高考不等式基础试题考点解析

数学科《考试说明》要求学生:1理解不等式的性质及其证明;掌握简单不等式的解法;掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.2掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其应用.3理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.下面介绍高考不等式基础试题考点及解析.考点1　均值不等式定理简单应用例1　(1999年全国高考题)若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.解析:运用均值不等式求和的最小值或积的最大值时,必须具备三个条件:各数为正;和或积为定值;等号应能成立.解:由均值不等式定理得ab=a+b+3≥2ab+3.即(ab+1)(…     

利用待定系数法解决不等式问题(一)

(本讲适合高中) 1知识介绍 本文主要讲解均值不等式中的待定系数技巧,所需要用的知识十分基础,从熟知的不等式a、b≥0,2√ab≤a+b出发.事实上,可以待定一个系数λ＞0,有2√ab(≤)λa+1/λb.这一简单的小技巧,有时会给解题带来极大的帮助,当是n元均值不等式时,相应地可以待定多个系数.本文还讲了著名的Car...     

完全平方公式的逆向应用

完全平方公式有如下两个: 1.(a+b)2=a2+2ab+b2 2.(a-b)2=a2-2ab+b2 熟练地掌握了它们的正向应用后,你是否想到过逆向应用它们?事实上,逆向应用它们,能把形如a2 ±2ab+b2的式子化为形如(a±b)2的式子.这种和差化积的思想方法,在解题中值得我们一试! 一、计算问题 例1 计算9999×9999+19999. 分析:由于19999=2×9999+1,原式即为形如a2+2ab+b2的式子. 解:原式=99992+2×9999+1=(9999+1)2=100000000.     

一个均值不等式链的简证

命题 已知a＞0,＞0,求证√a2+b2/2≥a+b/2≥√ab≥2ab/a+b,当且公当a=b时等号成立. 这是一个均值不等式链.     

灵活运用基本不等式,全面破解高考题

基本不等式(一些教材上也称重要不等式或均值不等式)可以叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,即a+b2≥槡ab(a≥0,b≥0)(这里a,b可以为0).基     

例析均值不等式的两种典型应用

均值不等式是高中数学中非常重要的一个不等式类型,要求学生能利用均值不等式a+b≥2√ab,已知a与b的积为定值会求a+b的最值;能充分理解均值不等式的适用条件"一正二定三相等".本文将通过举例来说明如何灵活利用均值不等式求函数的最值.     

高考基本不等式学习感悟

<正>在学习过程中,同学们会经常遇到不等式问题,经过归纳总结以及分析感悟,我觉得对于高中阶段的不等式问题,只要掌握了基本不等式的性质及解法,其他问题都会迎刃而解。1.基本不等式:(1)a,b∈R时,a²+b2+b²≥2ab,当且仅当a=b时取等号;其等价形式ab≤a2≥2ab,当且仅当a=b时取等号;其等价形式ab≤a²+b2+b²/2,当且仅当a=b时取等号。     

例谈应用均值不等式求最值的解法

最值问题是中学数学的重要内容之一,它分布在各个知识板块.学生在学到＂均值不等式的应用＂时,常感觉到＂均值不等式a＋b2≥ab/2/1（a〉0,b〉0,当且仅当a=b时等号成立）＂这一知识极易理解,但在解题过程中却往往不知道如何运用.在教学中,我整理了均值不等式求最值的解法,以解除学生的学习困惑.     

一道值得探究的对称不等式

本文主要对一个对称不等式(已知a,b都为正数,且满足a+b=1,则有a+1/ab+1/b≥254)进行变式探究,并利用均值不等式进行适当的推广.     

转化思想在解数学题中的应用

一、等式与不等式的转化例1若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是______.分析为了求ab的取值范围,只要将原等式转化为不等式即可.解运用不等式a+b≥2ab姨,原等式可化为不等式.∵ab=a+b+3≥2ab姨+3,∴ab-2ab姨-3≥0.又ab姨>0,∴ab姨≥3,即ab≥9.例2已知不等式a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c,求正整数a,b,c.分析本题所给的是不等式,而求的是a,b,c,故应将原不等式转化为3个等式,才能解决问题.解∵不等式的两边是整数,∴将a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c配方得(a-b2)2+3(b2-1)2+(c-1)2≤0.则有a-b2=0,b2-1=0,c-1=0,∴原不等式有唯一的一组解a=1,b=2,c=1.二、常…     

均值不等式及运用

均值不等式体现了"和式"与"积式"之间的转化与放缩.在均值不等式中,如果a、b∈R⁺,则有（a+b）/2≥（ab）^1/2（当且仅当a=b时取等号）,利用该不等式的"和定积最大,积定和最小"原理,可以求解物理中的极值问题.     

一类求取值范围问题的解法新探

<正>对下述问题:"实数x、y满足Ax2+Bxy+Cy2=D≠0,求S=ax2+bxy+cy2(或S=ax+by)的取值范围",文[1]通过构造a=b2+c,解不等式a≥c,文[2]、[3]用三角代换,文[4]根据均值不等式a2+b2≥2|ab|,给出了不同解法认真研读后,针对这些方法的不尽人意之处(详     

重视和发掘习题的潜功能

正(数学(高二上册))达标训练二填空题第一题是这样的:已知a,b,c是△ABC的三条边,比较大小(a+b+c)24(ab+bc+ca).这道题的解答可以用特殊值法.取a=b=c=1,得(a+b+c)2=9,4(ab+bc+ca)=12,所以(a+b+c)24(ab+bc+ca).将这道题稍微变形,就是全日制普通高级中学教科书(实验修订本·必修)数学第二册(上)第31页B组题的第6题:设a,b,c为△ABC的三边,求证:a2+b2+c22(ab+bc+ca).这道题的解法紧紧围绕三角形的边的特征,依据不同的思维,不同的入口结合不等式证明的不同方法,可以得到不同的证法.并且依据已经证明的结论,还可以进行引申.     

不等式a~2+b~2≥2ab的变形及应用

<正> 不等式a2+b2≥2ab有许多变形,利用这些变形可以简便而灵活地解答不同类型的问题. 证在不等式a2+b2≥2ab两边同时加a2+b2得     

一道中考题的多种解法

已知a＋b＝2，则a3＋6ab＋b3的值是这是河北省的一道中考题，为拓宽同学们的解题思路，本文绘出6种解法如下，供参考．解法一∵a＋b＝2，∴a＝2－b．解法二∵a＋b＝2，∴原式＝（a3＋b3）＋6ab解法三∵a＋b＝2，解法四根据已知条件，取a＝0，b＝2，代入即得原式＝8.这是用特殊化方法．解法五根据已知条件．可设a＝1＋t，b＝1－t，则解法六∵a＋b＝2，∴a＋b－2＝0由命题“若x＋y＋z＝0，则x3＋y3＋z3＝xyz”得一道中考题的多种解法@徐希扬$山东省郯城师范学校!276100…     

渗透结构意识,例说一组不等式的应用

在不等式单元中,有这样一组重要不等式: a2+b2≥2ab(a、b∈R),a2+b2/2≥(a+b/2)2(a、b∈R),a2+b2+c2≥ab+bc+ac(a、b、c∈R)以及a+b/2≥√ab(a、b∈R+).在这组不等式中,后三个不等式均是由第一个不等式推导出来的,其结构特点:①不等式左右两端同次幂,②具有对称性,③等号成立时的瞬时相等性.若将这组不等式联用、迭用或逆用,通过分析条件、研究结构、合理变形等手段,就能收到培养学生能力,开发学生智力,激活学生思维的效果.特别是它在解决一类有关最值、取值范围以及解证不等式等问题中解题效果尤为突出,现举例说明.     

用基本不等式证明竞赛题中的不等式

不等式的证明是国内外数学竞赛中的热点问题 ,尽管这些不等式的形式各异 ,但很多不等式的证明却可以用两个基本不等式而巧妙地得到解决 .本文所述的基本不等式为 :a + b≥ 2 ab(a,b∈ R+ )及a1+ a2 +… + ann ≥ n a1a2 … an(ai ∈ R+ ) .下面看一些具体例子 .1　用 a + b≥ 2 ab(a,b∈ R+ )证明竞赛中不等式　　例 1　设 x1,x2 ,x3,… ,xn均为正数 ,求证 :x21x2+ x22x3+ x23x4+… + x2n- 1xn+ x2nx1≥ x1+ x2+… + xn.(1 984年全国高中数学联赛题 )证明 :由基本不等式 a + b≥ 2 ab(a,b∈R+ )得x22x1+ x1≥ 2 x2 ,x23x2+ x2 ≥ 2 x3,… …     

妙用均值不等式 提升解题能力

<正>均值不等式是高中数学不等式的一个重要内容,是历年高考与竞赛的命题热点和重点考查内容之一,它在证明不等式、求最值以及实际问题中有着广泛的应用.本文就均值不等式搭桥妙解数学高考题与竞赛题举例介绍如下,以作探讨.例1已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求关于a、b的函数y=1/ab的最小值.分析这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元     

因式分解方法谈

学过因式分解的人爱说:“一提、二代、三分组”.“提”是指“提取公因式”,在因式分解时,首先应当想到的是有没有公因式可提.“代”就是指“应用公式”(代公式).将乘法公式反过来写就得到因式分解中所用的公式,常见的有七个公式:(1)a2-b2=(a+b)(a-b);(2)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);(3)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);(4)a2+2ab+b2=(a+b)2;(5)a2-2ab+b2=(a-b)2;(6)a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3;(7)a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3.以上公式必须熟记,牢牢掌握各自的特点.如果“一提、二代”都不能奏效,就应当采用分组分解.一般地,分组分解大致分为三步:(1)将原式的项适…     

一道高考试题的九种解法

题目 对于c〉0,当非零实数a,b满足4a^2-2ab＋4b^2-c=0且使｜2a＋b｜最大时,3/a-4/b＋5/c的最小值为____. 解法1 均值不等式法 因为 4a^2-2ab＋4b^2-c=（2a＋b）^2-6ab＋3b^2-c=0,