普特南数学竞赛试题选登(之2)

上期试题解答1.解法1 直接展开,做多项式除法原式末式中的等号仅当x=1时成立.     

普特南数学竞赛试题选登 (之5)

本期选登试题 (欢迎读者寄来佳答) 14.(61届)实数A:x0,x1,…,xn,…都是正数,且=A.求x2i的取值范围. 15.(61届)在半径为r的圆周上有三个坐标是整数的点.证明其中两个点的距离不小于.     

普特南数学竞赛试题选登(之6)

本期选登试题 (欢迎读者寄来佳答) 16.(56届)设S是一个实数集合,它对于乘法是封闭的(即:若a与b都属于集合S,则ab也属于S).设T,U是S的两个不相交子集,且其并集为S.若T     

普特南数学竞赛试题选登(之3)

本期选登试题 (欢迎读者寄来佳答) 8.(57届)⊙O1和⊙O2的半径分别是1和3,|O1O2|=10,求⊙O1上所有点和⊙O2上所有点连线的中点的轨迹.     

普特南数学竞赛试题选登(之8)

本期选登试题 (欢迎读者哥来佳答) 20.(53届)已知m和”互质,m是给定的整数,试求出方程(z。+y。)”一(xy)”的一切解(即”,z,y均用m表示). 21.(52届)对任意非负整数n,定义S(n)一”一m。,m是满足研。≤n的最大整数,又定义无穷数列{n。}:口1=A,n科l一口。+S(a。),n≥1.问:当A是怎样的正整数时使数列{口。)是常数数列?上期问题解答 18.点(1,1)的最后位置:由于点(1,1)在长方形中的位置是相对稳定的,所以不必考虑长方形的旋转,只分析点(1,1)依次围绕点(2,O),(5,O),(7,O),(10,0)顺时针旋转90。先后到达位置即可: 起始点(1,1)一(3,1)一(6,2)一(9,…     

普特南数学竞赛试题选登

普特南数学竞赛的全称是“William LowellPutnam Mathematical Competition”,这是美国大学生的数学竞赛,由美国数学协会主办,至今已超过了60届,美国最有名的一些大学,如哈佛大学,麻省理工学院,斯坦福大学,加州理工学院,普林斯顿大学等校的数学系每年都组队参加.竞赛在每年的     

普特南数学竞赛试题选登（之4）

本期选登试题 (欢迎读者寄来佳答) 11.(56届)有4堆豆子,每堆豆子的粒数分别为3,4,5,6.两人玩游戏,每次拿取豆子的方式有两种: (1)从一堆里拿取1粒豆子,但这堆里必须还剩至少2粒. (2)如果某堆只含2粒或3粒,则可以全部取出. 两个人轮流拿取豆子,拿最后一堆豆子的人为胜. 要想获胜的人,是先开始拿?还是后开始拿?为什么? 12.(61届)证明:存在无穷多个整数n,使得n,n+1,n+2都是两个整数的平方和.     

一道普特南数学竞赛试题的探究

第16届普特南数学竞赛有一道试题[1]: 给定T1=2,Tn+1=Tn2-Tn+1,n>0,证明:(1)若m≠n,则Tm与Tn没有大于1的公因子;(2)∞∑i=1 1/Ti=1.     

美国第47届普特南(大学生)数学竞赛试题选解

美国第47届普特南大学生数学竞赛于1986年12月6日举行。试题分一、二试各6题,每度的前两题为初等数学题。现将这4道初等数学题解答如下。     

第50届普特南数学竞赛初等数学试题选解

第50届美国普特南大学生数学竞赛于1989年12月2日举行,有373所高校(美、加、的2392名学生参赛,其中有288支参赛队计算集体名次,哈佛大学夺得冠军。同往年一样,比赛分两次举行,每次考六道大题。试题中有部分题目属初等数学范畴,或可用初等解法,现选解于下,供读者参考。     

第52届普特南数学竞赛

普特南数学竞赛由美国数学会主办,每年一届。本届比赛于1991年末举行,参赛者为美国和加拿大数百所高等院校的学生。竞赛分为A,B两试,中等数学与高等数学的问题兼有,在本届赛题中,A-3,A-5,B-2,B-6等要用到微积分的知识,不适于中学数学竞赛。但为了资料的完整,也一并译出。     

第53届普特南数学竞赛

A-1.证明f(n)=1-n是唯一的定义在整数上且满足下述条件的整值函数: (i)对一切整数n,f(f(n))=n。 (ii)对一切整数n,f(f(n 2) 2)=n。 (iii)f(0)=1。     

第54届普特南数学竞赛(1993年12月4日)

问题A—1 水平线y=c交曲线y=2x-3x~3于第一象限.如图 求c使得两个阴影区域的面积相等.解(185,2,0,0,0,0,0,0,1,0,14.5),c的值为(4/9).y=(b,c)表示第二个交点,我们希望求得c使得     

一道普特南数学竞赛题之教学札记

受普特南促进学术奖金基金会赞助并由美国数学协会主办的威廉·罗韦尔·普特南数学竞赛（The William Lowell Putnam Mathematical Competition）,始于1938年．该竞赛一般每年举行一次,有来自美国和加拿大数百所高等院校的数千名学生及数百个大学代表队参加,每队三人．竞赛进行一天,分上、下午两试,每次三小时,     

江苏省初中数学竞赛未面世试题选登

1997、1998年江苏省初中数学竞赛命题组征集到许多好的试题,其中除少部分已选为赛题外,大部分尚未面世,现从这部分试题中优选出一部分,予以简解或点评,以飨读者.     

昆明市初中数学竞赛试题(一)

(1 995年12月9日)一、单一选择题 (每小题4分,共28分) (A)n为偶数. (B)n为奇数.1.若ado,”为自然数,欲使～2a”·n。>O,则 (C)”为自然数. (D)以上结论都不对应满足( ) 2.设z<一1,化简2一【2一lz一2l I的结果是《数学教师》1 996年第2期(总第134期) ( ) (A)2一z. (B)2 z. (C)一2 z. (D)一2一z. 3.若【z .),一5 l ~/2z y一8一O,则z,的值是 ( ) (A)6. (B)9. (C)12. (D)无法确定. 4.若直角三角形的两直角边的长分别为1和2~/2,则斜边上的高为 ( ) (A)3汀. (B)喜厄. (c)善v厂i. (D)、/ri. 5.矩形ABcD的宽为6cm,对角线长为10cm,点E、F将…     

国外数学竞赛试题选译(四)

61.已知 a,b,c 三数满足条件0≤a≤1≤b≤2≤c≤3.问以 a,b,c 为边的三角形的最大面积等于多少?62.设三角形 a 边上的高 h_a≥a,b 边上的高 h_b≥b.求此三角形三个内角的大小?63.△ABC 的三条高线相交于 O 点,已知 OC=AB,求∠C 的大小?64.飞机沿着中心位于 A 点的圆形轨道飞行,轨道半径10公里,飞行速度1000公里/小时.设某时刻从A 点发射出一支火箭,在整个飞行时间内,控制火箭的速度总等于飞机的速度,火箭的位置总在飞机所在位置和轨道中心 A 的联结线上.问火箭发射后经过多少时间才击中飞机?65.在平面上固定一点 P,考虑所有可能的正三角形 ABC,它们满足条件 AP=3,BP=2.问 CP 的最大     

国外数学竞赛试题选译(二)

2 1.设a。,a、,a:,一,a 13 a23 … a”3=a,,a。,,,…是一个公差为d的等差级数.证明:(a砂n,、)2一(a、a。)222.设有n个各不相同的正数al,aZ,…,an,作出其一切可能的和数(被加项的个数从1取到n).证明得到的和数中至少有n(n 1) 2个两两互不相等. 23.设P和穿是两个互素的自然数.把具有形式Px 尹(其中x和梦是非负整数)的整数叫做规则整数,否则就叫做不规则整数.证明对于任意给定的整数n,必定存在一个整数c,使得n和c一n之中总是一个为规则整数,而另一个为不规则整数. 24.已知a>。,b>。,‘>。.证明:(a b一c)(b十c一a)(c十a一b)《abc.-.20.设n为大…     

国外数学竞赛试题选译(三)

41.方格纸上三个相邻方格组成的图形(?)称为角形。证明:包含1961×1963个方格的长方形不能由角形拼成;而包含1963×1965个方格的长方形能够由角形拼成。 42.方格纸上有一条闭折线,它的各个顶点都是格子点(方格纸的水平线和竖直线的交点),它的各节线段都有相同的长度。证明组成这条折线的线段数目一定是个偶数。 43.在n只容积足够大的容器里装有同种液体,按照以下规则把一只容器里的液体转注到另一只容器里:若甲容器里的液体量不少于乙容器里的液体量,则从甲容器里把液体倒到乙容器里去,倒进乙容器的液体量恰好等于乙容器里原有的液体量,这样算是转注一次。问当n为何值时可以经过有限多次转注把所有     

2002年各地中考数学特色试题选登(之1)

一、重庆市 (409100 重庆市石柱中学黎红供) 1.如图,OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象,图中s和t分别表示运动路程和时间,根据图象判断快