切点弦方程和性质及其应用

一、切点弦方程在平面解析几何中常见这样一个问题:“过圆外一点P(x_0,y_0)引圆x~2+y~2=R~2的两条切线求经过两个切点的直线方程。”这个问题有两种初等解法:     

有关圆锥曲线弦中点的问题

有关圆锥曲线f(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0的弦的中点问题,大体可分为两类:一是已知斜率为k的一组平行弦中点的轨迹(也就是直径)的方程;一是以定点(x_0,y_0)为中点的弦所在直线的方程(中点弦的方程)。下面分别作论述。一、斜率为k的一组平行弦中点的轨迹(直径)方程定理1.二次曲线f(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0的斜率为k的一组平行弦中点的轨迹(即直径)方程是(2A+Bk)x+(B+2Ck)y+(D+Ek)=0①推论二次曲线的直径是一条过斜率为     

一类直线方程的四种求法

解析几何里有这样一类问题:过二次曲线 C:F(x,y)≡Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0内部〔指包含焦点的平面区域(不包括周界)〕已知点 M(x_0,y_0)作直线与曲线C 相交于两点 A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),使得 M 点平分弦 AB.例.过二次曲线 C:14x~2+24xy+21y~2-4x+18y-139=0内一点 M(1,-2)作一直线,使截得的弦被 M 点平分。求此直线的方程。     

关于二次曲线的切点弦

从点P作二次曲线C的两条切线,切点分别是A、B,称线段AB为点P对C的切点弦。本文在建立切点弦(所在直线)方程的基础上,研究有关切点弦的一些性质。一、切点弦方程例1.求椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1外一点P(x_0,y_0)对椭圆的切点弦AB的方程。     

中点坐标公式的巧妙

关于过二次曲线Ax~2+Cy~2+Dx+Ey+F=0(若二次曲线含有xy项,可以通过坐标变换化为如前的形状,这里只对一般情形进行讨论)内一已知点作被该点平分的弦,求这条弦所在的直线方程,此种问题要求是一条直线,而所求的直线又是通过已知点的,根据直线方程的点斜式,问题的关键在于找出它的斜率,由中点坐标公式,所求直线     

用好直线的参数方程

过点M0(x0,y0)、倾斜角为θ的直线l的参数方程为{x=x0+tcosθ,y=y0+tsinθ(t为参数),其中M(x,y)是直线l上的任意一点.当点M在点M0的上方时,|MM0|=t,当点M在点M0的下方时,|MM0|=-t.课本介绍如何用直线的参数方程求线段长、中点弦的方程,其实,还有很多问题可以利用直线的参数方程来解决.     

直线方程的一种新求法及应用

本文介绍直线方程的一种/另类0求法及解题中的广泛应用.如果P(x1,y1),Q(x2,y2)两点坐标满足:Ax1+By 1+C=0,A x 2+By 2+C=0,说明P(x1,y1),Q(x2,y2)两点都在直线A x+By+C=0上,因为两点确定一条直线,所以直线PQ的方程为:Ax+By+C=0,这给出了求直线方程的一种新方法,应用这种方法,能使许多棘手的解析几何问题得到简捷地解决,下面举例说明.例1过点M(4,2)作x轴的平行线被抛物线C:x2=2py(p>0)截得的弦长为4 2.     

直线参数方程中“t”的运用

<正>苏教版选修4-4中直线的参数方程:过点P0(t),倾斜角为α的直线的参数方程是{x=x0+tcosα,y=y0+tsin{α(t为参数),其中t表示有向线段→P0P的数量,P(x,y)为直线上任意一点.在直线与圆锥曲线相交求交点弦长问题时,可以利用这种参数方程形式通过t的几何意义,将计算简化.     

圆锥曲线弦的中点

解析几何中,涉及圆锥曲线弦的中点问题很多。传统的解答方法是:将弦所在的直线方程,代入圆锥曲线方程,再应用韦达定理。但这样解常常导致冗长的运算,也没有体现弦中点的本质特征。那么,圆锥曲线弦中点究竟有哪些本质含义呢?现试阐述如下。一、弦中点决定所在弦的斜率由于现行教材中,把含交叉项xy的二次曲线:Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0,作为选学内容,所以本文着重研究B=0的情况。定理一:设P_1P_2为圆锥曲线C_1:Ax~2+Cy~2+Dx+Ey+F=0的弦,M_0(x_0,y_0)为弦P_1P_2中点,k为弦斜率,若k存在,     

二次曲线中点弦所在直线方程的求法

已知二次曲线方程为:F(x,y)=Ax~2 Bxy Cy~2 Dx Ey F=0,若以点P(x_0,y_0)为中点的二次曲线的弦存在,求这弦所在的直线方程,是解析几何里常见的一类问题。本文旨在给出这弦所在直线方程的四种求法。 方法一,设所求直线方程为y-y_0=k(x-x_0)将y=k(x-x_0) y_0代入二次曲线方程,整理得:(A BK CK~2)x~2-[2Cx_0k~2 (Bx_0-2Cy_0-E)k-(By_0 D)]x [Cx_0~2k~2-(2Cx_0y_0 Ex_0)k (Cy_0~2 Ey_0 F)]=0     

用直线的参数方程求弦长

已知直线的参数方程{x=x_0+at,y=y_0+bt和二次曲线ax~2+bxy+cy~2+dx+ey+f=0当直线和二次曲线相交时,如何计算弦的长度,这是解析几何中一个常见的问题。本文试图给出应用直线的参数方程求弦长的一般万法。     

这类直线方程如何求

一、原因 我们先看以下问题: 例1 若(x、y)为直线L上任一点,则(3x+2y,x+2y)也为直线L上一点,求直线L的方程。 解答如下: 设直线L的方程为Ax+By+C=0(A、B不同时为0)(1)     

一道课本直线方程习题的解题策略

<正>习题 经过点A(1,0)的直线l被直线2x-y=0和x+y+2=0所截得的线段恰好被点A平分,求直线l的方程.这是北师大版高中数学选择性必修第一册第26页习题1-1B组第6题.本题相当于知道线段(弦)的中点,求线段所在的直线方程.以下几种解题策略,对于二次曲线的“中点弦”问题同样适用.一、待定斜率法解法1 易知直线x=1与直线2x-y=0和x+y+2=0的交点分别为B(1,2)和C(1,-3),     

有趣的直线x_0x+y_0y=r~2

在高二解析几何教材的圆锥曲线一章中有这样的一个结论 :若P(x0 ,y0 )是圆 :x2 + y2 =r2 上的一点 ,那么过该点的圆的切线方程是x0 x + y0 y =r2 .(证明见教材 ) .问题 :若点P(x0 ,y0 )在圆x2 + y2 =r2 外(或圆内 )时 ,直线l:x0 x + y0 y =r2 是什么样的直线 ?与圆x2 + y2 =r2 有什么关系 ?不妨设点P(x0 ,y0 )不在坐标轴上 .直线l:x0 x + y0 y =r2 的斜率是kl =-x0y0(y0 ≠ 0 ) ,而kOP =y0x0(x0 ≠ 0 ) .∵klkOP =-1,∴直线l⊥OP .圆心O(0 ,0 )到直线x0 x + y0 y=r2 的距离为d =r2x20 + y20=r2｜OP｜.①由①可见 ,直线l与圆的关系由｜…     

通法与巧解 常规与能力

问题解决是数学的心脏.而解决数学问题的方式与方法,则是我们数学能力的最好体现.对于同一个数学问题,我们从不同的角度出发,会演绎出不同的数学思想与数学方法,而思考问题的视角则是由同学们数学知识积累的多少决定的.我们用下例与同学们一起分享.例题:椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2),过P点的弦恰好以P为中点,那么这条弦所在的直线方程是()(A)3x-2y-12=0(B)2x+3y-12=0(C)4x+9y-144=0(D)4x-9y-144=0分析1:通法是设出弦所在的直线方程,与已知椭圆方程联立,用直线的斜率k来表达弦的中点P,并与已知中点P(3,2)作比较,从而得到含k方程,求出k…     

利用向量的数量积求点的轨迹方程

.利用向量模的概念图 1【例 1】　已知点P是直线y=1上的动点 ,Q是OP上的动点 ,且｜OP｜·｜OQ｜ =1,求动点Q的轨迹方程(如图 1) .解 :设Q(x ,y) ,(y >0 ) ,P(x1 ,1)∵ ｜OP｜·｜OQ｜ =1,∴x21 +1· x2 +y2 =1即 (x21 +1) (x2 +y2 ) =1①又OP ,OQ共线 ,OP∥OQ ,∴x -x1 y =0 ,即x1 =xy ②把②代入① ,并整理 ,得图 2x2 +y2 -x =0(y>0 ) .2 .利用非零向量垂直的充要条件【例 2】　已知圆x2 +(y-1) 2 =1上定点A( 0 ,2 ) ,动点B .直线AB交x轴于点C ,过C与x轴垂直的直线交弦OB的延长线于圆外一点P(如图 2 ) ,求P点的轨迹方程 .解 …     

也谈圆的“两点式”方程的应用

文[1],[2]给出了利用圆的“两点式”方程 (x-x_1)(x-x_2) (y-y_1)(y-y_2)=0 ① (其中A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)为直径端点) 用以解决以直线与二次曲线相交的弦为直径的圆的有关问题的方法。读后颇受启发。本文从方程①中     

再补充一种中点弦方程的求法

《中等数学》1983年第5期《一类直线方程的四种求法》一文中以例“过二次曲线C:14x~2+24xy+21y~2-4x+18y-139=0内一点(1,-2)作一直线,使截得的弦被M点平分。求此弦方程”,介绍了四种解法,很好,开拓了思路,今再补充一种解法。     

一类直线方程的统一求法

贵刊1983年第5期刊登了《一类直线方程的四种求法》一文,该文介绍了解决如下问题的四种方法:过二次曲线C:F(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0内部[指包含焦点的平面区域(不包括周界)]已知点M(x_0,y_0)作直线与曲线C相交于两点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),使得点M平分弦AB。对于这类问题,可作如下推广:过M作直线与曲线C相交于两点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),使得M点为弦AB的n等分点。当n≥3时,用《一类直线方程的四种求法》一文介绍的四种方法来求     

关于二次曲线弦的分点问题

本刊1994年第3期刊载了张光华同志的《关于二次曲线弦分点问题的处理》一文，提出了利用偏导数法解决这一类问题的观点。本人认为，这一类问题也可用初等方法给出较为筒捷的解法。一、求二次的线以某定点为分点的弦所在直线方程右焦点F的直线与椭圆C交于A、B两点，试求直线l的方程和弦AB的解F(l，0),令A(2cosa,3sina)AF/FB=2由定比分点坐标公式得：1)．|AB|=3/2|AF|=27/8例2过点B(1,l)，能否作直线m,使m与C：x~2-y~2/2=1交于Q_1、Q_2两点，且点B是Q_1、Q_2的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在，说明理由。解设Q…