类比三角公式解题

类比思想方法是数学解题中常见的策略，如何类比？一般是根据问题的条件与结论有内在联系的那些显露的外形结构特点、数值特点等建构与之密切相关的另一种模式．本文就类比三角公式解题略举数例，供教学参考．目失地万部公式分析由万能公式知COSZ）一l－ig‘0DI、。。。、。i－－－－－－，COS5一＿，而方程左边两1＋ig’6’—一fi7is．－－－’l’LJ’。’。。。r，。项与此结构类似，故可借助于万能公式进行代换．解设XZ哈入5E（一号，音），则原一””—”2”2”’””“””方程可化为三角方程COSZo＋7COS5－3一比耶ZCOS’6＋…     

正弦平方差公式的应用

sin2α－sin2β＝sin（α＋β）sin（α－β）在现行高级中学《代数》上册（必修）中是以习题形式出现的，但它却是一个重要的公式．因其形似x2－y2＝（x＋y）（X－y），故不妨称之为正弦平方差公式．合理地利用这一公式，可以使许多三角题得到简捷巧解．例1求sin’20”＋cos’50”＋sin20”cos50“的值．（1995年全国高考试题）解原式一sin’20”＋1－sin’50”十sin20”。。s50”一1＋sin（20“＋50o）sin（2矿一5旷）＋Sll20”C0550”1．＿＿＾1，＿＿。一1一手sin70o十手（sin70o－sin30o）2—”一’－2”—“”“’——”””—一34…     

应用sin~2α+cos~2α=1解题

三角恒等式sin~2α＋cos~2α＝1及其变形在解题中应用非常广泛，下面仅在初中范围内举例说明．1．直接应用sin~2α＋cos~2α＝1解题．例1计算COS225°cos265°＝＿＿＿＿．（呼和浩特市1994年中考题）简析表面上看25”和65”都是非特殊角，好象不能得到准确值，但考虑到25。＋65。一90。及公式cosa—sin（90”－a），就可变为sin‘aWecos‘a的形式而解决．解ycos25”一。。s（90”－65”）一sin65”，。。s‘25”＋。。s’65“一sin、5”＞卜cos、5“一1．M2％0”rtawt180”，A（sina＋。。sa）’wt1，NgaM（）（A）锐角（B）钝角（C）…     

配方法在解题中的应用

配方法是初中数学中一种重要的解题方法．配方法是指通过拆项、添项等手段把一个代数式或代数式的几个部分变形成完全平方式．借助它，可使很多问题获得巧妙而又迅捷的解答．下面以近年来的竞赛题为例，介绍配方法在解题中的几个应用．一、用于分所因式例1分解困式X‘－7X’十及一＿．门994年“祖冲之杯”初中数学邀请赛初二试题）问原式一（x‘＋ZX’＋1）一gX’一（X’＋n‘一（3X）’一（X叶3x＋1）（x’一3x十I）．例2分解因式a’－b’＋4a＋Zb＋3一．（1992年郑州市初二数学团体赛试题）用原式一（。‘＋4。＋4）－tb’－Zbchl）…     

乘法分工的复习

乘法公式是初一代数的重点内容,必须认真学好,同时要注意拓广和加深．在复习中要突出一个“用”字,掌握一个“变”字．那么怎样用乘法公式呢？一、化成标准形式,正用公式待解题目不是公式的标准形式时,必须化成标准形式,搞清公式中。和b的相应项,能熟练正m公式．例1计算：（一3－x’y－5）（3x’y－5）．解原式一（－5＋3。’y）（－5－3x‘y）＝（－5）’－（3x‘y）‘＝25－gx‘y‘olJ2if一战：（2。“－fo。十卜‘解原式一（2。’‘）zZ·2。”·3b””’＋（3b”“’）z＝4。’n12。nbn＋’＋gb‘n＋’二、反向思考,逆用公式乘…     

乘法公式的逆用

乘法公式是形式比较特殊的多项式乘法,用式子表示为：1．平万差公式（a＋b）（a－b）＝a2－b22．完全平方公式（a±b)2＝a2＋2ab＋b23立方和与立方差公式（a±b）（a2±2ab＋b2）＝a3±b3在解题过程中,我们不仅要掌握它们的正向应用,而且要注意它们的逆向应用．下面以竞赛试题为例,分题型说明．一、计算例1（m’＋n2）‘－［（－n）‘－（－m）21’等于（）（A）－4m’n‘;（B）4m‘n’;（C）O;（D）Zm’＋Zn‘（1991年“五羊杯”初中数学邀请赛试题）解逆向应用平方差公式．原式一（m’＋nY－（n’－m＊＝｛（m’＋n‘）＋（n’…     

应用乘法公式的技巧

公式是解题的重要工具，灵活巧妙地使用公式，可使问题迅速地得到解决．本文向同学们介绍应用乘法公式的几个技巧．一、巧结合例1计算：（2a＋1）（2a－1）（4a2＋2a＋1）（4a2－2a＋1）．抛原式一〔（2a＋1）（4a2－2a＋1）〕［（2a－1）（4a2＋2a＋1）〕=（8a3+1）（8a3－1）=64a6－1．二、巧分组例2计算：（Zxwy－zWS）（Zx－y＋z＋5）．用原式一［（ZZ＋5）＋（y－Z》［（ZZ＋5）－（y－Z）j一（ZX＋5）’一（y－X）’一4X’－／－X’十勿z＋20X＋25．三、巧拆项例3计算：（X－2）（X2+2X＋5）．分析如果把“5”拆成“4＋1”，…     

因式分解的思考方法

拿到一个因式分解题目,应该怎样思考其解法呢？解题的一般思考方法是：1．首先看多项式的各项是否有公因式可提取？若有,应先提取公因式．2．然后看是否可用公式法或十字相乘法分解因式．3．若上述方法都不能奏效,则应考虑用分组分解法分解困式．例1分解困式：（）4。’－24x’y＋36cy’;（2）6x’12x‘y、288xy’;（3）9。‘＋gbx’4a4b;（4）G’＋4ah－32b’－3a＋12b．分析O）容易看出有公因式4X可提取,且提取公因式后,可用公式法分解因式．原式一4X（X‘－6V十外勾（提取公团式）－4x（x一打片（运用公式）（2）不难看出有公…     

怎样求角的度数

学习《几何》第一章《线段、角》,常遇到关于角的计算问题．对于不同条件的题目,我们应采用什么样的方法求解呢？一、直接计算法例1如图1,0是直线AB上一点,AOC＝27°38’,OC平分AOD,求BOD的度数．解析由OC平分ZAOD,／AOC＝27O38’,得ZAOD二2tAOC＝27“38’X2＝55o16’,而／AOD与／BOD的和等于平均,所以／BOD＝18ry一55of6’＝124o44’．例2把一个周角7等分,每份是多少度（精确到分户解析一个周角是3gr,把它7等分,则每份的度数是3gr,7＝（sl。x7＋3o）,7＝sic＋3”手7＝sl”＋18o,7＿sl”26’．二、分析推理…     

海伦公式证明之史海钩沉

海伦公式，即三角形面积公式：S△=√s（s-a）（s-b）（s-c），其中s=1/2（a＋b＋c），a、b、c是三角形三个边的长．远在古希腊时的阿基米德就知道这个公式，后来由希腊人海伦（Heron）（生于公元前125年）在他的著作《测量术》（metrica）一书的“度量表”一章中首先证明了这一公式，还举了求边长13、14、15之三角形面积一例．     

一类一阶微分方程的解

解微分方程是研究微分方程的重要内容，而解一阶微分方程又是解微分方程的基础。4文将讨论一般《微分方程》书本中不曾给出的一类一阶微分方程的解的形式。例1、解方程：y’‘－xx‘x’－x’＝0（1）例2、四方程：y‘y”＋2Xy’－y。0（2）例3、16x’r’‘＋2x｝’’－x＝O．（3）这类方程的一般形式为：Idy、ffi；。、，，，nldy。L，，。、ntAI（干＞）‘““＋axa”＿‘？fu＋b｝’”＝04）“dX’”‘““‘d。其中a，b，m，n是实常数。4g。。dJ’／。1－’－。L，解：令P＝X上，（4）式为dX”““””””“p“＋axx”－‘n＋by”…     

例析条件求值题的解法

“根据已知条件求代数式的值”之类的题目在初中数学竟赛中常常出现解答这类题目,必须紧扣条件,多角度联想,从而使问题得到巧妙求解．下而仅以“希望杯”试题为例,谈谈常见的解题技巧,供学习参考l．构造“O”例1已知6x’＋x＝12,则36x‘＋12x’－7lx’－12x＋l的值是（98年“希望杯”初二培训题）解由已知,得6x’＋x12＝0原式一（36‘＋6x’－72。’）＋（6Y’＋。’－12X）＋l＝6x‘（6x’＋x12）＋x（6x‘＋x12）十1＝0十0十1＝1．2．配方例Z已知a一一ZqX）,b＝1四7,C＝－1995,则aZ＋bZ＋cZ＋ah＋ic一ca的值是＿．（98年“…     

初二(上)代数期考复习训练题

一、填空题：1·把一个多项式化为几个、的形式，叫做这个多项式的因式分解．2．3．4．分解回式a’一4ah＋4b’－c’可先分组为（）－（）；然后用公式，再用公式分解．5·若12X‘十户X－7一（X＋I）门ZX－7），则户一6．当X一时，分式一一一一一没有意义；当。一“—－”””“””We4”’“““””””—”一时，分式一7－－－一有意义．——－“”””—”ZH3’“”“”—～7．当X时，分式．1－－－，一的值是一1．—”——””““一ie＋2”“““不当一时，分式＿的值为零．———～——”’“”～N‘WZN7—““”””———一…     

怎样寻“根”解题

“根”源于方程．但在一般情况下,一个数或几个数都可以视作某方程的根．解题时,按照条件或问题所显示的结构式的特征,依据“根”存在的原理,构造需要的方程,再反过来通过研究方程的性质达到解题目的．这种着眼于“根”的思维方法常能产生极佳的解题效应．那么怎样寻“根”？下面提供几种方法供参考．1直接寻根根的信息常直接暴露于问题的条件中,解题时,只要心存根意,常能一眼就能观察到“根”的形象．例1若m’一m＋l,n’一。＋1,且mfn,则m’干。’一．（江苏省第四届初中竟赛题）这道题目如果采用先分别求m、。的值再用代入法求…     

你会解答吗?

初一年级1．如果当x一5时，ax’＋bx＋3的值是8，那么当x—－5时，ax’＋bx＋9的值是多少？．2．若a、b都是有理数，且al＞W，则a与b谁大？3．若la＋3内（b－2）’互为相反数，则a‘一＿．。。。abah，。。。。4看abrto，则In十元十广大的值等于～””————”mlal怕卜fah”“————‘——”初二年级1．分解因式：2·解方程却。’＋。＋、一48，3·（X＋1）（X＋2）（X＋3）（X＋4）＋36的最小值是、．4已知X＋／灭I不一4，求／死7习的值．你会解答吗?@边冼     

《整式的乘除》中隐含的思想方法

《整式的乘除》一章中隐含有一些重要的数学思想方法，活用它可给解题带来很大的帮助．一、字母表示数的思想方法同底数幂的乘法法则和同底数幂的除法法则，都是从一些具体的数开始，然后用字母表示数而得出一般性的结论．这种用字母表示数的思想方法，在解题时可起到化繁为简的作用．例１计算：２００１２０００２２００１１９９９２＋２００１２００１２－２的结果是．解：设２００１２０００＝x，那么原式＝x２（x－１）２＋（x＋１）２－２＝x２（x２－２x＋１）＋（x２＋２x＋１）－２＝１２．二、整体思维的思想方法乘法公式中的字母…     

因式分解的变换技巧

将某些多项式进行因式分解时,常常需要对原式进行恰当的变形或变换后,才能运用因式分解的基本方法分解因式．现举例说明常用的变换技巧,供参考和选用．一、指数变换例1分解因式：X。。”’－3X”＋ZX’“．解以指数最低的X’‘－’为标准,把X”“’。X’‘分别变换为X’·X”－’、X·X’。－’则二、符号变换例2分解因式：（ab）（x＋y。）＋（b－a）（xy）．解将十（b－a）变换为一（a－b）,则三、系数变换解将2提取后便于运用完全平方公式．例4分解因式：｛四、灵活分组例5分解因式：XZ＊10xy－7五、选定主元倒6分解因式：a＞…     

习题教学中培养学生的联想思维

联想是解题思维过程中的重要一环,一题多解往往由联想而产生。在习题教学中,加强这一方面的训练,有利于培养学生思维的灵活性、下面举例谈点粗浅的看法,以为引玉之砖,例1复数Z满足方程ZH（l＋fil）H（lfil）Z＋3＝0判定与Z对应的』点Z的轨迹。学生多令Z＝X＋yi（X、y6R）,化复数方程为普通方程,这是一般方法、仔细观察方程,发现有1十点l、l一万j,联想1的立方虚根。（。＝一个十／;－1）,原方程”－””一—”——””一——”－22”’””“””“一可化为：（Z＋2。‘）（i＋2。）＝1根据。、共轭复数性质及公式Z7＝IZI…     

海伦公式证明之史海钩沉

海伦公式即三角形面积公式：S△=√s（s-a）（s-b）（s-c）,其中s=1/2（a＋b＋c）,a,b,c是三角形三个边的长,这个公式远在古希腊阿基米德就知道,后由希腊人海伦（Heron）（生于公元前125年）在他的著作《测量术》（metrica）一书的“度量表”章中首先证明了这一公式,还举了求边为13,14,15之三角形面积一例。     

分组分解因式的分组方法

因式分解是初中代数的重要内容之一，而分组分解法又是因式分解的常用方法之一，也是其难点之一．分组的目的在于，通过适当的分组，然后利用提取少因式法、公式法或十字相乘法分解因式．我们必须根据题目的不同特点，采取不同的分组方法．现举例说明之．一、按公因式分组例1分解因式：再原式一按公式分组例2分解因式：系数比分组例4分解因式：27x。＋27。、。－。‘，－1．解原式．五、先展开再分组例5分解因式：（ax十好）。＋（何一a》。解原式一a’x’＋Zabxx，＋b23，’Wb’。’－ZabTh，＋a’、。’一（a’。’＋a＊）W（b’。、’…