第36届加拿大数学奥林匹克(CMO)(高二、高三)

求所有满足方程组现在要放8个车,则所有放法种数为{‘不夕一z一x一y,2二之一y一x一z,夕之一x一y一z,的三元实数组(x,y,2). 解原方程组可化为{图2令m一(x l)(y 1)一z 1,(x 1)(z十1)一y 1,(少 1)(z l)=x 1.x 1,n~夕 1,t=z 1可得若m,n,t中有一个为O,则其余两个必为O,即(0,o,0)为新方程组的解.若m,n,t是非。实数,将①代人②、③得①②③ ,,.=t﹃﹃棚mtntr||少、||t }m。mn一n,二_【m~士1 、n .2刀刀一刀刁。、n一二亡1。则得到新方程组的解为: (l,1,1),(1,一1,一1), (一1,1,一1),(一1,一1,1).故原方程组的解为: (一l,一1,一1),(0,0,0),(O,一2,…     

普特南数学竞赛试题选登(之7)

本期选登试题 (欢迎读者寄来佳答) 18.(52届)一个长方形,以(0,0),(2,0),(2,3)和(0,3)为顶点,将这个长方形先围绕点(2,0)顺时针旋转90°,再围绕点(5,0)顺时针旋转90°,然后围绕点(7,0)顺时针旋转90°,最后再围绕点(10,0)顺时针旋转90°.求开始位置为(1,1)的点的运动轨迹以及x轴以上旋转所含区域的面积.     

2005年全国高中数学联赛天津赛区初赛

一、选择题(每小题5分,共30分)1.在△ABC中,如果a2+b2=6c2,则(cotA+cotB)tanC的值等于().(A)51(B)52(C)71(D)722.已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数.如果对于任意的a、b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a),则函数f(x)().(A)是奇函数(B)是偶函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)既不是奇函数也不是偶函数3.设由正整数有序数对(x,y)组成如下数列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,按x+y的值由小到大的顺序排列,当x+y的则有序数对(m,n)(m、n均为正整数)在该数列中的位置是().(A)第2m+n-1位(B)第2m+n-2位(C)第(m+n…     

03年重庆市高三测试(函数、三角、数列)(高一、高二、高三)

1.已知矗”(7r+a)一一专,则∞豫的值为( ) (A)±丢(B)虿1.(c浮(D)±争 2.函数y一/og2(z+1)+1(z>O)的反函数为( ) (A)y一2’’～1(or>1). (B)了一2’。+1(z>1). (C)y一2H’一1(z>0). (D)y==:2卧’+1(z>0). 3.复数z。一}氅,z:一2—3i,z。一詈,则I 2。I等于( ) (A)i1.(B)√5-g-.(c)佰.(D)5. 4.定义集合A、B的一种运算:A*B一{z I z=z1+z2,其中Xl∈A,z2∈B),若A={1,2,3}'B一{1,2}’则A*B中的所有元素数字之和为( ) (A)9. (B)14. (C)18. (D)21. 5.在等差数列{n。}中,a1+3a8+口。。一120,则3a 9一倪11的值为( ) (A)6. (B):12. (C)24.…     

数学单元测试题（二）

一、填空题1.若一2口<:一26,贝0口2.若一＆>一6,且c”、“一”或“<”符号:(1)若z<一1,贝0 z(2)若z<1,则一2z+21Z’6f.(3)若日>6,c>d,贝0口+c 6+d;(4)若m≥枷Ⅱ字代数式竺尹的值不小于一2且不大于4,则垅的取值范围是5.如果z≥口的最小值是2,z≤6的最大值是一6,则日+6的值是6.不等式组{三三二:.14的解集是7.不等式组{耋乏笔?的解集是 LZ—Z≮S8.不等式组{篡:i三i的解集是 I 5z—Z<、49.若不等式组{耋芝:妻;的解集为一1相似文献   

例谈数列中整数解问题的求解策略

本文结合教学中学生遇到的困难,以近几年高考或模考中的数列整数解问题为例,谈谈数列中整数解问题的求解策略.策略1 利用多项式因式分解例1 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且2a5-a3=13,S4=16.(1)求数列{an}的前n项和Sn;(2)是否存在正整数m、n(n>m>2),使得S2、Sm-S2、Sn-Sm成等比数列?若存在,求出所有的m、n;若不存在,说明理由.     

第46届IMO试题

第一天1.在正△ABC的三边上依下列方式选取6个点:在边BC上选点A1、A2,在边CA上选点B1、B2,在边AB上选点C1、C2,使得凸六边形A1A2B1B2C1C2的边长都相等.证明:直线A1B2、B1C2、C1A2共点.2.设a1,a2,…是一个整数数列,其中既有无穷多项是正整数,又有无穷多项是负整数.如果对每一个正整数n,整数a1,a2,…,an被n除后所得到的n个余数互不相同.证明:每个整数恰好在数列a1,a2,…中出现一次.3.正实数x、y、z满足xyz≥1,证明:x5-x2x5 y2 z2 y5y 5z-2y 2x2 z5=z5x-2z 2y2≥0.第二天4.数列a1,a2,…定义如下:an=2n 3n 6n-1(n=1,2,3,…).求与此数…     

03年高考试题北京卷

一、选择题 1.设集合A一{z I z2—1>0},B:{z l log zz>0),则A n B等于( ) (A){z}z>1).(B){z J z>0).. (C){7/7 I z<一1).(D){z 1 z<一1或02>1}. 2.设姐一参。,弛一8an,∞一(÷卜5,则( ) (A)y3>yl>yz. (B)yz>yl>y3. (C)yl>yz>y3. (D)yl>y3>yz. 3.“cos2a一一√-g。”是“a一所+笔,愚∈z,’的( ) (A)必要非充分条件. (B)充分非必要条件. (C)充分必要条件. (D)既非充分又非必要奈件. 4.已知a、卢是平面,m、72是直线,下列命题中不正确的是( )(A)若m∥”,m上a,则n上a.(B)若m∥a,口n卢一m,贝4 m∥".(c)若m上a,m上p,则口∥p(D)若优上a,优c…     

两类“派生数列”的通项公式

以〔x〕表示不超过x的最大整数,则有 定理1由。(。)z)个数列{f,(:)}, {f二(n)}的项穿插派生而成灼新数列{a。}:f:(1),…,fm(i),f:(2),…,fm(2),…,汽(哟,…,f二(耐,…的通项公式是。一f,(。)〔}。。s犯二工,{〕 f:(,一1)〔{eosn一2_:、—兀IJ … f二(n一, 1)〔j eos牲二塑二J〕. 定理2由,(二)z)个数yIJ{g工(,)}…,{gm(哟}沟项穿插而成的新数列{乡。}g,(1),g:(z),…,gm(爪),92(优 1),…,g二(2川),…,91(,2琳一,n 1),92(”沉一m十2),“’,g二(”m),…的通项公式是b。=g,(”)〔}cosn m一1 仇万{〕 92(:)〔{e 05刀 巾一2 水二}〕·一 g。(:)〔…     

第20届美国数学奥林匹克试题及解答

1.对于满足匕A=2艺B,匕C是钝角,三边长a,b,。是整数的△月BC,求周长的最小值并给出证明. 2.对任何非空数集S,令a(S)和二(S)分别表示S中所有元素的和与乘积.求证: ~口(S)_/_,,,_、2.,1,1 、,二粤笔李=l称2+2件l一tl+今+李 ‘曰兀(S)、一/、一23a_b+e乙a+…十令)(·+,),其中“兄”表示对{1,2,…,,}的所有非空子集求和. 5.对于任意固定的整数n)1,求证数列 2 2,22,22,…(modn)自某项后是常数.4.设a==mm+1+”n+1爪m+n其中二,”是正整数.求证: am+a”)mm+n”. 5.设D是已给△ABC的边AB上的动点,E点在该三角形的内部且是△ACD和△BCD内切…     

2004年普通高等学校招生全国统一考试(广西卷)数学(理工农医类)

一、选择题 :每小题 5分 ,共 60分 .1.设集合M ={(x ,y) |x2 y2 =1,x∈R ,y∈R},N ={(x ,y) |x2 -y =0 ,x∈R ,y∈R},则集合M∩N中元素的个数为 (　　 ) .(A) 1　　 (B) 2　　 (C) 3　　 (D) 42 .函数y =|sin x2 |的最小正周期是 (　　 ) .(A) π2 　　 (B)π　　 (C) 2π　　 (D) 4π3 .设数列 {an}是等差数列 ,且a2 =-6,a8=6,Sn 是数列 {an}的前n项和 ,则 (　　 ) .(A)S4 相似文献   

用数学方法解一道竞赛题

题目:在图1中,平面镜MN竖直放置,发光点经平面镜所成的像为S′.保持S不动,使MN在竖直面内绕O点按顺时针方向转过α的过程中,试确定S的虚像S′的运动轨迹.图1图2解:建立如图2所示的坐标系.各位置坐标为O(0,0),S(m,0),S′(x,y).MN与x轴的夹角为θ.所以,镜MN的方程为y=xtanθ.S与S′关于MN对称,所以直线SS′的斜率为k=-ta1nθ.(1)设SS′的中点为C,所以,C(x 2m,2y).因为C∈MN,所以y2=x 2mtanθ.(2)tanθ=-x-ym.(3)代入(2)式得y=-(x m)y(x-m).化简得x2 y2=m2.所以S′(x,y)的轨迹为以O为圆心,m为半径的一段圆弧.用数学方法解一道竞赛…     

对一道高考题的研究(高一、高二、高三)

2004年的高考数学有这么一道考题:已知数列{a二}的前n项和S。满足 S,=Za。 (一1)n,n)1.(1)写出数列{a。}的前三项al,aZ,a3.(2)求数列{a。}的通项公式.(3)证明:对任意的整数m>4,有2一l(一l)1 2rl al一上驾斗热笋竺坦 2”一’一普〔2一2 (一‘,一‘〕· 解法2根据式子 a,=Zaol ZX(一1)”一l下标的特点又可得到7l8’ V1一甄 1一a5 1一a4些2月煞乙n--l一舞 (一音)一‘,一舞 (一音)一2,aZ al./1\又万一茸二十气一万犷,。乙“、乙/将上述(n一1)个式子相加,得气一2n 11\十t一二犷J 、乙, 1「./l\”一1刁一二二}1一几一二二J} 乙L、乙/J1…     

请看此不等式的多种证法(高一、高二、高三)

题 若z,Y,z都是正实数,且 z Y z一1,求证:喜 专 导≥36. Z V Z 证法1 利用均值不等式 二 36x≥12, 亏 36y≥24, -三. 36z≥36,以上3个不等式相加并整理,得 土 三 旦 z 3, z≥72—36(z Y z)一36,故 { 寺 导≥36. Z V Z证法2 利用增量代换设1—6z a1,2—6了 口2,3—6z ％,其中d1 口2 OL3—0,则有 三 兰 旦 (6x “1)。。(6y 。2)。.(6z 铂)。==一— -～—-一≥36x 36y 36z 12(口1 口2 吧)一36(z Y z)一36.证法3 利用柯西不等式变形得E(JY)。 ％)。 派)。].[(去)。 (隽)。 皖)。] (m一7z)。≥0,丝(研一”)≥优一n,,2 9一z 4一y ,一z_叫 …     

互补的数列与一道国际数学竞赛题

1.数列互补的定义及定理: 定义如果两个递增的正整数的数列{f(n)}、{g(n)}满足下面两个条件: (ⅰ)这两个数列没有相同的项,即对任意的正整数m、n,有,f(n)≠g(m); (ⅱ)每一个正整数k,都必定在数列{f(n)}或{g(m)}中出现,即总可以找到正整数n或m,使得k=f(n)或k=g(m)。     

数学期末测试题

一、填空题(每小题2分,共22分)1.绝对值小于2号的整数是,单项式一—22arb4是2.24878精确到千位的近似数是 ,有效数字是用科学记数法表示为——. 3.若一(咒+2”z)x2y(.-1)与一百1 z…y。是同类项,则m一4.设y,一2z+3,y。一5z一虿1,如果y,一4y2,则z一5.B知焉乩则i3x--丽5xy4.3y一_6.用“>,,g-tl!l一罂与一要连接起来得 上3 0次单项式.,1989保留两个有效数字7.若I口I一2,lbl一5,ab％O,则口+6一——.8.若n、b互为相反数,C、d互为倒数,e是最大的负整数,m是绝对值最小的有理数,则(口+6)。一(era--cd)。一 .9.若tn一咒一10,mn一一4,则(一2ran4-2m …     

等差数列通项公式和前n项和公式的变形及应用

众所周知,等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d可变形写成:an=dn+(a1-d),这个式子的几何意义是点列An(n,an)(n∈N+)在直线y=dx+(a1-d)上.同样,等差数列{an}的前n项和公式sn=na1+n(n2-1)d可变形为:snn=a1+n-12d=2dn+(a1-2d),它也可看成是点列An(n,snn)在直线y=2dx+(a1-2d)上.于是得到以下两个结论:结论1等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d,则点(1,a1),(2,a2),(3,a3),…,(n,an)…共线.结论2等差数列{an}的前n项和sn=na1+n(n2-1)d,{sn}为等差数列的前n项和组成的数列,则点(1,s11),(2,s22),(3,s33),…,(n,snn)…共线.例1已知等差数列{an},a4=…     

对周期数列的探讨

定义1.对于无穷数列{x_n},如果存在一个自然数m,当n取一切自然数时,等式 x_(n m)=X_n恒成立。则称数列{x_n}为周期数列,自然数m叫做它的一个周期。如{sin(2n/3)π}就是周期数列,3是它的一个周期。定义2.如果有若干个自然数都是同一数列的周期,则把最小的周期叫做这个数列的最小周期。如4,8,…,4k(k∈N)都是数列{i~n}的周期,4是它的最小周期。本文以后所提到数列的周期都是指最小周期。下面我们求探讨周期数列{x_n}的通项公式。 (一) 周期为1的数列: x_(n 1)=x_n。即为常数列:x_n=c。     

2006年高考数学模拟试题（二）

一、选择题(本题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目的要求的)1.已知i是虚数单位,若复数z=cosθ+isinθ(θ∈R)在复平面内对应的点在直线x+2y=0上,则cotθ的值等于().A.2B.-2C.12D.-122.若数列{an}的前n项和Sn=log5(n+4),则数列{an}从第二项起是().A.递增数列B.递减数列C.常数数列D.以上皆不是3.函数y=log12|x|1-x-1的定义域是().A.12,1∪(-∞,0)B.(-∞,1)C.12,1D.0,12∪(1,+∞)4.若随机变量ξ的分布列为:P(ξ=m)=13,P(ξ=n)=a.若Eξ=2,则Dξ的最小值等于().A.0B.2C.4D.无法计算5.已知长方体…     

问题3.9参考答案

解将原方程变形:1 1 L 14—十—十—一二,工y二口设x毛y(z,则生<土+上+生毛立工工y二x 14,3,尽p—<、一不芝乏— 了OX 5__15 一厂久工咬下尸 件任故二一2或3.3一10 一一1一x 一4一5 一一1一︸"当二一2时,有兰)工+yyl_1 .13—久—十—一二下又夕y 2 IU,…毕相似文献