用定积分直接简证高考理科压轴题

2013年高考全国卷理科压轴题 已知函数f(x)=ln(1+x)-x(1+λx/1+x).(Ⅰ)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值; (Ⅱ)设数列{an}的通项an=1+1/2+1/3+…+1/n,证明:a2n-an+1/4n＞ln 2. 另解 (Ⅰ)先证当λ≥1/2时,f(x)≤0(x≥0)恒成立,即证(1+x)In(1+x)≤x(1+1/2x)(x≥0),即1/2x2+x-(x+ 1)ln(x+1)≥0(x≥0). 设g(x)=1/2x2+x-(x+1)ln(x+1)(x≥0),得g’(x)=x-ln(x+1)(x≥0).     

2008年高考福建卷（理）22（Ⅱ）（ii）的别解

(2008年高考福建卷理科第22题)已知函数f(x)=1n(1+x)-x。(Ⅰ)求f(x)的单调区间。(Ⅱ)记f(x)在区间[0,n](n∈N~*)上的最小值为b_n,令a_n=1n(1+n)-b_n     

一组高考试题引发的思考

1问题呈现问题1(2020全国Ⅱ卷文21)已知函数f(x)=2 ln x+1.(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围;(2)设a>0,讨论函数g(x)=f(x)-f(a)x-a的单调性.问题2(2020天津卷20)已知函数f(x)=x 3+k ln x(k∈R),f′(x)为f(x)的导函数.(1)当k=6时,(i)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(ii)求函数g(x)=f(x)-f′(x)+9 x的单调区间和极值.     

高等数学(1)综合练习

填空题1)f(x-1) =x2 -2x ,则 f(x) =。2 )函数y=1ln(x-2 ) + 4 -x的定义域是。3 )设f(x)的定义域为 (-∞ ,+∞ ) ,则函数 f(x) +f(-x) 的图形关于对称。4)极限limx→ 0x2 sin 1xsinx =。5)函数 y =x2 cosxln｜x + 1｜ 的间断点是x=。6)设f(x) =x2 -4x + 5,则 f(f′(x) ) =。7)函数 y =(x+ 1) 2 + 5的单调增加区间是 。8)极限limx→ 0∫x0 costdtx =。9)设G(x) =∫x2asintdt,则G′(x) =。10 )曲线 y =x3 -9x2 + 16的凸区间是 。11)设 y =ln(x2 + 1) ,则y″(0 ) =。12 )∫4- 416-x2 dx =。13 )已知F(x)是f(x)的一个原函数 ,那么∫f(ax +b)…     

2010年全国高中数学联赛福建省预赛

一、填空题(每小题6分,共60分)1.用区间表示函数f(x)=ln(1-x/x+3-1)的定义域为____.2.在△ABC中,若sin A+cos A=-1/3,则cos 2A=____.3.在数列{an}中,已知a1 -2,an+1-2an=2n+1(n∈N+).     

聚焦以拐点处切线为背景的高考压轴题

<正>1考情新动向题1(2018年高考全国3卷理科)已知函数f(x)=2(+x+ax²)ln(1+x)-2x.(1)若a=0,证明:当-10时,f(x)>0;⑵略.命题组给出的标准答案如下:(1)当a=0时,f(x)=2(+x)ln(1+x)-2x,f′(x)=ln(1+x)-x/1+x.设函数g(x)=f′(x)=ln(1     

破解多元函数问题的三种策略

<正>一、消元法类型1字母间直接相互表达消元例1(2013年四川高考题)已知函数f(x)=x2+2x+a,x<0,ln x,x>0{,其中a是实数,设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1相似文献   

用分离常数法解2012年高考陕西卷压轴题

高考题1:(陕西·文·21)设函数f(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R).(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:f(x)在区间(12,1)内存在唯一零点;(2)设n为偶数,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,求b+3c的最小值和最大值;(3)设n=2,若对任意x1,x2∈[-1,1],有|f(x1)-f(x2)|≤4,求b的取值范围.高考题2:(陕西·理·21)设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R).(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:fn(x)在区间(12,1)内存在唯一零点;     

一道高考压轴题题源探寻与拓展

1 问题来源 题1 (2013年高考广西卷理科压轴题)已知函数f(x)=In(1+x)-x(1+λx)/1+x.(1)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;(2)设数列{an}的通项an=1+1/2+…+1/n,证明a2n-an+41/n＞ In2. 笔者在研究上述高考试题时,感觉似曾相似,发现它是2010年高考湖北卷理科压轴题的拓展与延伸. 2 题源探寻 题2 (2010年高考湖北卷理科压轴题)已知f(x)=ax+b/x+c(a＞0)在(1,f(1))处的切线为y=x-1.(1)用a表示b、c;(2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的范围;(3)证明:1+1/2+…+1/n＞ln(n+1)+n/2(n+1).     

对一道高考题的思考和探究

题2019年全国II卷理科数学第20题.已知f(x)=ln x-x+1 x-1,(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;(2)设x 0是f(x)的零点,证明曲线y=ln x在点A(x 0,ln x 0)处的切线也是曲线y=e x的切线.该试题中,函数y=ln x在函数f(x)的零点处的切线为曲线y=ln x与y=e x的公切线,那么,函数y=ln x和y=e x的图象分别与函数y=x+1 x-1的图象交点与它们的公切线有何关系?一般地,指数函数y=a x和对数函数y=log ax(a>0且a≠1)图象的公切线又有何相应的结论?本文对此加以探索.     

题库(十八)

1．已知函数f(x)=ax-b/x-2ln x,f(l)=0. (1)若函数f(x)在其定义域为单调函数,求a的取值范围; (2)若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0,且an+1= f'(1/an-n+1)-n2+1,已知a1=4,求证:an≥2n+2; (3)在(2)的条件下,试比较1/1+a1+1/1+a2+1/1+a3+…+1/1+an与1/5的大小, 并说明你的理由． 2．设f1(x)=2/1+x,定义fn+1(x)=f1[fn(x)],an=fn(0)-1/fn(0)+2,基中n∈N．     

函数思想在不等式证明中的应用

正函数是中学数学中最为重要的思想方法,一些不等式的证明常常运用函数思想进行求解.下面通过一些典型问题谈谈其在不等式证明中的应用.一、一元不等式的证明对于一元不等式的证明问题可考虑把问题转化为求函数的最大(小)值问题.1.证明不等式f(x)g(x)成立,可设F(x)=f(x)-g(x),问题转化为证明F(x)min0;证明不等式f(x)g(x)成立,可设F(x)=f(x)-g(x),问题转化为证明F(x)max0.例1当x0时,证明:ln(1+x)x-12x2.分析:不等式ln(1+x)x-12x2可化为ln(1+x)-x+     

关于无穷积分收敛的必要条件

我们知道,无穷积分(积分区间是无穷区间的积分)收敛性方面的理论,几乎是和无穷级数的相应理论互相平行的。这是因为无穷积分和无穷级数有着紧密的联系:一方面,对于给定的函数f(x),有integral from n=0 to+∞(f(x)dx)=sum from n=0 to+∞[integral from n=n to n+1(f(x)dx)]=sum fron n=0 to+∞(u_n).(1)其中u_n=integral from n=n to n+1(f(x)dx)(n=0,1,2,…);另一方面,给定级数sum from n=0 to+∞(u_n),我们可以造一个国数f(x)=u_n,n≤x相似文献   

高等数学综合练习

1 填空题 1)设f(x+1)=x~2+2x-2,则f(x):__。 解 设x+1=t,x=t-1,得 f(t)=(t-1)~2+2(t-1)-2=t~2-3 故 f(x)=x~2-3 2)函数y=((3-x)/(1/2))/(ln(x+2))的定义域是__。 解 对于1/(ln(x+2)),要求x+2>0且ln(x+2)≠0,即x>-2且x≠-1;对于(3-x)/(1/2),要求3-x≥0,即x≤3。取公共部分,得函数定义域为(-2,-1)∪(-1,3]。     

对一个错误解法的辨析与思考

1 问题再现 笔者所在学校高三年级的一次检测试卷中有下面一道试题: 已知函数f(x)=ln(x+1)-x. (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)对于在(0,1)中的任意一个数a,是否存在正数x0使得ef(x0)＜1-a/2x0成立?请说明理由.     

浅谈定积分在不等式证明中的应用

高中数学试验教科书第三册引入了《积分》,从定积分的概念及它在几何上的应用可以知道 ,在区间上的定积分就是所求的曲边梯形的面积的极限值 .由此 ,我们可以引入以下不等式 .定理 :设函数 y =f ( x)在 ( 0 ,+∞ )上为单调递减 ,且 f ( x) >0 ,则有∑nk=2f ( k) <∫n1 f ( x) dx ( 1)∑nk=1f ( k) >∫n+ 11 f ( x) dx ( 2 )证明 :因为 f ( x)在 ( 0 ,+∞ )上单减 ,所以 f ( 1) >f ( 2 ) >…… >f ( n -1) >f ( n) >0由图 1,得∑nk=2f ( k) =f ( 2 ) . 1+f ( 3 ) . 1+… +f ( n) . 1=S2 +S3 +… +Sn <∫n1 f ( x) dx　　所以 ( 1)式成立 .…     

错在哪里

<正>题目已知f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数,且当x∈(0,2)时,f(x)=ln(x2-x+b).若f(x)在区间[-2,2]上有5个零点,则实数b的取值范围是.错解因为f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数,所以f(0)=0.-f(2)=f(-2)=f(-2+4)=f(2),所以     

导数与函数单调性的妙用

导数的应用非常广泛,导数与函数的单调性的综合运用问题是高考命题的热点。有些貌似与导数无关的问题,若巧用导数去解决,常有"山重水复疑无路,柳暗花明又一村"的效果。下面举例说明。一、判断方程的根的个数由函数的图像性质特征可知,若f(x)在区间[a,b]上单调,且f(a)f(b)<0,则f(x)=0在[a,b]上有唯一的实根,若f(a)f(b)与零的大小无法确定,则f(x)=0在区间[a,b]上至多有一个实根。例1若-1相似文献   

利用一个函数不等式求解几道高考试题

不等式x/x+1≤ln(1+x)≤x(x＞0)(当且仅当x=0时取等号)是一个重要而有用的结论,以它为背景可衍生出许多重要不等式,本文就来谈谈这些不等式在高考中的应用. 例1 (2008年山东高考理科21题)已知函数f(x)=1/(1-x)n+aln(x-1),其中x∈N*,a为常数.     

2013年新课标高考数学试题理科21题

题目 已知函数f(x)=ex-ln(x+m). (Ⅰ)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)＞0. (Ⅰ)略. (Ⅱ)解法1 当m≤2,x∈(-m,+∞)时,恒有ln(x+m)≤ln(x+2),即只需证明m=2时成立,即ex-ln(x+2)＞0即可. 即证明ee|-x-2 ＞0. 设g(x)=eex-x-2,g’(x)=ex+ex-1, 因为g″(x)=ex+ex(1+ex)＞0,知g’(x)在(-2,+∞)上为单调递增函数.