共点线的几种证法及其应用

共点线是指三条或三条以上的直线相交于一点,三线共点问题在几何中经常出现,而证明共点线问题是初等几何的难点之一.本文介绍了证明共点线问题的几种方法,并通过具体例题对这些证法作了肤浅的探讨.     

点共线与线共点的证明

点共线和线共点的问题是立体几何中常见的问题,证明点共线方法有三： 1.先由两点确定一条直线,再证其余各点都在这条直线上． 2．证明所有点是两个平面的公共点,则所有点都在两个平面的交线上．     

共点共线共面问题

点共线、线共点、线共面、面共线的问题是立体几何中常见的问题．一、点共线证明点共线方法有三：1．先由两点确定一条直线,再证其余各点都在这条直线上．2．证明所有点是两个平面的公共点,则所有点都在两个平面的交线上．     

共线点与共点线的证明方法

点共线和线共点的问题是立体几何中常见的问题,证明点共线的方法有三： 1．先由两点确定一条直线,再证其余各点都在这条直线上． 2．证明所有点是两个平面的公共点,则所有点都在两个平面的交线上． 3．间接证法．     

例谈构造垂心证题

我们知道,三角形的三条高线交于一点,这点称为三角形的垂心.利用这一性质,适宜地构造三角形的垂心,在证明线段垂直,三点共线或多线共点这几类问题时,作用巨大.下面用典型实例加以说明.     

塞瓦定理在证题中的应用

塞瓦定理是解决“三线共点或互相平行问题的”,现行初中《几何》课本(第一册1983年11月第1版,第二册1984年10月第1版)中的有些问题,用塞瓦定理证明,不添辅助线,简单明了。有的问题,三条线段共点或互相平行同时存在,用塞瓦定理就能够一次完成这样的证明(如本文中的例3)。     

"点在直线上"、"三点共线"、"三线共点"证明通法

在立体几何中,如果掌握了"点在直线上"的证题方法之后,那么关于"三点共线"、"三线共点"一类证明题也就迎刃而解了.因为"三点共线"的证明问题,一般常采用先取其中两点决定一条直线,再证第     

三角形中的线共点问题及其解析证明

线共点的问题是平面几何中的一类重要问题。同三角形有关的线共点的问题主要为 1.外心定理三角形三边的垂直平分线共点。 2.内心定理三角形三内角的平分线共点。 3.垂心定理三角形的三条高共点。 4.重心定理三角形的三中线共点。     

谈笛沙格定理在初等几何中的应用

笛沙格定理是平面射影几何的基础之一 ,是射影几何的一个重要命题 ,在初等几何证明中某些“点共线”、“线共点”问题和解决求轨迹、求定点和作图等问题中有独到之处 .笛沙格定理 :两个三点形对应顶点的连线交于一点 ,那么 ,对应边的交点共线 .对偶定理 (逆定理 ) :两个三线形对应边的交点共线 ,那么 ,对应顶点的连线交于一点 .在运用笛沙格定理或逆定理证明点共线或线共点时 ,准确找到两个三点形或两个三线形是十分重要的 .如果找到的两个三点形或三线形不能解决问题时 ,一般应调整对应顶点的次序 ,以达到证明的目的 .例 1　已知△ ABC及…     

关于唯一性问题的几点探索

命题的唯一性是数学基本理论的基石之一.本文对唯一性在教学实践中的意义,唯一性问题的证明问题,试作粗浅的探索. 一、唯一性在教学实践中的意义当步入几何学大门之际,“过两点可以确定一条直线”,“过不在一直线上的三点可     

不能忽略“点共线”和“线共点”的证明

严密的逻辑性是数学证明的生命，绝不允许以猜测代替证明．“点共线”和“线共点”的证明就往往容易被忽视．     

三角形若干共点线的问题探究

三角形中三条角平分线(高、中线、边垂直平分线)共点,在三角形中还有其它一些三线共点的问题,举例如下:问题1以△ABC的三边为底,分别向外(内)作三个相似的等腰三角形△'ABC、△'BCA、△'CAB,则'AA、'BB、'CC三线共点.问题2以△ABC的三边为底,分别向外作三个三角形△'ABC、△'BCA、△'CAB,使'BACCAB=?'ABCCBA=?'BCA'ACB=?则'AA、'BB、'CC三线共点.问题3设P为△ABC内的一点,由P向BC、CA和AB三边作垂线,垂足为'A、'B、'C,则(1)当P为内心时,有'AA、'BB、'CC三线共点;(2)当P为外心时,有'AA、'BB、'CC三线共点…     

例谈笛沙格定理的构形及应用

笛沙格（Desarues）定理是平面射影几何的基础之一。用笛沙格定理及对偶定理来证明某些点共线,线共点的命题,较之初等几何的方法更简捷。如果两个三点形对应顶点的连线交于一点,则对应边的交点在一条直线上,如果两个三点形对应边的交点在一条直线上,则对应顶点的连线交于一点。笛沙格定理的逆定理为更好利用苗沙格定理解决问题,下面对其构图进行分析。笛沙格定理的图形共有十个点和十条直线,每个点上有三条直线通过,每条直线上有三个点。十个点中任一点均可作为衡沙格点（透视心0点）,十条线中任一条均可作为笛沙格线（透视轴E）…     

解读共点、共线、共面问题的求解方法

点共线、线共点、点共面及线共面是立体几何中一类不可忽视的问题.本文略举数例,就这类问题的转化方法和求解思维策略作一导析,希望能给师生些许启发.一、点共线问题证明点共线问题,一般可以转化为证明这些点既     

截三角形三边成比例线段问题例析

一条直线截三角形三边（或延长线）如图１，关于此图形的有关成比例线段的证明题目比较多，具体的分析思路、证明方法也有多种，但有些思路不易寻求，现对这个问题进行分析，以求解决问题的最佳方法．在图１中，共有１２条线段、６个点，它们分别在４条直线上，这是此类问题的共同特征．这类题目中出现成比例线段问题，可考虑相似三角形或平行于三角形一边的直线等有关知识．显然图形中没有相似三角形和平行线，因此需构造相似问题，最常用的方法就是作平行线寻求成比例线段．例１已知，如图２，一条直线截△ABC的三边（或其延长线），交…     

证明“A＋B=C”型几何命题的两种思路

在几何学习中，我们经常会遇到证明“两条线段的和等于第三条线段”的命题，许多同学对证明这一命题，觉得无从下手，现介绍一种常用且行之有效的“截长”或“补短”的证明此类命题的方法。     

塞瓦定理的等价定理及其应用

众所周知,塞瓦定理在证明三线共点问题时的功用可以与梅涅劳斯定理在证明三点共线问题时的功用媲美.本文介绍一个与塞瓦定理等价的定理,有时候用它来证明三线共点比用塞瓦定理更简捷、方便.定理设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB(或其延长线)上的点,     

浅谈完全四边形

为了方便书写,本文定义: “(△ ABC,D )”表示“考虑△ ABC ,及点 D ,根据塞瓦定理可得”. “(△ ABC,DE )”表示“由 DE 割△ ABC ,根据梅涅劳斯定理可得”. “( ABCD,EF,AC,GH )”表示,“ E、 F、G、H 分别在线段 AB、BC、CD、DA 上,且 EF、AC、HG 三线共点”(允许 ABCD为凸四边形,凹四边形及退化成三角形),并把三条直线两两平行作为三线共点的一个特例.1 完全四边形的背景知识 我们把两两相交而又没有三线共点的四条直线所构成的图形,叫做完全四边形.完全四边形蕴藏着许多有趣性质,在此仅提两点.1.1 施…     

评注曲线系解题

(本讲适合高中)曲线系是指具有某种性质的曲线的集合,曲线系方程是指含有参数的方程,当参数变化时分别对应所有这些曲线.利用曲线系解题就是先直接设出符合部分条件的曲线方程,再根据题中的其他条件,通过推理、运算得出曲线系方程中参数应取的具体值,从而实现问题的解决.本方法既可运用于求解曲线方程问题,又常见于证明多点共线、多线共点等问题.运用此方法往往可免除解联立方程组、求交点等麻烦,着重体现参数变换、整体处理、“待定系数”等数学思想和方法.例1若双曲线的两条渐近线方程为y=±32x,且经过点M(92,-1),试求其方程.解:以y=±23…     

浅谈立体几何中公理2的教学

针对中学数学教科书中对平面的性质的公理2的应用讲得少，总结出证明“三线共点”、“三点共线”的方法。