平均值不等式

(本讲适合高中) “n个正数的算术平均不小于它们的几何平均。”这就是著名的平均值不等式定理。这个定理是高中数学课的一个重要内容,但是在数学课程中并没有讲述如何证明这个定理,也没有灵活运用这个定理解题的例子。然而,用巧用活这个定理确能解决不少看起来相当困难的题目。     

整系数多项式的哥德巴赫命题

我们熟知整数的哥德巴赫命题是:每一个大于2的偶数都可写成两个质数的和。这个命题的正确性至今尚未得到证明。在《数学爱好者》1980,1期刊载的《容易证明的“1 1”》(以下简称文[1])一文中提出了一个有兴趣的定理: 定理1.每一个整系数n(≥1)次多项式可写为两个n次不可约整系数多项式的和。这个定理的证明依赖于下述整系数多项式不可约的艾森施坦因判定法则定理2.整系数多项式 f(x)=a_0x~n a_1x~(n-1) … a_(n-1)x a_n (1)     

整系数多项式的哥德巴赫定理的别证

在整数环上的一元多项式环中,有一个类似于哥德巴赫猜想的命题:任意一个n(≥1)次整系数多项式都能表成两个n次不可约的整系数多项式的和。这个命题有人称为整系数多项式的哥德巴赫定理。本文对这个定理给出了一个有别于的证明。     

关于曲线积分与曲面积分近似计算的一个定理及应用

给出一个关于曲线积分和曲面积分的近似计算定理,这个定理使曲线积分和曲面积分的繁杂计算得以 简化,它可以应用于沿三角形、正方形、矩形及任意多边形等闭路的曲线积分以及由这些闭曲线围成的区域上的曲面 积分。     

有理数域上n次多项式不可约的一个充要条件在GF(2)中的推广

n次多项式f(x)在Q上不可约的一个充要条件是多项式xnf(1x)在Q上不可约.本文利用反证法对这个充要条件在GF(2)中做了一个推广,并进一步证明了f(x)在GF(2)中本原当且仅当xnf(1x)在GF(2)本原.     

曲线积分第二中值定理“中间点”渐近性分析

通过研究第一型曲线积分第二中值定理"中间点"的渐近性,将结论推广到积分第二中值定理"中间点"的渐近性。首先给出第一型曲线积分第二中值定理及其证明,得出一个结论,由这个结论推导出定积分第二中值定理相应的结果。所得结论推广了文献[1-3]中关于积分第二中值定理的结论。     

圆锥曲线统一定义的应用

圆锥曲线统一定义,即平面上一动点到一个定点(即焦点)的距离与到一条定直线(即准线)的距离之比为一常数e(即离心率),那么这个动点的轨迹:当01时,曲线为双曲线;     

算术——几何平均值定理的推广图式

n个非负实数a_1,…,a_n的算术平均数与几何平均数之间有这样的关系: (a_1+…+a_n)/n≥(a_1·…·a_n.)~(1/2) (1)其中“=”当且仅当a_1,=…=a_n时成立。这就是著名的算术——几何平均值定理。这个定理的证法很多,在此就不再赘述了。本文主要介绍算术——几何平均值定理的一个推广图式,以及它在证明不等式中的应用。为便于叙述,我们记     

理解零点存在定理应把握的四个方面

人教A版必修1给出了判断函数零点的定理,即零点存在定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根,这个定理比较抽象,要理解它并能较好地加以应用,应注意从四个方面加以把握。     

用列表法求整系数高次方程的有理根

众所周知,求方程(1)的有理根通常运用下面的定理:“如果有理数q/p(p、q互质)是方程(1)的根,那么分子q一定是常数项a_o的因数,分母p一定是最高次项系数a_n的因数。”(该定理的证明在各种代数课本中均可查到,这里从略)。但是真正按这个定理去求整系数方程的有理根那是相当麻烦的。能否改进?可以的。我们利用下面的引理结合     

一道习题与两个定理

高中《立体几何》(必修)以下简称课本)P.31第11题: 经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线.如果斜线和这个角两边的夹角相等,那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线. 这是一道安排在三垂线定理后的题目.笔者不用三垂线定理,对这个题目作出证明.然后将这个命题演变,得出三垂线定理的逆定理,再利用三垂线定理的逆定理,对直线和平面垂直的判定定理作一个简捷的证明.     

代数基本定理的一种新证法

本文的目的是要给出代数学基本定理的一个相当简短的初等证明.定理:每一个正次数多项式在复数域里有一个根.证:设p是一个正次数多项式.其系数取自复数域C内.因为P是连续的.且当z     

关于积分中值定理

先将积分中值定理复述如下:定理1 如果 f(t)为区间[a,x]上的连续函数,那么存在数 c∈(a,x),使得∫_a~xf(t)dt=f(c)(x-a).任何学过初等微积分的人都熟知这个重要的定理。但当 x 趋于 a 时,c 的值如何呢?实际上,这时 c的值将趋于 a 和 x 的中点。这一事实往往不被人们注意。下面给出这个结论及其简短的证明。定理2 如果 f(t)在 a 点可微,f′     

求二次函数极值的一点注意

用初等方法求解的一类极值问题中,常遇到求二次函数的极值问题。对二次函数来说,它的极值就是最大(小)值问题,这主要依据下述定理: 二次函数y=ax~2 bx c(a0)在区间(-∝, ∝)内, (1)若a>0,则当x=-b/2a时, y_最小值=(4ac-b~2)/(4a) (2)若a<0,则当x=-b/2a时, y_最大值=(4ac-b~2)/(4a) 这个定理,统编教材安排在初三下学期讲授(代数第四册)。过去作为选学内容,又不严格论证,因此学生对这个定理掌握得很不好,往往是死套公式。到高中后又不进     

试试 看看 想想

当你学习一个数学定理时,首先想想,我能不能自己想出这个定理;当你看定理证明之前,请想想,我能否自己证明.给你介绍这种学习方法时,你可能感到这太高不可攀了,但你果真实施这种方法,     

关于“三角形内角和定理的证明”教学设计的调整与思考

<正>三角形内角和定理的证明,在中学教材中,被认为是"显然可以证明的"数学定理.其实,证明这个定理是相当艰难的.在探索这个定理的证明过程中,矛盾的产生不仅诞生了一个新的数学分支——非欧几何,同时也引发了数学界的一次思想解放,使得数学走在物理学前面几十年.可见,探究该定理的证明过程、揣摩其思想,要比直接得出结论重要的     

关于第二积分中值定理的中值ζ的研究

本文对Riemann积分第二中值定理的中值ξ进行了探讨,使之属于一个开区间。文章给出了Riemann—Stieltjes积分第一中值定理: 中的ξ(中值)是属于开区间(a,b)的。本文将证明Riemann积分第二中值定理中的ξ(中值)也有这个结论。     

“伞”的妙用

伞,几乎是家家户户都有的雨具.除了做雨具以外,它还有一个妙用——作为讲授立体几何的一个重要定理“任何凸多面角各面角之和小于四直角”的模型教具.“伞”就象一个凸“多面角”,当它合拢(不使用)时,这个“多面角”各个面角的和最小;当它徐徐张开时,可以清楚地看     

拉格朗日定理的新证法

拉格朗日(Lagrange)中值定理是微分学中一个十分重要的定理,它应用广泛。证明这个定理一直沿用构造辅助函数的办法,多年不变。为活跃思想,启迪思维,本文给出了这个定理的两种新证法。且后一证法是构造性的。给出了寻求ξ的实际计算途径。     

圆锥曲线的一个有趣性质

本文拟在给出与圆锥曲线平行弦切线有关的一个性质.定理:AB,CD 是圆锥曲线δ的一对平行弦,曲线δ在 A,B 两点处的切线交直线 CD 于M,N,则 MC=ND.证:(1)若曲线δ表示有心圆锥曲线,不妨设其为椭圆,方程为 x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0),当直线 AB 的倾