圆最多可将一个球面分成______部分. (第11届“希望杯”高二2试) 这实为一道计数问题.解计数问题往往需要综合运用许多数学思想方法与解题技巧,是考察学生数学能力的好素材. 1.探索法分析一个大圆将球面分成a1=2部分,二个大圆将球面可分成a2=4个部分,哪三个大圆呢?     

此题推广后很有用(高二、高三)

题已知点A(1,0)和直线l:x=3,动点M到A的距离与到l的距离之和为4. (1)求M点的轨迹T. (2)过A作倾斜角为a的直线与T交于P、Q两点,设d=|PQ|,求d=f(a)的解析式. (第12届培训题78题) 解答见本刊2001年第1期27页,此处从略. 由题设及解答知轨迹为抛物线,A为抛物线的     

一道竞赛题的妙解(高一、高二、高三)

题若(1+x+x2)1000的展开式为a0十a(1-x)+a(2-x2)+…+a2000x2000,则a0+a3+a6+a9+…+a1998的值为( ) (A)3333. (B)3666. (C)3999. (D)32001. (2001年高中联赛) 这是一道源于教材而高于教材的好题.认真观察条件以及所求式子的特点,恰当地利用w(w+1/2±     

一道联赛压轴题的巧思妙解(高二、高三)

2003年全国高中数学联赛1试第15题:一张纸上画有半径为R的⊙O和圆内一定点A,且OA=a,折叠纸片,使圆周上某一点A1刚好与A点重合.这样的每一种折法,都留下一条直线折痕.当A1取遍圆周上所有点时,求所有折痕所在直线上点的集合.     

此题可在圆锥曲线内推广(高二、高三)

2001年高考第19题是很典型的抛物线性质的命题: 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴,证明直线AC经过原点O.     

一道题的延伸(高二、高三)

题如图1,在两个同心、半径rA=2rD=20cm的圆柱形界面A、D之间存在匀强磁场(截面图),在内圆柱面以内有一离子源,可向纸面内各个不同的方向发射速率不同的负离子.已知磁场     

一题六法,各有特色(高二、高三)

第12届“希望杯”高二第2试17题是:复数z满足z+z·|z|3=0,则z=____.本文从不同角度给出六种解法,繁简有别,各有特色,体现了求解复数方程的方法. 解法1 用复数的代数形式令z=a+bi(a,b∈R),则     

一式破解五题(高一、高二、高三)

设A1x1+A2x2+…+Anxn=S(Ai不全为零,i=1,2,…,n),则成立不等式:x_1~2+x_2~2+…+x_n~2≥S2/A_1~2+A_2~2+…+A_n~2当且仅当x1/A1=x2/A2=…=xn/An时等号成立. 证明记A_1~2+A_2~2+…+A_n~2=M,由基本不等式xi~2+(Ai~2)S2/M2≥2|S|/M|Aixi|≥Aixi 2S/M,从而 xi~2≥Aixi 2S/M-A_i~2 S2/M2(i=1,2,…,n),将以上n个同向不等式相加.得     

此题有玄机(高二、高三)

在复习“三角函数”时,老师讲了一道三角题已知sin3α/sin(π/6-3α)=cos3α/cos(π/6-3α)=2~(1/3)(α≠kπ/4,且k∈Z),求tan2α.老师给出的解答:由已知可得     

我将这个题做了推广(高一、高二、高三)

题1 已知a1、a2、a3>0,并且a1a2a3=1,求证:(a1+1)(a2+1)(a3+1)≥2~3. 证明引入参数.设A1=a1+1,A2=a2+1,A3=a3+1,则3=1+1+1=a1+1/A1+a2+1/A2+a3+1/A3=(a1/A1+a2/A2+a3/A3)+(1/A1+1/A2+1/A3)     

恒定电流实验题分析(高二、高三)

恒定电流实验考查对实验原理的掌握及电路设计能力.本文总结了近十年高考物理中的恒定电流实验试题,供大家参考.其中,电阻的测量是高考的热点(94年～01年和03年),并且连续出现设计型实验,可分为:设计实验电路、处理实验数据、设计实验方法等.它能较全面地考查学生的能力,仍为今后命题的重点.下面选几例分析.     

一则“希望杯”培训题的推广(高一、高二、高三)

第13届“希望杯”全国数学邀请赛高中一年级培训题第56题综合了考查函数、反函数、方程等知识,并且可以应用数形结合思想。是一道很有思维空间的好题,试题如下:题已知函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),方程f(x)+x-2002=0有唯一实根α,方程f-1(x)+x-2002=0有唯一实根β,则α+β=___.解 (数形结合法)     

一类排列组合题的解法(高二、高三)

有这样一个问题: 把5本书分给3个人,每人至少1本,共有多少种分法? 显然,共有两种分配方案. (1)1,1,3型,可能马上想到分法共有C15C14C33P33=120(种).其实不然,如果设5本书分别为A、B、C、D、E,3个人分别为甲、乙、丙,那么C15C14中即包含了甲取A乙取B,又包含了甲取B乙取A,若最后再P44进行全排列,则必然产生重复,所以正确的解法应该是     

一道极值题的思路(高二、高三)

题已知常数a,6>O,变数且则x+y的最小值为___.(第11届“希望杯”高二培训)此题,初看平淡无奇,但是解法丰富,若能勤思善想、深挖广拓,就能以小见大,发掘此培训题的丰富内涵.本文仅从解法思路上分析.首先,由a、b、x、y∈R+及得在下列各种解法中,当用到这些条件时,不再另行说明.