强非线性振动的增量摄动法

介绍了形如ｘ＋ｇ（ｘ）＝λｆ（ｘ，ｘ）ｘ的强非线性振动的增量摄动法，式中ｇ（ｘ）和ｆ（ｘ，ｘ是自变量的任意非线性函数。该法是无需λ很小情况下的反复的摄动法的扩展，它结合了增量法和摄动法两者的突出优点。振动的极限环对任何需要的精度均可计算，极限环的稳定性也可以论述。     

例说寻找原型解数学题

本文试用寻找原型的思想来解决一些与抽 象函数有关的周期问题，供参考． 例１已知函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ＋ａ）＝ （ａ为常数，且ａ≠０），求证：函数 １－ｆ（ｘ） ｆ（ｘ）是周期函数． 分析：观察式子的特点，易知函数ｆ（ｘ）的 原型是ｙ＝ｔｇｘ，且ｔｇ（ｘ＋）＝，而４ × ＝π正是函数ｙ＝ｔｇｘ的周期，故我们可以猜 测４ａ为函数ｆ（ｘ）的周期． 证明：ｆ（ｘ＋２ａ）＝ｆ［（ｘ＋ａ）＋ａ］＝ １－ｆ（ｘ＋ａ） ｆ（ｘ＋４ａ）二ｆ［（ｘ＋２ａ）＋２ａ］＝ 即ｆ（ｘ＋４ａ）＝ｆ（ｘ），所以函数ｆ（ｘ）是周 期函数． 例２…     

含绝对值问题的图像解法

绝对值是中学数学的重要研究对象，课本中含绝对值的不等式都是用代数方法求解的，这里介绍一种新的解法──图像法． 一、预备知识 １．作含绝对值的函数图像的方法． 根据绝对值的意义和含绝对值的函数与去掉绝对值符号后的函数间的关系，正确地作出合绝对值函数的图像是用图像法解决此类问题的基础． 下面是常用的作含绝对值函数图像的方法： ａ．翻折法． 形如ｆ（ｘ），将函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像ｘ轴下方部分沿ｘ轴翻折到ｘ轴上方，去掉原ｘ轴下方部分，并保留ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ轴以上部分，即得函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像． 例如作函数ｙ…     

学会用和差代换解题

我们知道，对于任意实数ｘ与ｙ，恒有ｘ＝１／２（ｘ＋ｙ）＋１／２（ｘ－ｙ），ｙ＝１／２（ｘ＋ｙ）－１／２（ｘ－ｙ），若令１／２（ｘ＋ｙ）＝ｓ，１／２（ｘ－ｙ）＝ｔ，则ｘ＝ｓ＋ｔ，ｙ＝ｓ－ｔ，我们不妨称这个简单代换为和差代换．如果ｘ＋ｙ＝２ｋ（常数），我们则可引入参数ｔ，分别用ｋ＋ｔ，ｋ－ｔ代换ｘ和ｙ，用和差代换解决某些数学问题，简捷明快，颇具新意，下面我们就来看看这样几道例题。     

关于极限运算的一点注记

在函数极限定义中,自变量 ｘ→ｘ０ 与函数 ｆ（ｘ）→ Ａ 有细微区别,故在极限运算中替换变量应谨慎从事     

用倒代换积分时一个值得注意的问题

用倒代换积分时一个值得注意的问题辛兴云计算积分：Ｉｋ＝∫ｄｘ（ｘ－α）Ｋａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ｋ∈Ｎ，ａ≠０）时，常用倒代换：ｘ－α＝１ｔ现用的工科数学教材中往往不讨论ｔ的正负对计算结果的影响，或直接假设ｔ＞０。事实上，以上做法是不全面的。只是在一定条件...     

函数方程的几种解法

函数方程的几种解法李品贤中学阶段的函数方程的一般解法，有以下几种：一、解方程（组）法，也称为变量代替法。例１．设ｆ（Ｘ）是定义在Ｒ上的函数且满足：ｆ（２ｘ—３）＝ｘ２＋ｘ＋１，求ｆ（ｘ）。解：设ｔ＝２ｘ－３，则由ｆ（２ｘ—３）＝ｘ２＋ｘ＋１，得所求函...     

函数f（x）＝x＋1x的一个应用

函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋１ｘ的一个应用雷正才（湖南省娄底一中４１７０００）我们知道，利用函数的单调性可以比较有关数值的大小，因而利用函数的单调性可以证明有关不等式．下面举几例说明在不等式的证明中函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋１ｘ的应用．命题函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋１ｘ在区间...     

因式分解中的换元法

作为数学的一种重要方法,换元法在某些多项式的因式分解中有着非常重要的作用,应用得当,能使多项式的因式分解化繁为简,易于迅速找到分解的途径．现从换元的两大类型谈谈它的应用．一、一元代换这是换元法分解因式中最常见的类型,就是将多项式的某一部分（可以是常数）看成一个整体,用一个新的字母代换,使多项式变得简明而易于分解：例１分解因式：（ｘ２＋ｍｘ＋１）（ｘ２＋ｍｘ－６）－８．解令ｘ２＋ｍｘ＝ｔ,则原式＝（ｔ＋１）（ｔ－６）－８＝ｔ２－５ｔ－１４＝（ｔ＋２）（ｔ－７）＝（ｘ２＋ｍｘ＋２）（ｘ２＋ｍｘ－７）…     

代数函数的最值问题的图象解法

求各种函数的最值问题是中学阶段的重点与难点．中学阶段所涉及到函数通常是二元函数ｆ（ｘ，ｙ）或带着约束条件的二元函数ｇ（ｘ，ｙ），若令ｆ（ｘ，ｙ）＝Ａ或ｇ（ｘ，ｙ）＝ｍ，则可以在ｘＯｙ平面上画出其图象，利用函数图象来求解最值问题是一种常用的方法，其中典型的例子是二次三项式的最值问题．     

关于函数图象对称性的两个结论

我们知道,在现行高中教材《代数》第一册中的函数部分给出了函数的性质：（Ⅰ）偶函数的图象关于ｙ轴对称。（即：对ｙ＝ｆ（ｘ）定义域中任意的Ｘ都有：ｆ（ｘ）＝ｆ（－ｘ）成立,则函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ＝０对称）显而易见：（Ⅱ）函数ｙ＝ｆ（ｘ）与函数...     

求函数最值的两种基本方法

求函数最值的两种基本方法□甘肃省体育运动学校王迎席数形结合法数形结合法借助函数的几何意义求函数域，发挥代换法和图象法两方面的技巧，既可化难为易，又形象直观。例１．求ｕ＝ｘ２＋ｙ２＋（ｘ－１＋２＋（ｙ－１）２的最小值．解：联系到直角坐标系上两点间距离公...     

函数对称性的一个定理及应用

函数对称性的一个定理及应用安徽省泾县中学汪民岳函数的对称性，是函数一个重要性质，有着广泛应用．下面介绍一个简洁优美的对称定理：函数ｙ＝ｆ（ｘ）关于ｘ＝ａ对称ｆ（ａ＋ｘ）＝ｆ（ａ－ｘ）ｆ（ｘ）＝ｆ（２ａ－Ｘ）．（以下简记）证明从略．下面举例说明应用．一...     

对一道高考题的思考

１９９６年全国高考（１５）题：设ｆ（ｘ）是（－∞，＋∞）上的奇函数，ｆ（ｘ＋２）＝－ｆ（ｘ）．当０≤ｘ≤１时，ｆ（ｘ）＝ｘ，则ｆ（７－５）＝（　　）（Ａ）０－５，（Ｂ）－０－５，（Ｃ）１－５，（Ｄ）－１－５．此题解法较多，这里不赘述．引起笔者注意的是对条件ｆ（ｘ＋２）＝－ｆ（ｘ）的两种变形．将ｘ以ｘ＋２代换得ｆ（ｘ＋４）＝－ｆ（ｘ＋２）＝－〔－ｆ（ｘ）〕＝ｆ（ｘ）．（１）若将ｘ以－ｘ代换可得ｆ（２－ｘ）＝－ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ）．（２）（１）表明ｆ（ｘ）是周期函数；结合ｆ（ｘ）为奇函数得到的（２）…     

常量代换巧解方程不等式

在解某些议程或不等式时,经常使用代换的方法,即用一种新的变量去代换题中的变量。本文介绍一种特殊的代换——常量代换。就是用变量代换己知条件中的常量,把方程或不等式转化为易求解的形式,从而使问题获得解决。此法巧妙有趣下面通过几例加以说明。 例１解方程ｘ３＋ 解;设,则原方程化为 由原方程可知ｘ≠０,所以这是一个关于ａ的一元二次方程。利用求根公式可得：因为ａ＝　３,代入上两式即得到关于ｘ的方程,解之得;例２　解方程解：原方程可化为 这恰好表示动点（ｘ,ｙ）到定点（－３,０）和（３,０）的距离之和等于定值１…     

一类不等式的推广

一类不等式的推广甘肃省教科所王志亮这年来，有些书刊载文，用三角代换法证明如下不等式：若ｘ２＋ｙ２≤１，则｜ｘ２＋２ｘｙ－ｙ２｜≤２，（１）｜ｘ３＋３ｘ２ｙ－３ｘｙ２－ｙ３｜≤２．（２）观察（１）与（２）左边各项系数：Ｃ０２，Ｃ１２，－Ｃ２２；Ｃ０３，...     

高等数学的几种学习、记忆方法

笔者在高等数学的教学中发现,许多自考朋友觉得高等数学中概念多、公式定理多并且它们的关系错综复杂,不易理解与记忆。本文根据我们从教多年的体会,给自考朋友介绍几种行之有效的学习、记忆方法。一、借助特例是记忆的诀窍学习高等数学并不是一点窍门都没有,借助于一些熟知的特例,可以使你记准记牢许多易混的概念或定理。比如,函数ｆ（ｘ）在ｘ０可导,则ｆ（ｘ）在ｘ０必连续,但反之不成立,可以函数ｆ（ｘ）＝｜ｘ｜为例,显然ｆ（ｘ）在ｘ＝０连续,但ｆ（ｘ）在ｘ＝０不可导。又如,极限存在必有界,但反之未必成立,以函数ｓｇ…     

构造函数模型解应用题

本文给出用构造函数模型解决应用题的数学方法。所谓构造函数模型就是构造适当的函数关系式，通过这个函数关系式得出解题的办法，达到解题的目的． 例１（１９９５年全国高考）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为ｘ元／千克，政府补贴为ｔ元／千克，根据市场行情，当 ８≤ｘ≤１４时，淡水鱼的市场日供应量 Ｐ千克与市场日需求量Ｑ千克近似地满足关系： Ｐ＝１０００（ｘ＋ｔ－８）（ｘ≥８，ｔ ≥０） Ｑ＝５００ （ ８≤ｘ≤１４） 当Ｐ＝Ｑ时，市场价格称为市…     

函数f(x)与函数f(ωx+φ)的单调性

函数ｆ（ｘ）与函数ｆ（ωｘ＋φ）的单调性□民勤县一中赵文广关于函数ｆ（ｘ）与ｆ（ωｘ＋φ）的单调性我们得到以下结论：１若函数ｆ（ｘ）在区间（ａ,ｂ）上是增函数,则函数ｆ（ωｘ＋φ）（ω＞０）在区间（ａω－φω,ｂω－φω）上也是增函数证明：设ｘ１...     

一元函数的Lipschitz连续与一致连续及可微的关系

一元函数的Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续与一致连续及可微的关系任建娅为了论述方便，首先给出定义：定义，若函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ有定义，有｜ｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）｜≤Ｌ｜ｘ－ｙ｜，其中Ｌ是常数，则称函数ｆ（ｘ）在区间Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续。函数ｆ（ｘ）在区间ＩＬｉｐ...