用函数方程的思想研究等差数列题

数列这部分知识是初等数学和高等数学的一个衔接点,历来是高考考查的重点.在高中数学学习中,如果用函数方程的思想来研究数列,尤其是等差数列,往往能起到事半功倍的效果. 由等差数列的通项公式an=dn=(a1-d)和前n项和公式Sn=2/dn2+(a1-d/2)n可知:当d≠0时,通项an是n的一次函数,表示数列{an}的各点是在直     

应用函数思想，解决数列问题

下面结合几个实例谈谈函数思想在数列问题中的应用 .一、函数的定义在数列中的应用【例 1】给出以下三个结论 :① {an}是等差数列的充要条件是an 是n的一次函数 .② {an}是等差数列的充要条件是其前n项和Sn 是n的二次函数 .③ {bn}是等比数列 ,则bn 是关于n的指数函数形式 ,其中正确的个数为 (　　 )(A) 0　　 (B) 1　　 (C) 2　　 (D) 3分析 :{an}是等差数列 ,其通项为an =a1 +(n -1)d =dn+a1 -d ,其前n项和Sn =na1 +n(n-1)d2 .当d=0时 ,an 不是n的一次函数 ,Sn 也不是n的二次函数 .因此①、②都不对 .不难证明 ,{an}是等差数列 an =an+…     

等差数列求和公式的变换与意义

等差数列 {an}的前 n项和的公式为 Sn =n(a1 + an)2 .当公差 d≠ 0时 ,这个公式通过变式或变换 ,可得到一系列关于 n的二次函数 ,或关于 an的二次函数 ,或关于 n与 an的二次函数 .把等差数列前 n项和的公式直接变形得Sn =12 nan+ a1 2 n (1)把通项公式的变式 an=dn + (a1 -d)代入 (1)式整理得Sn =d2 n2 + (a1 -d2 ) n (2 )把通项公式的变式 n =an+ (d -a1 )d 代入 (1)式整理得Sn =12 da2n+ 12 an + a1 (d -a1 )2 d (3 )把 n =an + (d -a1 )d 仅代入 (1)式中的项a1 2 n后整理得Sn =12 nan+ a1 2 dan + a1 (d -a1 )2 d (4 )把通项公式的变式…     

解数列题应掌握的8种解题思想

1.方程思想例1等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50(Ⅰ)求通项an;(Ⅱ)若Sn=242,求n.解:(Ⅰ)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程组(?)a1+9d=30,a1+19d=50.解得a1=12,d=2.所以an=2n+10.(Ⅱ)由Sn=na1+(n(n-1))/2d,Sn=242得方程12n+(n(n-1)/2×2=242.解得n=11或n=-22(舍去).2.函数思想例2已知等差数列{an}中,a1≠0,前n项和为Sn,且S1=S2005,S9=Sn,求n的值.解:因为点P(n,Sn)在函数y=d/2x2+(2a1-d)/2x的图象上,且S1=S2005所以抛物线的对称轴为x=1003又S9=Sn,所以(n+9)/2=1003,即n=19973.整体思想例3等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=100,S100=10,求S110.解:S100-S10=a11+a12+…+a100=(a11+a100)/2×90又S100-     

等差数列前n项和公式的变形应用

等差数列前n项和公式Sn=na1+n(n-1)/2d，可化为Sn=d/2n^2+(a1-d/2)n，我们令A=d/2，B=a1-d/2，这个公式变形为一个关于n的二次多项式Sn=An^2+Bn(其中A=d/2)，这个公式不仅形式简单，而且还有广泛用途，下面以历年高考试题举例说明．     

活用Sn=an^2＋bn求解等差数列问题

对于等差数列{an}，若其公差d≠0，则其前n项和Sn=na1 (n(n-1)d)/2=d/2bn^2 (a1-d/2)n。     

数列题的图像解法

数列是定义在正整数集或其子集上的特殊函数,具有函数的一些固有特征.我们借助相关函数的图像,可以动态地、直观地研究数列的性质,从而使解题思路更为明朗,方法更为优化.常见数列的图像1.公差d≠0的等差数列{an}将公差d≠0的等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d看成关于n的"一次函数",即an=dn+(a1-d),其图像是均匀分布在直线y=dx+(a1-d)上的     

一元二次函数图像及其性质在数列中的应用

等差数列{an}的前n项和sn=na1n(n-1)d/2=n^2d/2 (2α1-d)/d2，令A=2d/2,B=2α1-d/2(a1是首项，d是公差)。当公差d≠0时，Sn=An^2 Bn，可以看成是关于n的一元二次函数，其图像是过点(0，0)且对称在S轴右侧的抛物线，开口方向取决于d的符号。而点(1，S1)、(2、S2)、(3、S3)、……，(n，Sn)是其图象上的一些孤立点。利用一元二次函数图象及其性质解决一些与等差数列前n项和相关的问题可以大大简化计算。     

用待定系数法求一类数列的通项公式——一道高中数列习题的推广

高中代数(甲种本)第二册77页上有这样一道习题: 已知数列{a_n}的项满足 a_1=b a_(n+1)=ca_n+d(c≠1),证明这个数列的通项公式是 a_n=(bc~n+(d-b)c~(n-1)-d)/(c-1) 我们把这题推广成: 已知数列{a_n}的项满足 a_1=a a_(n+1)-ba_n=c_0+c_1n+c_2n~2+…+c_mn~m,其中b≠0,求这个数列的通项公式. 这类问题,可以用待定系数法解决.以     

一道培训题引出的结论(高二、高三)

题已知数列{an}的前n项和Sn=4n+a,则{an}为等比数列的充要条件是___. (第12届“希望杯”高二培训) 命题委员会仅由必要性即得a=-1,这是不严密的.本文给出等比数列的一个一般性结论及其证明. 结论已知数列{an}的前n项和Sn=Aqn+B(AB≠0,g≠0且q≠1),则{an}为等比数列的充要条件是A+B=0.     

用Sn=an~2+bn解等差数列问题(高一、高二、高三)

若等差数列{an)的前n项和为Sn,公差为d, 则Sn=na1 1/2n(n-1)d =d/2n2 (a1-d/2)n. 令a=d/2,b=a1-d/2,于是Sn=an2 bn(n=1,2,…). 例1 等差数列的S10=20,S20=60,则S30的值是____. (第四届93年“希望杯”高二1试) 解设前n项和Sn=an2 bn,由题设有(?)20=100a 10b,60=400a 20b.解得(?)a=1/10,b=1. 所以S30=900×1/10 30=120. 例2 已知数列{an)为等差数列,若     

巧用三点共线解等差数列题

等差数列{an},若公差d≠0,可以把通项看作是项数n的一次函数,即an=an+b(a≠0),因此通项反映的点对(n,an)一定分布在该函数所表示的直线上.同样,由等差数列前n项和Sn=an2+bn,得出Sn/n=an+b,因此Sn/n是关于n的一次函数,其反映的点对(n,Sn/n)也分布在该函数所表示的直线上.运用     

等差数列前n项和公式

等差数列{an}的前n项和公式可以写成Sn=d/2n^2＋（a1-d/2）n,当d≠0时,Sn是关于n的二次函数。在平面直角坐标系中,表示这个等差列前n项和的各点（n,S）都在同一条过原点的抛物线y=d/2x^2＋（a1-d/2）x上,其中二次项系数即为公差d的一半。由此可得     

等差数列前n项和的最值求法小技巧

设等差数列 {an}是以a1 为首项 ,以d为公差的等差数列 ,其前n项和记作Sn =S(n) .结论 1　若a1 >0 ,且d <0 ,则其数列前n项和有最大值Sn(max) =S( -a1 d) =S( 1-a1 d)=a1 2d(d-a1 ) ,( -a1 d ∈N )或Sn(max) =S( [-a1 d] +1) ,(其中 ,a1 d ∈R+ ,取n=[-a1 d] +1.[x]表示不大于X的整数部分 )证明 :∵a1 >0 ,d<0 ,∴数列 {an}前n项和Sn =S(n)必有最大值 .∴a1 ≥ 0且an+ 1 ≤ 0 ,即a1 +(n-1)d≥ 0且a1 +nd ≤ 0 ,解得n ≤ 1-a1 d 且n ≥-a1 d.讨论 :( 1)当 a1 d ∈N 时 ,则Sn(max) =S( -a1 d)=( -a1 d) +( -a1 d) ( -a1 d -1)2 d=a1 (d-a…     

例谈非常规数列求和的方法

数列求和问题是高考的热点问题,它的基本求解方法是公式法,即利用公式(Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)/2d)和(Sn={na1,q=1,a1(1-qn)/1-9,q≠1)求等差数列、等比数列的前n项和.但针对一些非常规数列的求和问题,公式法不太适用,要通过其他方法进行针对性解题.     

对一类递推数列周期性的再讨论

<正>已知数列{an}满足:an=pan-1+qan-2(n∈N+,n≥3),给定a1及a2(a12+a22≠0),其特征方程为x2-px-q=0(※),判别式△=p2+4q.文[1]作者经过探究给出了此类数列的周期性具有如下结论:(1)当△>0时,当且仅当p=0且q=1时,对于任意的a1及a2(a12+a22≠0),数列{an}是周期数列.特别地,a1≠a2时,数列{an}是以2为周期的周期数列;a1=a2时,数列{an}是以1为周期的周期数列(即常数数列).(2)当△=0时,当且仅当p=2、q=-1且a1=a2时,数列{an}是以1为周期的周期数列(即常数数列),或p=-2、q=-1且a2=-a1时,数列{an}是以2为周期的周期数列.     

数列教学拾零

数列既是传统的中学数学的重要内容 ,又与新增内容密切相关 .我们虽多次教过 ,但每教一次都有一些新的体会 .正是“学然后知不足 ,教而后常有悟”.下面我们把一些零星点滴体会汇报于下 ,与同行切磋 .1　关于数列 {an}前 n项和 Sn.若已知 Sn,求 an 时 ,一般是先计算 Sn -Sn-1 =f ( n) ,再验证 S1 与 f ( 1)的关系 .若 S1 =a1 = f ( 1) ,则对一切 n∈ N+ 均有 an =Sn -Sn-1 ,而若 S1 ≠ f ( 1)时需用分段表示式 an =Sn　　 ( n =1)Sn-Sn-1 ( n≥ 2 ) .实际上 ,这个检验过程可简化 ,若令 Sn =F ( n) ,只要 F ( 0 ) =0 ,则对一切 n∈ N+ …     

2009年一道高考数学题的多解问题解析

山东省2009年高考数学试题数列与不等式的解答题为:等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的nEN+,点(n,Sn)均在函数y=b+r(b＞0且b≠1,b,r均为常数)的图像上.(1)求r的值;(2)当b=2时,记bn=2(㏒2an+1)(n∈N+),证明:对任意的n∈N+,不等式b1+1/b1·b2+1/b2……bn+1/bn＞√n+1成立.     

浅谈函数与方程思想在等差数列中的运用

我们知道,{αn}是等差数列时,αn=α1＋（n-1）d,Sn=nα1＋n（n-1）/2d（Sn=αn^2＋bn,Sn/n=αn＋b（a≠0））.当a≠0时,世,Sn/n是n的一次函数,S是n的二次函数,且不含常数项（n∈N^＋）．     

一道习题的引申及应用

在新教材第一册 (上 )第 1 1 4页 ,有这样一道习题 .写出下面数列 {an}的前 5项 :a1=12an =4an-1+1 (n≥ 2 )下面就此题作探讨 .一、引申递推公式的概念既然在新教材中出现 ,那么已知递推公式求通项公式 ,学生将乐于接受 .因此对上述习题作下面引申 :【例 1】　已知数列 {an}的项满足a1=12an =4an-1+1 (n≥ 2 ),求通项an.【例 2】　 (旧教材P12 63 4题变式 )已知数列{an}的项满足 a1=ban + 1=can +d　其中c≠ 0 ,c≠ 1 ,求这个数列的通项an.其实 ,在an+ 1=can+d(c≠ 0 )中 ,若c =1 ,则该数列是公差为d的等差数列 ;若d=0 ,因为c≠ 0 ,则该数…