圆的有关性质及其应用

一、知识要点1．圆的基本概念：国的定义，圆心和半径；确定圆的条件；弧、弦和弦心距．2．圆的基本性质：圆的对称性；垂径定理及其推论．3．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．4．圆周角定理及其推论．5．应用上述图形的概念和性质进行简单计算或推理论证．二、解题指导例1如图1，AH是△ABC的用平分线，以AD为直径的圆分别交AB、AC于点E和F．求证：AE=AF，．（安徽，1994年）分析（1）由圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系可知，要证两弦相等．只要证它们的弦心距相等．为JL作oH入AE于H，OG上A厂于G．因AD是角中分线，故Oil—…     

构造等腰三角形证题

在等腰三角形的学习中,我们学习了“等边对等角”、“等角对等边”、“三线合一”等重要性质．利用这些性质可证两条线段相等、两角相等、两直线垂直．但在具体证题中会遇到许多命题,在给定的图形中并没有证题所需的等腰三角形,这时,我们就要结合已知认真观察图形,通过添加适当的辅助线,构造证题所需的等腰三角形使命题获证．这是利用等腰三角形证题的关键环节．例1如图1,已知AB＝AC,BD＝CE,ZB＝＜C,AF上DE,F为垂足．求证：DF＝EF．分析欲证DF＝EF,因为AF上DE,故可考虑利用等腰三角形的“三线合一”性质来进行证明…     

等腰三角形性质的应用

等腰三角形是一种特殊的三角形．也是常见的基本图形．它除了具有三角形的一切性质外，还有其特殊性质：1．两底角相等；2．项角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．在解几何题时，灵活应用等腰三角形的这些性质，可巧妙、迅捷地证明若干与角、线段有关的几何题．例1如图1，是BC上两点，．求证：简析由三角形的内角与外角的等量关系，可得．为此，要证结论，只要证证明”．”AB＝AC”，AD＝AE，例2如图2，已知：AB＝AC，BD＝CD，AD交BC于点E．求证：BE＝CE．简析因AB＝AC”，故要证结论成立，只要证AE平分。例3如图3…     

关于角平分线的证明

从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分钱．几何学习中，关于角平分线的证明问题屡见不鲜．解答它们，既可以根据定义，也可以运用角平分线的判定定理．下面介绍几种常用方法．一、考虑要证的角平分线把角分成两个相异的角，利用定义证明例1如图1，已知：E、F分别为ABC的ZAB及边CA的延长线上的点，AE—AF，AD”EF．求证：AD平分＊BAC．证明”．“AE—AF，zAEF一二F．AD／／EF，．．．三1一zAEF，＜2一LF．if一二2．故AD平分工BAC．例2如图2，已知：thABC中，AB—AC，LI—zZ…     

精炼选题 以一当百

在初中平几中,证明角相等,可有以下几种方法:（1）利用圆证两角为同圆中的同孤（或等孤）所对的圆周角或圆心角;（2）利用弦切角定理证两角相等;（3）利用圆内接四边形外用等于内对用证两用相等;（4）证两角为全等三角形或相似三角形的对应角;（5）利用平行线、平行四边形、等腰三角形证两角相等。从巩固学生所学知识出发,对单一类型的题进行讲练,为提高学生综合运用知识的能力,选择好的一题多解题进行讲练,在实际效果上,可得到以一当百的功效。     

辅助圆在几何证题中的作用

几何证题中如果能合理地作出辅助圆，沟通直线形和圆的联系，使一些全等形与相似形不便解决的问题，通过辅助圆的角、弧、弦的相互关系或度量关系，找到解决的方法。任何三角形都存在一个外接圆。在解三角形中有关线段积的和差或线段比的式子，常通过辅助圆建立联系。本文略举几例说明辅助圆在证题中的作用。     

研究课本题的应用及推广

有一类关于三角形一边的中线被另一边的几等分点与这边所对顶点连线所分线段比的几何题,我们可借助课本上一题“如图1,过AABC的顶点C任作一直线,与边AB及中线AD分别交于点F和E求证：AE：ED=2AF：FB”进行巧思妙解．     

证明两角相等的基本途径

证明两个角相等，在初中几何中占有重要的地位，是基本的题型之一．初二同学学习了等腰三角形后，总结、归纳一下即可知，证明两角相等有如下几条基本途径：（1）利用相交线或平行线的性质；（2）利用同角（或等角）的余角（或补角）相等；（3）利用全等三角形的性质；（4）利用等腰三角形或等边三角形的性质；（5）利用角平分钱的判定定理．例1如图1，已知AB—AC，AH一AE，CH、BE交干E．求证：AF平分zBAC分析欲证AF平分fBAf7＜＝／1一‘三2＜一凸ABF公凸ACF或凸AHFM凸AEF，——BF一CF或DF’一EF、凸BDFed凸CEF＜＝BD…     

构造全等三角形解题

全等三角形是研究平面几何的基础,它有着广泛的应用,虽然不少几何题在给定的图形中,无明显的三角形全等,但我们通过努力挖掘题设特征,合理添加辅助线,巧妙地构造三角形全等,仍会得到简便的证法,从而打开同学们的证题思路.例如: (l)如图:△ABC中AB=AC,分别过B、c做Bc的垂线,交过A点的任一直线于D、E. 求证:AD=AE.E 分析:欲证AD二AE,图中包含AD、AE的两个三角形显然不全等,我们以此为一对应边,抓住明显的BD//CE,思考延长BA交cE于F,构造出三角形全等. 证明:延长BA交CE于F.丫AB=AC.…乙1=乙2.:乙2十乙3二90“,…乙3=乙4,…AF=…     

一类几何题的解答及推广

有一类关于三角形一边的中线被另一边的几等分点与这边所对顶点连线所分线段比的几何题 ,我们可借助新编九年义务教材初中《几何》第二册第 2 5 5页题17“过△ ABC的顶点 C任作一直线 ,与边 AB及中线 AD分别交于点 F和 E。求证 :AE∶ ED =2 AF∶ FB。如图 1。”进行巧思妙解。　　例 1.如图 1,在△ A BC中 ,设两条中线AD 和 CF交于 E,求AE∶ ED。　(三角形重心定理 )解 :由课本题结论知 ,A E∶ED=2 AF∶ FB=2 AF∶ AF=2∶ 1。例 2 .三角形从一个顶点到对边三等分点作线段 ,过第二顶点的中线被这些线段分成连比 x∶ y∶ z,…     

例举线段相等的证明方法

证明线段相等的常用方法有：（一）一般方法：1．全等三角形的性质;2．线段的垂直平分线或角平分线的性质;3．等腰三角形的性质或“三线合一”的性质;4．特殊四边形的性质;5．成比例线段;6．圆中垂径定理,或切线长定理,或在同圆（等圆）中,等弧对等弦、弦心距等则弦等、弦等则弦心距等;7．中间量传递;8．计算证明．     

三角形中重要线段的巧用

解答有关三角形问题时，往往涉及到三角形的三种重要线段──角平分线、中线和高．解题时巧用它们的性质，可以妙解许多问题．下面举例说明．一、角平分线的应用1．作垂线，找等量例1已知：如图1，在△ABC中，AB＝2AC，AD平分BAC，AD＝BD求证：．分析要证，根据角平分线的性质，可先找到一个直角．故作于E点，因ABD为等腰三角形，由“三线合一”性质，得从而证明，推出结论．证明清同学们自己完成．2．绕角平分线翻折上树还可以利用角平分线的轴对称性，将凸ADB绕AD翻折，点B必落在AC的延长线上，用产点表示（如图2）．因凸ADB…     

构造全等三角形证题

学习了《全等三角形》这一单元的知识和方法后，同学们都知道，利用全等三角形可以证明线段相等和角相等．证题时，一要善于从复杂图形中识别全等三角形，二要善于作适当的辅助线，构成证题所需的全等三角形．下面主要谈一谈怎样构造全等三角形证题．例１如图１，在△ＡＢＣ中，已知ＡＢ＝ＡＣ．求证：∠Ｂ＝∠Ｃ．分析我们知道，利用全等三角形是证明两条线段相等和两个角相等的最基本、最常用的方法．但在已知图形中，并没有以∠Ｂ和∠Ｃ为一对对应角的全等三角形，因此应作适当的辅助线，构成证题所需的全等三角形．这样的辅助线有如下三…     

梯形面积公式的多种推导方法

梯形面积公式的推导是以三角形和平行四边形的面积公式为基础的．因此，要推导出梯形的面积公式，就要把求梯形的面积转化为求三角形或平行四边形的面积．在此，转化的方法有多种．现把推导梯形面积公式的几种方法介绍如下，供参考．已知：在梯形ABCD中，AD‖BC，设AD＝a，BC＝b，底边上的高为h．求证：证一如图1，连结AC，作AE⊥BC，E为证二如图2，作AE⊥BC，E为垂足，作AF∥CD交BC于F，则AFCD是平行四边形．证三如图3，作AE⊥BC，DF⊥BC，E、F为垂足，则易知AEFD是矩形，AE＝DF＝h，证四如图4，作DE⊥BC，E为垂足…     

三角形中位线定理的活用

三角形中位线定理是几何中的重要定理，关于它的基本应用课本中已有论述，这里不再重复．本文专门介绍它的灵活应用．所谓灵活应用是指题设条件中不具备应用中位线定理的条件，必须通过作辅助线，创造条件用定理．现举几例加以说明．例1如图1，梯形ABCH中，AH／／BC，AD＜BC，E是AC的中点，F是BD的中点．求证：EF／／AD／／BC且EF分析由题设可知，要证FE／／AD／／BCFE／／BC．为此连结AF并延长交BC于G．于是由三角形中位线定理可知，要证FE／／BCFE／／GC、F是AG的中点AF＝FG△AFD≌△GFB　FD＝FB，∠AFD＝∠G…     

三角形外接圆·内切圆半径的求法

在重大考试中经常出现求三角形的外接圆和内切圆半径的问题．因此，考生在平时要熟练掌握其计算方法，现扼要介绍如下：1．三角形外接圆半径的求法门）根据九艾初中几何第三册P206复习题七第5题的结果．只要已知三角形，边及对角，可用公式ZIt一一～＝．ZR一＿．ZIC。，、J。，J，IJ。。一、—“”、illA”—““、illB—“”一十、求得．hilt”“““I、。（2）利用几何第三册94页例2的结果．＿＿＿AB·At＿．AB·AC”一月E·AD——AE一上工＞上．其中。l—。。、。l—““““““一AD～AE是凸ABC”的外接圆直径．AD是凸A…     

垂径定理在证题中的应用

垂径定理及其推论说明的是圆中的直径与弦以及弦所对的弧之间的垂直或平分的对应关系．应用这对应关系,可顺利地证明一些几何命题．现以几道中考题为例说明如下：例1如图1,已知AlABC内接于①O,BC是④O的直径,AD是AIABC的高,OE／AC,OE交AB于点E．求证：AE＝BE．门998年广州市）简析O为①O的圆心,要证AE二BE,只要证OE上用．证明注意到BC是①O的直径,有fBAC＝op．例2如图2,BC是①O的直径,弦AD上BC于E,ZC＝gr．求证：凸ABD为等边三角形．（199年吉林省）简析显见／D＝／C＝gr．这样,要证凸ABD为等边三角形…     

一道数学联赛预赛题的解法探究

<正>2019年全国高中数学联赛广西预赛第11题是一道平面几何试题:题目如图1所示,AD、AH分别是△ABC (其中AB>AC)的角平分线、高线,点M是AD的中点,△MDH的外接圆交CM于点E．求证:∠AEB=90°．此题的主要构形为三角形与圆,涉及圆内接四边形、角平分线及四点共圆的有关性质．文[1]利用相似和到角给出了证明．笔者观察图形的结构特征,结合平面几何中的常用定理及几何变换,从多个视角给出下面几种不同的证明方法．     

“同弧所对的圆周角相等”在物理解题中应用归类

在中学物理中，有一类物理问题，用常规方法难以解决，若利用圆的“同弧所对的圆周角相等”性质解题，则能化繁为简，化难为易，让你跟前一亮，豁然开朗．运用此性质解题的关键是在圆中构造出变化的矢量三角形．     

三角形中边角不等关系的证明

三角形中边角不等关系的证明是一类常见的几何证明题型．在这类题的证明中往往用到以下定理或性质；（Ⅰ）垂线段最短；（Ⅱ）三角形中任意两边之和大于第三边；（Ⅲ）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角；（Ⅳ）在同一个三角形中，大边对大角；（Ⅴ）在同一个三角形中，大角对大边．下面举例谈谈运用上述定理证明这类问题．例1如图1，bABC中，AD为高，AE为中线．求证：AB＋AE十三BC＞AD＋AC．证明在AAEC中，AE＋EC＞AC，而EC一SBC，AE＋SBC＞AC……………·｛1）又AB＞AD（垂线段最短）………·②①十②得AB…