求数列通项方法举隅

<正>求数列通项在高考中属于常考内容,本文归纳整理了几种方法,供参考.一、已知a_1和a_n=a_(n-1)+f(n)型,其中f(n)可求和例1已知数列{a_n}满足a_(n+1)=a_n+3n+2,且a_1=2,求a_n.解由a_(n+1)=a_n+3n+2知a_(n+1)-a_n=3n+2,a_n-a_(n-1)=3n-1.a_n=(a_n-a_(n-1))+(a_(n-1)-a_(n-2))+…+(a_2-a_1)+a_1=(3n-1)+(3n-4)+……+5+2     

浅谈由递推公式求通项公式的有效方法

<正>类型一:累加法形如:a_n=a_(n-1)+f(n)(其中f(n)不是常值函数)例1已知数列{a_n}满足a_1=3,2/a_n-a_(n+1)=n(n+1),则a_n=____。方法指导:先将递推公式变形为a_n-a_(n-1)=f(n),令n=2,3,4,…,n,再将这n-1个式子相加,得a_n-a_1=f(2)+f(3)+…+f(n)。所以,a_n=a_1+f(2)+f(3)+…+f(n)=a_1+     

常系数线性微分方程的特解求法的另一证明

在王高雄等人编的《常微分方程》的教材中,常系数齐线性方程y~n a_(n-1)y~(n-1) …… a_1·y a_oy=0的n个线性无关的特解及非齐线性方程y~n a_(n-1)·y~(n-1) …… a_1·y a_oy=e~(λx)·A_m(x)的特解的证明过程有一定的技巧性,本文介绍的证明方法没有用到变换的方法,证明更为简单.     

线性非齐次方程快速待定系数法

其中F(D)=a_0~(?) a_1D … a_(n-1)D_m~(n-1) a_nD~n,D=d/dt,求其特解的方法很多,待定系数法,方法简单但计算工作量大,算子解法则需要一套理论准备,我们现在提出的解法是介于这二者之间,特别是当f(l)=P_m(t)为m次多项式时,求(1)的特解转化为做一个除法,把求导、代入等过程都省去了。类型IF(D)x=P_m(t)(2)分两种情形讨论。第一种情形为a_0≠0,此时方程(2)应有m次多项式的特解,为了简化计算我们取     

变系数线性齐次微分方程内e~(rx)型特解的求法

求一般变系数的线性齐次微分方程的特解往往只是凭观察,而没有一个有效的方法,本文根据线性无关函数组u_1,u_2,…,u_m的线性组合sum from n=l to m(i=l)k_ju_l≡0的充要条件是系数k_1,k_2,….k_m.全为零的性质,给出变系数线性齐次微分方程内e~(rx)型特解的一种求法.(sum from n=l to m(i=l)a_(ol)u_l)y~(n)+(sum from n=l to m(i=l)a_(n-1)_lu_l)y~(n-1)+…+(sum from n=l to m(i=l)a_(ol)u_l)y≡0     

单位圆内解析系数的高阶线性微分方程解的超级

对高阶微分方程f(n)(z)+An-1(z)f(n-1)(z)+An-2(z)f(n-2)(z)+…A1(z)f'(z)+A0(z)f(z)=0和f(n)+An-1(z)f(n-1)(z)+An-2(z)f(n-2)(z)+…+A1(z)f'(z)+A0(z)f(z)=F(z)的解进行了研究,其中Aj(z)(j=0,1,2…,n-1)和F(z)为单位圆△={z:|z|<1}内的解析函数,获得了解的超级和超级零点收敛指数的估计.     

用“配偶”法解两道赛题

下面两道赛题都可以根据左边的式子A的特点,巧妙地配上一个和它“配偶”的式子B,得A-B=0,A=1/2（A B）,运用熟悉的不等式(a_i~2 a_j~2)/(a_i a_j)≥1/2(a_i a_j),(a_i>0,a_j>0),即可得证。例1　证明:对于和为1的正数a_1,a_2,……,a_n,不等式(a_1~2)/(a_1 a_2) (a_2~2)/(a_2 a_3) … (a_(n-1)~2)/(a_(n-1) a_n) (a_n~2)/(a_n a_1)≥1/2成立。 （第24届全苏中学生(十年级)IMO试题）     

试论韦达定理及其应用

1559年,法国数学家韦达提出一个关于一元n次方程根与系数关系的定理:设方程a_0x~n+a_1x~(n-1)+a_2x~(n-2)…+a_(n-1)x+a_n=0的n个根为x_1,x_2,…,x_n,那么x_1+x_2+…+x_n=-(a_1)/(a_0)x_1x_2+x_1x_3+…+x_1x_0+…+x_(n-1)x_n=(a_2)/(a_0)     

一类周期数列通项公式的求法

近几年的数学竞赛题中,出现了满足a_(n+k)=a_n(n,k∈N,k是常数)对所有自然数n都成立的数列{a_n},这样的数列被称作周期数列.一些文章指出:满足f(n)=f(n-1)+f(n+1)的数列{a_n},其中a_n=f(n)(n≥1)是以6为周期的数列;满足a_(n+1)=(1+a_n)/(1-a_n)的数列{a_n}是以4为周期的     

一点异议与一点建议

一对等比数列前n项和的公式另一种证明的异议贵刊1985年第3期《等比数列求和公式的另一种证明》一文中,给出了等比数列前n项和的公式(以下称公式)的又一证法。转述如下: “对于等比数列由它的定义有 a_2/a_1=a_3/a_2=…=a_n/a_(n-1)=q (a_2+a_3+…+a_n)/(a_1+a_2+…+a_(n-1))=q (S_-a_1)/(S_n-a_n)=q (S_n-a_1)/(S_n-a_1q~(n-1))=q 整理得 S=a_1(1-q~n)/(1-q) (q≠1)”     

思考题(九)

题31.已知一个 n 次多项式f(x)=a_0x~n+a_2x~(n-1)+a_2x~(n-2)+…+a_n,其中 a_0,a_1,…,a_n 都是整数,且 a_0≠0.又已知用 x-a、x-b、x-c、x-d(这里a、b、c、d 是各不相等的整数)分别除f(x)的余数都是2,求证对于任何整数 x,f(x)的值不能等于3、5、7、9中的任何一个数。(杨绶)题32.求方程 y~3-y=x~3+3x~2+2x 的全部自然数解。题33.在平面上有五点 A、B、P、Q、R,A、B 为定点,P、Q、R 为动点。其中     

浅析一个公式的错误

腾发祥同志在《数学解题教学新探》一文(见《数学通报》88年第6期)中,提出了一个不正确的公式: 在等比数列中,由公比的意义q=(a_n)/(a_(n-1))=(a_n)/(qa_(n-2))=(a_n)/(q~2a_(n-3))=…=(a_n)/(q~(n-2)a_1)可得q=((a_n)/(a_1))~(1/(n-1))① a_n=a_1q~(n-1)②若a_k与a_r是等比数列的任意两项,类比公式①、②,又得: q=((a_k)/(a_r))~(1/(k-r))③ a_k=a_rq~(k-r)④显然,公式①、②是③、④当r=1时的特     

高阶常系数线性非齐次微分方程特解几种非常规解法

关于高阶常系数非齐次线性微分方程y(n)+a1y(n-1)+…+an-1y′+any=f(x)特解的求法,通常采用待定系数法、常数变易法、算子法、Laplace变化法进行求解,下面介绍了除了这些方法以外的一些非常规解法,仅供教学参考.     

一个多项式定理的应用

多项式有一个重要的定理: 如果使多项式f(x)=a_0x~n+a_1x~(n-1)+…+a.的值为零的不同x值(在复数域内)多于n个,那么a_0=a_1=…=a_n=0。(即f(x)≡0) 这个定理很有用。下面我们只就它的最     

关于较宽一类数列的通项公式

数列的通项公式揭示了这个数列的内在规律。中学教材中,对等差数列、等比数列作了重点介绍,本文想在此基础上作一些推广。首先我们定义:multiply from i=k to n f(i)=1(k>n) 定理一:在数列{a_n}中已知a_1且满足 a_n=f(n)a_(n-1)+g(n) (n=2,3,4…)则a_n=a multiply from i=2 to n f(i)+sum from i=2 to n[g(i) multiply from i=i to n-1 f(i+1)] 证明:1°n=2,右边=f(2)a_1+g(2)=a_2 2°假定当n=k时命题成立即     

等比数列求和公式的另一种证明

对等比数列求和公式(高二代数第58页)S_n=(a_1(1-q~n))/(1-q)给出下面的证明较书上的简捷易懂。对等数列{a_n}由它的定义有 a_2/a_1=a_3/a_2=…=a_n/(a_(n-1))=q (a_2+a_3+…+a_n)/(a_1+a_2+…+a_(n-1))=q (S_n-a_1)/(S_n-a_n)=q (S_n-a_1)/(S_n-a_1q~(n-1))=q     

数列习题解答中常见错误举例

数列是中学数学的重要内容之一,有关数列的习题形式多样,解法灵活,除要求较高的分析问题和解决问题的能力之外,还必须具有清晰的概念和比较坚实的基础知识,否则常因概念不清而导致谬误。举例于下: 一、判别数列的类型不确切。例1 已知数列{a_n}满足a_1=1,a_2=7,且a_n=2a_(n-1)+3a_(n-2)(n≥3) ①求a_n。错解:将2a_(n-1)拆成3a_(n-1)—a_(n-1)后,①式可化为 a_n+a_(n-1)=3(a_(n-1)+a_(n-2),从而 a_n+a_(n-1)/a_(n-1)+a_(n-2)=3     

例析高考数列通项公式的常用求法

例1已知数列{a_n}中，a_1=1，对任意自然数n都有a_n=a_(n-1)+1/(n(n+1))，求a_n．解：由已知得a_n-a_(n-1)=1/(n(n+1))，a_(n-1)-a_(n-2)=1/((n-1)n)，…，a_3-a_2=1/(3×4)，a_2-a_1=1/(2×3)．以上n-1个式子累加，并利用1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)，得a_n-a_1=1/(2×3)+…+1/((n-2)(n-1))+1/((n+1)n)+1/(n(n+1))=1/2-1/(n+1)，∴a_n=3/2-1/(n+1)．点评：求形如a_n-a_(n-1)=f(n)的数列通项，可用累加法．     

等比数列求和公式推导方法之利弊

历来中学数学课本关于等比数列求和公式的推导都采用“错位相减法”,就是为了求等比数列前n项的和Sn先把等比数列{a_n}前n项的和写成 Sn=a_1+a_1q+…+a_1q~(n-2)+a_1q~(n-1)(1)在(1)的两边分别乘以公比q,得到 qSn=a_1q+a_1q~2+…+a_1q~(n-1)+a_1q~n(2)然后(1)、(2)两式错位相减,可以消去许多相同的项。     

算术—几何平均不等式的一个证明

设n是大于1的自然数,a>0。易知a(?)1时,a-1与n-(1+a+…+a~(n-1))总是异号。所以, (a-1)[n-(1+a+…+a~(n-1))]≤0。即(a-1)(n-(1-a~n)/(1-a))≤0。整理,有a(n-a~(n-1))≤n-1。①显然,①式等号成立的充分必要是a=1。如果a_1,a_2,…,a_n是n个正数,在①中令a=(a_1/((a_1+a_2+…+a_n)/n)~(1/(n-1)),则有a_1~(1/(n-1))·(a_2+…+a_n)/(n-1)≤≤((a_1+a_2+…+a_n)/n)~(n~(n-1)),即((a_1+a_2+…+a_n)/n)~n≥≥a_1((a_1+a_2+…+a_n)/(n-1))~(n-1)。②再在①中令a=(a_2/(a_2+…+a_n)/(n-))~(1/(n-2)),重复上述步骤,并结合②,有