折叠法求最值与折叠问题中的最值

最值问题是数学研究中的一个重要内容,它涉及的知识面广,方法灵活,训练思维能力效果显著,因此,它在高考中占有相当重要的地位.立体几何中的某些最值问题需要用折叠法求解,而某些折叠问题中又存在如何去求最值.一、多面体表面上两点间的最短距离问题一般用展平法,即化折为直.通过构造三角形,利用勾股定理、正弦定理或余弦定理来求最值.例1如图1,长方体的长、宽、高分别为a,b,c(a>b>c),沿着长方体的表面由对角线的一个端点到另一个端点的最短路线的长为:.解图1长方体ABCD A1B1C1D1中,绕棱A1B1将面A1B1C1D1旋转到A1B1C1′D1′,它与面AB…     

“转化思想”在简单多面体中的应用

将立体空间的问题转化为二维的平面问题,将未知向已知转化,这是解决简单多面体的策略之一.例1(1999年全国卷)如图1,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,点E在棱D1D上,截面EAC∥D1B,且面EAC与底面ABCD所成的角为45°,AB=a.(1)求截面EAC的面积;(2)求异面直线A1B1与AC之间的距离;(3)求三棱锥B1-EAC的体积.分析:本题主要涉及空间线面关系,二面角和距离概念.问题(1)属于截面积计算问题,可按截面的几体形状直接计算.因此,需求AC边上的高.问题(2)属于异面直线间的距离计算,需找出异面直线间的公垂线,然后可通过等价转换变成平面正方形内线…     

求距离的三种方法

在现实生活中,常常遇到求距离的问题.下面介绍利用三角形求距离的三种方法,供你学习时参考. 一、利用等腰三角形的等角对等边求距离 例1 如图1,上午8时,一艘轮船从A处出发以每小时20海里的速度向正北航行,10时到达B处,则轮船在A处测得灯塔C在北偏西36.,航行到B处时,又测得灯塔C在北偏西72°,求从B到灯塔C的距离.     

一道多功能的高考题

1999年全国高考数学题 (10)是一道求非特殊的多面体体积的题,主要考查学生对图形的分解、组合与变形能力,解题入口宽、方法灵活多样,充分体现了对学生的数学思想方法和创新能力的考查 . [题 ]如图 (1),在多面体 ABCDEF中,已知面 ABCD是边长为 3的正方形, EF∥ AB, EF=, EF与面 AC的距离为 2,则该多面体的体积为 ( ).(A) (B)5 (C)6 (D) 一、分割思想 将复杂的、非特殊的几何体分割成几个简单的、容易计算的几何体,然后求解 . 解法 1 如图 (2),连结 BD, DF, BE,将多面体分割为三个三棱锥,则 VABCDEF=VF－ B…     

再谈可展曲面表面上两点间的最短线路问题

读了贵刊朱刚英老师的《谈可展曲面表面上两点间的最短线路问题》深受启发,本人觉得有所补充,现把它写出来,供同行们参考. 在求锥体表面最短线路时,一般都是先将侧面沿母线展开,然后再求两点间的距离.但是如果在棱台中也如此解题常常会出错. 题目:已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面半径分别为1cm,2cm,侧棱长为1cm,则从下底面顶点B沿棱台表面至上底面和B相对的顶点D;的最短路程为__ 学生解答如下:     

辅助圆——一种求解线段最值的方法

<正>《初中数学教与学》2015年第10期陈林香老师《求解线段最值问题的常用方法》中,提供了运用构造三角形求线段最值问题的方法,笔者也提供一种构造辅助圆求解线段最值的方法,供参考.模型如图1(1)与图1(2),求点A到圆上各点的最大距离与最小距离.如图1(1),点A到⊙O的最大距离为AC,最小距离为AB.如图1(2),点A到⊙O的最大距离为AC,     

空间距离的向量求法

利用向量法来处理立体几何中的距离问题,可以轻松地找到解决问题的突破口,简化求解过程,方便易行.这也是学生参加高考时必须掌握的解题方法之一,希望能引起读者的重视.一、求点到直线的距离已知空间直线l和一个点P,在直线l上取向量a和点Q,容易求出向量a和向量Q的夹角θ的正弦值,则点P到空间直线l的距离是｜Q｜·sinθ.例1如图1所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=4,AB=2,D是AA1的中点,求C1到直线BD的距离.解以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,则B(3√,1,0),C1(0,2,4),D(0,0,2).于是BC1=(-3√,1,4),B=(-3√,-1,2).｜BC1｜=25√,｜…     

谈复数的模的最值问题

复数的模的最值问题,涉及知识面广,灵活性大,在各级各类考试中经常出现,现将几种常用解法予以归纳.1.利用复数的几何意义求最值例1已知复数z的模为2,则z-i的最大值为()A.1B.2C.!5D.3解:∵z=2,所以z所对应的点在以原点为圆心、2为半径的圆上,如图所示;∴z-i就表示圆上的点到点B的距离,即z-i的最大值为AB=3∴选D.2.利用三角函数法求最值例2已知z,z∈C,求W=z2-z 1的最值.解:∵z,可设z=cosθ isinθ∴W=z2-z 1=(cos2θ-cosθ 1) i(sin2θ-sinθ)=!(cos2θ-cosθ 1)2 (sin2θ-sinθ)2=!3-4cosθ-2cos2θ=!4cos2θ-4cosθ 1=2cosθ-1.当cosθ…     

解圆锥曲线最值问题的策略

<正>最值问题一直是数学高考的热点.而与圆锥曲线有关的最值问题则是解析几何中的一个重要部分.这类问题具有综合性强、涉及知识面广的特点,是学习中的一个难点.一、建立目标函数求最值1.求曲线上一点到定点距离的最值     

运用垂线段解决有关最值问题的研究

<正>当遇到下面的情况时可以运用作垂线段的方法求最值:第一,求点到直线距离的最小值;第二,求两条线段和的最值．主要涉及的题型如下:一、作垂线段求线段的最值作垂线段求线段的最值是指点到线段的最值,如点A是直线l外的定点,点B是直线l上的动点,     

赏析圆锥曲线中的最值问题

在高中数学中,求最值问题可分为两类:一是距离、面积的最值问题;二是求直线与圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之相关的一些问题.求解时,常结合几何图形的直观性,充分利用平面几何结论,借助于函数的单调性、基本不等式等使问题获解.在解法上常有两     

解析几何中一类最值问题初探

1.问题的提出引例在x轴上求一点P,使P到点A(-1,1)和B(2,4)距离之和最小.本题即在一条定直线l上求一点P,使其到两定点的距离之和最小,这是解析几何中常见的一类最值问题.然而,最近在解析几何复习课中讲到本题时,有学生却提出:一般曲线(圆、圆锥曲线)上是否存在点P到两定点的距离之和最小(或距离之差的绝对值最大)?经师生共同探究,求得一些结论,作如下介绍,以期抛砖引玉.     

用坐标运算探索空间图形中的关键"点"

新版教材在空间图形中引入坐标运算 ,使立体几何进入动感地带 .如平行、垂直、角和距离等问题都可以通过计算来解决 ,而此问题的核心是寻找关键点的位置 :在求线线角时如何表示点的坐标 ,从而得出向量的坐标是关键 ;在求线面和二面角时 ,只要知道垂足等相关点的坐标 ,就可表示角的两边所在向量的坐标 ;在求点线和点面距离时垂足的坐标是关键 ;在求最值问题时正确地表示动点是关键 .本文就是通过例题说明如何综合运用平行、垂直等立体几何知识探索关键点 .1　利用向量相等探索空间点例 1　底面为正三角形的三棱柱ABC A1 B1 C1 ,侧面ACC1 …     

立体几何中距离最值问题

在立体几何中有关求距离最值问题时,通过转化,可以利用异面直线之间的距离、利用光线所走的路程最短、利用向量不等式、利用函数来求其最值.一、空间两点之间的距离转化为异面直线间的距离     

例说求解最值问题的常用方法

在生活实践中,我们经常会遇到“最值”问题,如怎样确定最佳方案,使花费最低,消耗最少,产值最高,获利最大等等.这类问题抽象成数学问题,即求某个变量的最大值或最小值.求解最值问题的常用方法有下述四种:一、运用配方法求最值例1若x-1=y2 1=z-32则x2 y2 z2可取得的最小值为()(A)3(B)1549(C)29(D)6(2003年武汉市选拔赛试题)解析设x-1=y2 1=z3-2=m,则x=m 1,y=2m-1,z=3m 2.代入x2 y2 z2,配方可得:原式=(m 1)2 (2m-1)2 (3m 2)2=14m2-10m 6=14m-1542 1549.所以答案为B.二、利用判别式求最值例2设a,b为实数,那么a2 ab b2-a-2b的最小值是.(全国初…     

用函数解决市场经济的最值问题

本文将对适合初中教学的以市场经济为背景的“最值型”问题,举例进行分析. 1.归结成一次函数求最值 例1 A市和B市分别有某种库存机器12台和6台,现决定支援C村10台,D村8台.已     

怎样求点到平面的距离

在立体几何中,求点到平面的距离是一个常见的题型,同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离.本文总结几种求点到平面距离的常用方法,供参考.     

用向量求解空间距离

全日制普通高级中学教科书 (试验修订本·必修)数学第二册(下 B),引进了空间向量.我们看到,利用向量可以将空间图形的一些基本性质转化为向量运算,于是不少立体几何问题就转化为代数问题.下面几例,谈谈向量在求距离中的应用. 1.两点间的距离 例 1 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ,AB =AC =1,∠ACD =90° ,将它沿对角线 AC 折起,使 AB 与 CD成 60° ,求 B、D 间的距离. 角 解:如图:∵∠ACD=90°∴AC·CD=0. D A D A C B C …     

立体几何最值问题求解

一、与最短路径有关的最值问题 例1如图1,在圆柱形的玻璃杯外侧面,有一只蚂蚁要从A点到杯内侧面的B点去吃食物。已知A点沿母线到杯口C的距离是5cm,B点沿母线到杯口D的距离是3cm,     

立几中几类最值问题

<正> 立几中有一些最值问题,常常需要根据具体情况多角度考虑.笔者在解题探索中总结出两个方法——定性、定量分析法.如在解题中将它们有机结合起来,问题往往会迎刃而解. 例1 在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中,求与对角线BD1