垂足三角形的几个有趣不等式

以三角形三条高的垂足为顶点的三角形称为垂足三角形.由于直角三角形的垂足三角形退缩为一条线段,所以只需要研究锐角三角形与钝角三角形两种情况.文[1]得到了垂足三角形内切圆半径之间的一个不等式.本文将给出有关面积、周长、边长的三个等式,由此得到几个似曾相识的不等式.引     

和垂足三角形有关的几个不等式

以三角形三条高的垂足为顶点的三角形称为垂足三角形．本文主要研究了和垂足三角形有关的三角形之间外接圆半径、内切圆半径、旁切圆半径及边长相关的几个不等式．     

三角形中的几个不等式

在数学奥林匹克问题 (载《中等数学》2 0 0 0年第 5期第 4 9页 )中有一道几何不等式题 :在钝角△ABC中 ,∠A为钝角 ,ha 为边a上的高 ,求证 :a ha>b c.本文给出如下几个命题 .命题 1　在等腰△ABC中 ,∠ A为顶角 ,ha为边 a上的高 ,则 :(1 )若∠A=arccos72 5,则 a ha=b c;(2     

三角形中的几个不等式

文献[1]-[3]讨论了大量竞赛中的三角形不等式,本文主要通过凸函数方法与极值方法讨论如下另外一种形式的三角形不等式．     

关于垂足三角形的几个极值问题

本文给出垂足三角形中的几个极值,并提出关于垂足三角形的两个极值问题.     

“垂足三角形”的几个性质

1 三阶垂足三角形的性质 以三角形三条高的垂足为顶点的三角形常称之为垂足三角形,本文将此概念作一推广。从平面上一点P向△ABC各边作垂线,垂足为A_1、B_1、C_1且不共线,则称△A_1B_1C_1为点P关于△ABC的垂足三角形,或一阶垂足三角形。点P关于△A_1B_1C_1的垂足三角形△A_2B_2C_2称为二阶垂足三角形,点P关于△A_2B_2C_2的垂足三角形称为三阶垂足三角形。     

几个新三角形不等式

汪长银老师在文[1]中证明了如下结果： 设a,b,c为正实数,且a＋b＋c=1,则1／a＋1／b＋1／c≥25／（1＋48abc）     

几个新的三角形不等式

最近,笔者在研究三角形的内心及它的性质时,发现以下几个不等式：定理在△ABC中,设I是它的内心,a,b,c分别是＜A,＜B,＜C的对边,R是△ABC的外接圆半径．则有当且仅当△ABC为正三角形时,（1）～（3）式等号成立．由柯西不等式,得（AI＋BI＋CI）2两边开方即得不等式（1）．将以上三式相加,并利用均值不等式,得故不等式（3）成立．当且仅当凸ABC为正三角形时,（1）～（3）式等号成立．几个新的三角形不等式@贾玉友$江苏省新沂市教师进修学校!2241001贺才田.不等式“a3 b3 c3≥3abc”的再一次加强.中学教学(苏州),1996,3…     

垂足三角形的几个有趣性质及其猜想

设△DEF为锐角△ABC的垂足三角形(如图).并设△ABC的三内角为A、B、C;三边BCa=、CAb=、ABc=;0EFa=、FD0b=、0DEc=.分别设△ABC、△DEF、△AEF、△BDF、△CDE的外接圆半径、内切圆半径、半周长和面积依次为R、0R、1R、2R、3R;r、0r、1r、2r、3r;P、0P、1P、2P、3P和D、0D、1D、2     

垂足三角形

在数学教学和复习中,教师应注意通过典型问题引导学生由此及彼,由表及里,由浅入深,由易而难,进行积极的思维。这样做有助于加深学生对基础知识的全面理解,提高学生综合分析和解决问题的能力。只要我们引导得法,无疑能够增强他们的求知欲,培养他们主动钻研的精神和方法。 本文提出的就是这样一个问题。     

垂足三角形旁切圆半径的一组不等式

文[1]给出:若△DEF 是锐角△ABC 的垂足三角形,且记 BC=a,CA=b,AB=c,△ABC 的面积、外接圆半径分别为△和 R,△DEF 旁切圆半径依次为 r_D,r_E,r_F,则有(r_D)/(cot A)=(r_E)/(cot B)=(r_F)/(cot C)=△/R.(*)定理设△DEF 为锐角△ABC 的垂足三角形,记号同     

一个与伪垂足三角形有关的几何不等式

本文给出涉及三角形的伪垂心的一个新的几何不等式。 定理 设△ABC的三条高为AD,BE,CF,垂心为H。点D关于BC边中点的对称点为D′,E关于CA边中点的对称点为E′,F关于AB边中点的对称点为F′,则有 D′E′~2 E′F′~2 F′D′~`2≥1/4(AB~2 BC~2 CA~2) (1)等号成立当且仅当△ABC是正三角形。     

垂足三角形序列

我们知道,凡不是直角三角形的三角形都有它的垂足三角形,(本文下面所涉及的三角形都不是直角三角形)。垂足三角形的形状及大小由原三角形完全确定;如果垂足三角形不是直角三角形,那么它的垂足三角形又被完全确定下来;…。这样下去,可得到一系列由原三角形完全确定的垂足三角形。(如下图)△A_1B_1C_1是△ABC 的垂足三角形;△A_2B_2C_2是△A_1B_1C_1的垂足三角形;…△A_(n+1)B_(n+1)C_(n+1)是△A_nB_nC_n 的垂足三角形;…。我们称△A_1B_1     

椭圆焦点三角形的几个不等式

以椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1的两个焦点F1，F2及椭圆上任意一点P（除长轴上两个端点外）为顶点的△F1PF2叫椭圆的焦点三角形．     

关于三角形垂心的几个不等式

《数学通报》2001年第1期给出的问题1293是“若三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，面积为S，求证：Rr≥2√3/9S″.     

从垂足三角形谈起

众所周知,以三角形的三条高的三个垂足为顶点的原三角形的内接三角形称为原三角形的垂足三角形,它的一个有意义的特点是:原三角形的三条高恰为垂足三角形的三条内角平分线.后来,有心人对此深入细致地研究,发现这里有一个问题:是由三条高的条件整体上决定它们恰是垂足三角形的三     

两个三角形不等式

常庚哲和彭家贵的一个不等式可推广为 定理1 a,b,c和△分别为△ABC的三边和面积,n∈N,以a~2~(-n),b~2~(-n),c~2~(-n)为边可构成三角形,以△_n表示其面积,有     

关子三角形外接圆半径的几个不等式

本文给出几个关于三角形外接圆半径的不等式，这些不等式包含了《数学通报》数学问题解答的1429题（2003年第5期）与1531题（2005年第2期）．     

关于三角形长度元素的几个不等式

本建立了几个新的涉及三角形长度元素的不等式,并提出有关的几个猜想。