我发现了一条定理

在兴趣课上,老师介绍了勾股定理(西方称毕达哥拉斯定理)后,写出了四条等式:32 42=52;52 122=132;72 242=252;92 402=412,要求我们观察并记住这几个比较特殊且有用的式子.我在观察式子时不经意间有了两条发现:1.等式中和的底数比第二个加数的底数多1;2.等式中第一列加数的底数是     

“把一个分数单位分成两个或两个以上分数单位的和”教学片断及反思

教学片断:师:请同学们完成下面的练习。(师出示:31+61,14+112,51+120,61+310)生1:13+16=21,14+112=31,51+210=41,16+310=51。师:请同学们认真观察这几个式子,你能发现什么?(师让学生先独立思考,然后分小组讨论。小组讨论后进行交流)生2:我发现两个加数与它们的和的分子都是1。生3:我发现每个式子中,两个加数与和都是分数单位。生4:我发现每个式子中,三个分数的分母之间存在倍数关系。师:你能举例说明吗?生4:比如13+61=21,6是3的2倍。其他三个也是这样。师:很好,你观察得很仔细。还有吗?生5:我还发现每个式子中,第一个加数的分母总比和的分母…     

方程重点概念精析

初学方程时,同学们要注意理解和掌握以下几个与方程有关的问题. 一、理解等式有关性质应分清的几个问题1.等式和方程的联系与区别等式和方程是两个根本不同的概念.等式是表示相等关系的式子,比如4 7=3 8,这是等式而不是方程,方程是含有未知数的等式.就是说,判断一个式子是不是方程,必须具备两个要素:(1)方程是属于等式的范畴;(2)这个等式中含有未知数.比如3x 7=7x-6,就满足这两个要素,所     

构造方程妙求勾股数

近年来,各地中考数学出现了有关直角三角形勾股数的试题.这类题构思精巧,条件隐含,但只要认真观察,仔细分析,根据已知条件与题目结构特征,充分挖掘其隐含条件,探索问题规律,构造方程,就能使问题轻松解答.一、探求数字规律问题例1(安徽试题)观察一组式子:32 42=52,52 122=132,72 242=252,92 402=412…,猜想一下,第n个式子是.【分析】本题给出的每个式子的三个数都是学生非常熟悉的勾股数,要求学生细心观察,分析每个等式的特点,比较每个等式三个数字之间的彼此关系,探求数字规律.主要考察学生的分析、归纳、推理和类比能力.解法一:每组第一个…     

等式与方程定义质疑

旧教材(全日制十年制以前的教材)给等式下的定义是:“用等号连结两个代数式的式子叫做等式.”按这个定义,1+2=3是等式;2=3也是等式.给方程下的定义是:“含有未知数的等式叫做方程.”根据这个定义,方程可以有解,也可以无解.     

代数式(之五)

沿着前面的思路,这个公式的证明,其实是很自然也很容易的事: 我们在等式(n+1)2=n2+2n+1中,让n依次取从1开始的n个自然数:1,2,3,4,…,n,就得到n个相应的等式: 22=12+2×1+1, 32=22+2×2+1, 42=32+2×3+1, 52=42+2×4+1, …(n+1)2=n2+2n+1将这n个等式中等号两边的式子分别相加,相加时,注意消去等号左边与等号右边第一列中相同的数,就得到     

妙用幂的运算法则

要灵活运用幂的运算法则解题,必须掌握以下几种常用的转化策略.一、化为同底数的幂例1如果3×9m×27m=321,那么m=.(1990年“汉江杯”初一数学竞赛试题)分析:注意到9、27都可以化成以3为底数的幂,因此可以把等式的两边都化成以3为底数的幂,进行运算后由指数相等列方程求m.解:已知等式可化为3×32m×33m=321,即31 2m 3m=321,从而有1 2m 3m=21,解得m=4.例2已知4x=8y-1,9y=27x-1,求xy-(x y)2的值.(2000年吉林省初一数学竞赛试题)分析:由于4=22,8=23,9=32,27=33,因此可以把两个等式的左、右两边分别化成以2和3为底数的幂来求解.解:由已知等式有:2…     

S=ab是不是方程?

初中代数第一册第120页列举了四个式子: 1+2=3,a+b=b+a,S=ab,4+x=7作为等式的例子,接着给出方程定义:“含有未知数的等式叫做方程”,并且指出“4+x=7是一个方程”。等式1+2=3不含有未知数,因而不是方程,这是显然的;     

推理题的归类解析

推理问题能够考查我们的推理能力、探索能力和创新意识.因此,在各种考试中出现了大量的推理题,且在内容的选择上越来越广泛,表现形式也众多.一、从特殊到一般的推理例1观察下列各式:1 13√=213√,2 14√=314√,3 15√=415√,…,请你将猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来.分析:必须仔细观察式子的特点,才能发现它们的规律.由3个等式左边根号内的被加数依次是1,2,3,恰好是它们的序号数,加数是11 2,12 2,13 2,而右边根号外的数是序号数加上1,即1 1,2 1,3 1,因此,第n个式子应该是n 1n 2√=(n 1)1n 2√.二、猜想并论证的推理这类题要…     

《一元一次方程》考点透析

考点一、考查等式及其性质等式性质1:等式两边都加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等;等式性质2:等式两边都乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.【例题】下列等式的变形正确的是()A.若m=n,则m 2a=n 2aB.若x=y,则x a=y-aC.若x=y,则xm=ym或mx=myD.若(k2 1)a=-(2k2 1),则a=2解析:答案A:等式两边都加上同一个整式2a,由等式性质1可知变形成立.故而正确;答案B:等式左边加a,右边减去a,由等式性质1可知,除a=0的特例外变形不成立.故而不正确;答案C:当m=0时,mx=my无意义,由等式性质2可知变形不正确;答案D:由k2 1>0,等式两边都除以k2 1,…     

有趣的“数字对称等式”

正在2012年广东省珠海市的中考试卷中.有一道关于"数字对称等式"的趣题,观察下列等式:12×231=132×21,13×341=143×31,23×352=253×32,34×473=374×43,62×286=682×26,以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律,我们称这类等式为"数字对称等式"。(1)根据上述各式反映的规律填空,使式子称为"数字对称等式":     

数学猜想探索题例析

数学猜想探索题,即由题设条件,如有规律的算式、图形、图表等,先从简单情况或特殊情况入手,进行观察归纳,大胆猜想探索,得出结论,再加以论证的探索性问题。近年来,数学猜想探索题倍受中考命题者的青睐,成为中考的一大热点问题。以下举例分析,供同学们参考。例1观察下列各式:2×4=32-1;3×5=42-1;4×6=52-1;…;10×12=112-1;…。将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来:________________。解析观察等式,可发现规律:等式左边是两个连续偶(或奇)数的积,右边是夹在这两个连续偶(或奇)数中间的奇(或偶)数的平方与1的差。故n(n+2)=(n+1)2-1…     

关于苏教版国标本方程章节的教学困惑

苏教版国标本教材在"简易方程"的解题方法上作了重大变革.老教材是运用四则运算各部分之间的关系,诸如一个加数=和-另一个加数,除数=被除数÷商,减数=被减数-差等来解方程:新教材则是通过等式的性质来解方程,即等式两边同时加或减去同一个数,等式两边同时乘或除以一个不为零的数,所得结果仍然是等式,这种解法避免了机械记忆,其目的是为下一步进入初中学习复杂的方程作好铺垫.     

对数恒等式的推广和应用

<正>一、对数恒等式及其推广对数恒等式alogaN=N(a>0且a≠1,N>0).证明(定义法)令alogaN=x.由对数的定义,知logaN=logax,所以N=x,即alogaN=N等式成立.观察对数恒等式不难发现:如果把式子alogaN幂的底数a与指数的真数N的位置互换可以得到Nlogaa=N1=N,即alogaN=Nlogaa.     

《等式和方程》学习问答

问:方程与等式有什么区别? 答:因方程是含有未知数的等式,所以方程一定是等式:而等式是表示相等关系的式子,并不一定含有未知数,因此等式不一定是方程,如2x 3=x-1是方程同时也是等式,而6-2=4 只是等式,但不是方程     

高中数学新教材第二章教学问答(三)

44.为什么说求对数运算与求指数幂运算具有互逆关系 ?答 :学生知道 ,2的 4次幂等于 16 ,可以记作 2 4=16 ,这里 16是 2的 4次幂 ,2是底数 ,4是指数 .在计算中 ,学生将遇到相反的问题 :2的多少次幂等于 16 ?为了表示 16是 2的多少次幂 ,我们采用了式子ｌｏｇ2 16 =4,这里 4叫做以2为底 16的对数 ,2仍然叫做底数 ,16叫做真数 .一般地说 ,如果ａ(ａ >0 ,且ａ≠ 1)的ｂ次幂等于Ｎ(即ａｂ=Ｎ) ,数ｂ就叫做以ａ为底Ｎ的对数 ,记作ｌｏｇａＮ =ｂ ,其中ａ叫做对数的底数 (简称底 ) ,Ｎ叫做真数 .在实数集Ｒ内 ,正数的任何次幂都是正数 .在式子ａｂ=…     

以数学思维的分析带动具体知识的教学——“加法交换律”的教学片段及思考

<正>案例:加法交换律课始,由成语故事"朝三暮四"引出等式"3+4=4+3"。师:像这样的等式你还能写出几个吗?生:5+9=9+5,8+2=2+8,1亿+2亿=2亿+1亿,……师:这样的例子能举出多少个?生:无数个。师:观察这几个等式,你发现了什么?生:我发现"="两边的数都一样,只不过颠倒了一下位置。师:哦,这两个加数的位置交换了。生:"="两边的结果都一样。师:你怎么知道两边是相等的啊?生:可以算啊!师:是不是每次都要算啊?生:不一定都要算。师:那你为什么这么肯定"两边是     

一元一次方程检测题(A卷)

一、细心选一选1.下列四个式子:①3x 2=5x-1;②-21!"2 34=1;③2x 3≤5;④y2-1=2y.其中一元一次方程有().A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列式子中,是一元一次方程的为().A.3x-2B.xy-1=0C.2x=1D.x2 2x 3=03.下列方程中,和方程23x-1=52的解相同的方程是().A.2x-3=5B.4x 1=15C.3x-1=7D.4     

相似型考点解析

考点1 比例线段例1 已知a+2b/2a-b=9/5,则a:b=_____.(答案:19:13.提示:①设a=kb,代入已知式子,求解k;②将已知等式左边的分子分母同除以6,视a/b为未知数,解方程即可)     

本期数学有奖竞答

①等式的第一个加数如果是101,从上往下数,这个等式排在第几个?②第100个等式是怎样的?③第1000个等式中的第二个加数是多少?一、巧算奖金一笔奖金分一等奖、二等奖和三等奖,每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2倍,每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的2倍。如果评一、二、三等奖各2人,那么每个一等奖的奖金是308元。如果评1个一等奖,2个二等奖,3个三等奖,那么一等奖的奖金是多少元?(陈天虹)二、找规律回答问题下面的等式排列很有规律,你能找出规律,回答题后的问题吗?1+4=2+35+8=6+79+12=10+1113+16=14+15……(郑审机)注:参加有奖竞答同学的…