非负数的性质及其应用

一、非负数正数和零统称非负数.实数的绝对值、实数的偶次幂、实数与其绝对值的和等都是常见的非负数.这些不同类型的非负数常常在代数式、方程中有机地结合在一起. 二、非负数的性质(1)有限个非负数的和或积仍是非负数;(2)有限个非负数的和为零等价于每个非负数为零;(3)有限个非负数的积为零,则至少有一个非负数为零. 三、非负数性质的应用解有关非负数的代数式或方程问题,需在观察的基础上进行适当变形,尤其是要灵活地9且状(实见数非一在地运用配方法. 1.求值. 例1 若x-y 2与(x y-1)2互为相反数,则x=,y=. 解:∵x-y 2与(x …     

解关于x的方程ax=b

解答关于x的方程ax=b时,常要根据它的解的情况对其中a,b的取值进行讨论.一般,有下面几种情况:(1)方程有惟一解时,a≠0.(2)方程无解时,a=0,b≠0.(3)方程有无数个解时,a=0,b=0.现举例介绍如下:例1已知关于x的方程(3a 8b)x 7=0无解,则ab是().(A)正数(B)非正数(C)负数(D)非负数解移     

解决二次根式问题中的数学思想方法

正数学思想方法是解决数学问题的金钥匙.在解决二次根式的有关问题时,常用到如下几种数学思想方法。一、方程思想例1(2013年四川省攀枝花市中考题)已知实数x,y,m满足(?)+|3x+y+m|=0,且y为负数,则m的取值范围是()A.m6 B.m6 C.m-6 D.m-6解析由二次根式、绝对值的非负性,结合非负数的性质可知,(?)=0,|3x+y+m|=0。即(?)解得(?)。因为y为负数,则有6-m0,解得m6。故答案选A。点评本题利用二次根式的非负性和非负数的性质,通过列方程(组)来     

不定方程的初等解法

当未知数的个数多于方程个数时,此方程(组)称为不定方程(组)。它的一般理论超出了中学数学的范围,但常见到属于这类问题的一些特殊问题,却能巧妙地应用初中数学知识去求解,笔者归纳为如下几个方面的问题。 (一)应用平方式、绝对值、算术根的非负性及非负数之和的性质。     

怎样求一个方程中的几个未知量

求方程中的未知量,通常是解与这些未知量有相同个数的方程(组),但也常常有求一个方程中的几个来知量的问题出现,这类问题,一般说来属于不定方程,有无穷多解,但在特殊条件下,它也可能只有有限解。这些特殊方程构思巧妙,既可考查学生的“双基”和掌握知识的深广度,又可培养学生思维的灵活性与创造性,本文介绍求这类特殊方程实数解的六种常用方法。一、利用非负数性质当若干个非负数之和为零时,每一个非负数必等     

二次根式中的数学思想

数学思想是解决数学问题的金钥匙.在解决二次根式问题时,常用到如下数学思想: 一、方程思想利用二次根式的非负性和非负数的性质,通过列方程(组)来解决问题. 例1 (2012年宁波卷)已知实数x,y满足√x-2+(y+1)2=0,则x-y等于(). A.3 B.-3 C.1 D.-1 解:由二次根式、偶次方的非负性和非负数的性质可知x-2=0,y+1=0,解得x=2, y=-1,x-y=2-(-1)=3.选A. 温馨小提示:非负数(如绝对值、偶次方、算术平方根等)是具有特殊性质的数,一个等式中有两个未知数,利用非负数的性质构造方程组,从而求出未知数的值.     

我国是引入负数最早的国家

在世界数学史上,我国最早明确提出了正、负数的概念,并正确提出了正、负数加减运算法则. 早在公元2世纪的《九章算术》的方程中和刘洪制定的乾象历(公元174年)中,对正、负数和零的加减运算法则都有记载,称为     

对不等式(组)习题的难点剖析

在不等式这一部分内容里,由于新教材的入门知识往往和生活实践有着密切联系,内容比较浅显,学生易理解,学起来比较快.但在作业中,学生对不等式知识的内涵和外延的理解还不够,需要教师在课堂上适当补充一些典型习题,增强学生对不等式的理解.一、方程(组)型转不等式(组)例1已知关于x的方程4(x 2)-2=5 3a的解是非负数,求a的取值范围.解:方程变为4x=3a-1,得x=3a4-1.因为方程的解是非负数,所以3a4-1≥0,得a≥31.例2m取什么值时,二元一次方程组43xx 32yy==mm- 1#1的解为x>0,y<0#.解:方程组的解是x=m 5,y=-m-7#.∵yx<>00,#.∴m-m -5>7<0,0#.∴m>-5,…     

巧用性质妙解题（初一）

非负数,顾名思义,即:不是负数,而是大于或等于零的数.组对值、完全平方数、算术平方根等都是非负数.非负数有下面几条重要的性质: ①非负数之和仍为非负数; ②非负数之积、商(除数不为0)仍为非负数; ③若干个非负数之和为0,则各个非负数必同时为0.     

数学中的非负数

先来看一个例题:例1(3√-a)2与｜b-1｜互为相反数,则2a-b的值为.同学们看到这道题,都能写出(3√-a)2=-｜b-1｜即(3√-a)2+｜b-1｜=0.但由这个等式怎样求出a、b的值,进而再求2a-b的值呢?一个方程中有两个未知数,怎么求解呢?有些同学把(3√-a)2展开,通过分类讨论把｜b-1｜的绝对值符号去掉,但接下来仍是束手无策,不知如何求解.其实,同学们假如知道非负数及其性质,那问题就很容易解决了.实数中的非负数有三种常见形式:｜a｜≥0,a2≥0,a√≥0(a≥0).这些非负数又有两条性质:①任何非负数的和为非负数;②如果几个非负数的和为0,则这几个非负数均…     

当方程的个数比未知数的个数少怎么办

在平时的学习中我们经常会遇到方程的个数比未知数的个数少的情况,面对这类问题如何解决,根据个人的教学实践,现举例说明下列常用方法。1 化成非负数的和常用的非负数有:a~2(a∈R)、绝对值|a|、偶次     

非负数的应用

非负数是指正数或零.初中数学中,常见的非负数有三种:(1)实数的绝对值;(2)实数的偶次幂;(3)非负数的算术平方根.非负数除了具有非负性以外,还有三条常用的性质:(1)最小的非负数是零,没有最大的非负数.(2)有限个非负数的和,仍为非负数.(3)若有限个非负数的和为零,则其中每一个非负数都为零.     

非负数的性质及应用

a^2、|a|、√a(a≥0)被称为初中阶段所学的三个非负数,它具备以下基本性质：(1)非负数一定有最小值,且最小值是零．(2)有限个非负数的和仍是非负数．(3)如果有限个非负数的和为零,那么必定每个非负数都同时为零．(4)非负数的多值性：     

非负数和等于0的性质的应用

数的范围从有理数扩充到实数以后,非负数的内涵更加丰富了。所谓非负数就是指不是负数,即正数或者0。根据非负数的概念,同学们很容易归纳出非负数的一个重要性质———如果几个非负数和等于0,那么这几个数都等于0(以下简称非负数和等于0的性质)。这个性质在解题中具有广泛的应用,下面举例说明。例1已知:m-1 (m-2)2=0,求代数式1mn (m 1)1(n 1) … (m 2006)1(n 2006)的值。分析:由于非负数的算术平方根是非负数,任意实数的平方也是非负数,这样,已知条件中等式左边就是非负数和等于0的形式。根据非负数和等于0的性质,我们可以把已知等式转化为…     

非负数的性质及其应用

零和正数统称为非负数．如实数的绝对值是非负数，实数的偶次幂是非负数，算术根是非负数．非负数具有下列性质：1．若干个非负数的和仍为非负数，这就是说，若2如果若干个非负数的和为零，那么各个非负数均为零，这就是说，若非负数的性质在数学解题中有广泛的应用，下面举例说明，供参考．例1已知、都是数（1994年成都市中考题）解由已知条件和非负数的性质知解由已知条件和非负数的性质可得解此方程组，分析要求待求值式的值，只要求出a、b的值即可．而要求a、b值，只要根据已知条件建立关于a、b的方程组，然后解此方程组即可求得a、b的…     

非负数的应用

非负数的性质在解决数学问题时,应用十分广泛,而且灵活多变,应用技巧要求较高.本文介绍几例,试图抛砖引玉. 1 在解方程中的应用 例1 解方程 2373250xyxy+-+--=. 解 考虑算术根非负,原方程化为 2370,3250.xyxy+-=--= 解之得29/13,11/13xy==. 故原方程有解: 29/13,11/13xy==. 例2 解方程 2|2422|xxyxy+--++ 22(363)0xxyxy+-+=. 解 由于两个非负数之和为0,则每个非 负数均应为0,故原方程可等价于: 2224220,3630.xxyxyxxyxy+--+=+-+= 解之得112,14/9;xy=-= 223,2.xy=-= 例3 解方程22(1)(4)8xyxy++=. 解 移项整理得: 22224840xyxyxy++-+=,从而…     

谨防未知数取值范围扩大

题目当m为何值时,方程(m(x+2)-3(m-1))/(x+1)=1有负数解? 错解去分母得:m(x+2)-3(m-1)=x+1     

从一道竞赛题的解法谈多元方程求实数解

1987年上海市初中数学竞赛试题中有这样一道题:方程组 x+y=2, (1) xy-z~2=1。 (2)的实数解的组数是( )。 (A)1;(B)2;(C)3;(D)无穷多。本题是关于方程的个数少于未知数个数的多元方程求实数解的问题,初中学生对解此类题往往感到无从入手,本义试就对该题给出几种解法,然后给出关于多元方程求实数解的若干待例,供读者参考。一、配方法利用配方,结合“实数的平方为非负数”这一性质求解。     

例谈竞赛中绝对值问题的分类研究

在初中数学竞赛试题中常出现绝对值问题 ,也是初中生较难把握的概念 ,现介绍常见的若干方法 ,供参考 .1　利用定义法例 1　(1 997年上海市初中数学竞赛题 )若方程ａ1 997｜ｘ｜-ｘ- 1 997=0有负数解 ,则实数ａ的取值范围是 :分析与解　因为方程只有负数解 ,故ｘ <0 ,所以｜ｘ｜ =-ｘ ,原方程可化为 :- ａ1 997ｘ -ｘ- 1 997= 0 ,所以 (ａ1 997 1 )ｘ=- 1 997,即 ａ1 997 1 >0 ,所以ａ>- 1 997.说明　绝对值的定义有两种 ,其一是 :一个正数的绝对值是它本身 ,一个负数的绝对值是它的相反数 ,零的绝对值是零 .即 :｜ａ｜ =ａ　　 (ａ>0 )0　　…     

非负数在解题中的应用

非负数是初中代数中一个重要的基本概念,应用非负数概念解题是一个重要的数学方法.在初中阶段我们重点学习了非负数的三种数学表达式:(1)任何一个实数的平方是非负数.即a2≥0(a是实数).(2)任何一个实数的绝对值是非负数.即对于任何实数a,都有|a|≥0(3)任何非负实数的n次算术根是非负数.即对于任何实数a≥0,都有na≥0,我们经常使用的是a≥0(a≥0).除此之外,非负数还有三条常用的性质:(1)非负数中零的值最小.(2)有限个非负数的和等于零,则每个非负数同时为零.(3)有限个非负数的和仍是非负数.非负数在数学解题中的应用也非常广泛,下面举例说明.…