两道方程的巧解

解下列方程（x∈R）在解之前，先给出一个命题：设奇函数f（x）是严格单调增（减）函数，则方程f（x）＋f（ax＋b）＝0与方程（a＋1）x＋b＝0同解.证明：∵f（-x）＝-f（X），且f（x）是严格单调函数∴方程f（x）＋f（ax＋b）＝0与方程利用上述性质可以巧妙地解此类方程.解1.原方程变形为令f（x）＝X～3＋x，则易证f（x）在x∈R上是奇函数，且是严格单调增函数，则由上述命题知原方程f（x）＋f（5x＋3）＝0与6x＋3＝0同解，由此得，原方程的解为x＝-1/2.2.令x＋1＝t，则原方程可化为显然f（t）满足上述命题条件，从而此关于t的方程与3t＋1…     

高等数学在解决初等问题中的应用

用高等数学知识来解决初等教学的有些问题很方便。比如：判断函数的单调性及利用函数单调性来证明不等式。例1判断函数f（x）＝Zx＋slllx的单调性。解：对f（亚球导数f,（x）＝2＋。＜0,故f（x浓卜co＋co）上是单调递增的。例。…加）＝＞的…””乙””—’——“’“’J＋十广“—”q—解：对人x）求导数f,（x）＝＝＝＝＝。。”＋“”－’”””“““”－”（f＋X＋l）2因（／＋X＋l）“＞0所以当X＞一步时f’（）＜0,当X＞一步时1（X）＞0””——”””～”‘——”一2—”“”～”””’”一2—““”～”—一故函数人J在（…     

换元法在中考解题中的应用

换元法是一种重要的解题方法。现以中考题为例，说明换无法在中考解题中的应用，供同学们参考。一、用于解简单高次方程[例1]解方程（1992厚质州）[解法1]设L一3X2－2X－1，则原方程变形为t（t＋8）－9＝0，即解此一元二次方程，得3X2－2X＋8＝0（此方程无实数解）；解此一元二次方程，得[解法2]设t＝3X2－2x＋7，则原方程变形为t（t－8）－9＝0，即同样可求得原方程的解，［码法31若作均值代换，则解法更简捷．一3X’－ZX＋3，则原方程变形为（t－4）（t＋4）－9—0，即t一土永余下请同学们自己完成．用同样方法可解下列简单高次方程：…     

从一道求函数值域的题说开

在研究函数值域时经常会遇到这样一类解题方法：求函数y=5/（2x2-4x＋3）的值域.解：此函数的定义域x∈R.视函数式为关于x的方程,变形得2yx2-4yx＋3y-5=0.①     

(六)方程(组)与不等式(组)测试卷(B)卷

一、填空题（每空4分，共40分）：1.方程的解是；2．若（X＋y－1）2＝0，则y一，／；＿＿＿，、＿、20‘，，＿＿3．方程（X’十打）一一一一一一8的解是——”———一H‘＋3H—”“‘”“’4不等式卜一4入＜9的整数解的和是＿＿；5若X；、X。是方程X’－6X＋4—O的响个根，则卜；－X；］一，X；’－X。’、；6．若一个一元二次方程的两个根分别是方程X’一SX＋13一0的两个根的3倍，则这个一元二次方程是；7．若方程x’＋x－6一O和方程x’一sx＋m一0有一个公共根，则m一二、单项选择题（每小题5分，共20分）：1．若方程kX’－4x＋2…     

应用导数解题的常见误区

导数作为一种工具,应用极其广泛,如求函数的单调性、极值、最值和切线方程等.在利用导数解题的过程中,一些典型误区需引起大家的重视.一、误认为导数为0的点必定是极值点例1求函数f（x）=1/5x^5-1/3x^3的极值点.错解：f′（x）=x^4-x^2=x^2（x＋1）（x-1）.由f′（x）=0,得x=-1、x=0或x...     

方程思想在代数解题中的应用

方程思想是转化思想的具体应用，许多代数题都可以转化为方程来解．现以1994年中考题为例，分类介绍方程思想在代数解题中的应用．一、用于相反数例1苦斗a＋1与为相反数，则a的值为．（山东省1994年中考题）分析由两个相反数的和为0列出方程，，解得．二、用于求代数式的值例2已知3X一4y－z一0①，。。＿。r＋／＋z‘。。＿ZX＋v一卜一0②，求——的佰一“——一’“一工y＋yx十加J””一（安徽省1994年中考题）分析三个未知数只有两个方程，不能求出每个未知数的值，应从①、②消去y，得X一3z，再由①、②消去工，得y—2z，代入所求式并…     

中考题中反比例函数综合题的分类析解

反比例函数与其他知识相结合形成的综合题,是中考题的常见题型．类型较多,现分类析解如下：一、与正比例函数相结合例已知正比例函数y1=αx,反比例函数,在同一坐标系中这两个函数的图象没有交点,则a与b的关系是（）（A）同号;（B）互为倒数;（C）异号;（D）互为相反数．（1998,天津）析解即是方程、＝。与方程Y一上组成,、一,＿———。,。＿b,,。的方程组无实数解,…删一”,肌“．b二0凸一0－（－4蛐）＜o,即减＜0,a、b异号,选C．二、与一次函数相结合例2已知一次函数y二3。＋m与反比例函数v一旦二上的图象有两个交…     

初一(上)数学期考模拟题

一、填空题（每题2分,共30分）1．一个数的相反数是3,这个数是＿．2．比较大小：一千一号．,。u－—·、、·4——5’3．绝对值不大于2的整数是＿．4．已知12．3’＝151．29,那么（－0．123）’＝5．用代数式表示：a与b的差除以a、b两数和的平方的商是＿．6．已知两个方程一5x＝2和2（x＋k）一3＝0的解完全相同,则k＝、、．7．已知女a”－’b’与sa’b’－”是同类项,则m＝,n＝8．十2X2－3X＋l＝6X2－10．9．若4x‘”－3ym是三次单项式,则m＝10．最大的负整数是,绝对值最小的数是＿．11．若方程。＋a—l＝l的解是x＝－2,则a12．…     

与奇偶性单调性有关的一个命题

命题若函数f（X）的定义域关于原点对称，且f（X）可表示为人X）一。X）一抓一X），则f（X）是奇函数且与少X）有相同的单调性．这个命题很重要，可以简化奇偶性及单调性的判断过程，应用起来非常简捷方便．例1函数y一二j二的反函数是（A）奇函数且在（0，＋co）上是增函数把）偶函数且在（0，＋①）上是增函数（C）奇函数且在（o，＋①）上是减函数（D）偶函数且在（0，＋co）上是减函数（992年全国高考题）解由于反函数与原函数有相同的奇偶性与单调性，若直接求出反函数判断比较困难，可先考察原函数·。一二子二一美。一冬＿。、，u…     

利用函数y=x＋1／x解题举例

利用函数的单调性解题是数学的重要解题思想 .函数ｙ=ｘ 1ｘ 在 (0 ,1 )内单调递减 ,在 (1 , ∞)内单调递增 .下面通过几个例子谈谈利用这一性质解题 .例 1　求函数ｙ =ｘ2 5ｘ2 4的最小值 .解　令ｘ2 4=ｔ,则ｙ =ｔ 1ｔ,ｔ 2 .因为在ｔ 2时 ,函数ｙ=ｔ 1ｔ 单调递增 ,所以函数在ｔ=2时取得最小值 ,最小值 =2 12 =52 .例 2　已知函数ｙ =ｃｏｓ2 ｘ 6ｃｏｓｘ 1 0ｃｏｓｘ 3 ,ｘ∈ [0 ,π],求值域 .解　令ｃｏｓｘ 3 =ｔ,则ｙ=ｔ 1ｔ,ｔ∈[2 ,4].因为函数ｙ =ｔ 1ｔ 在 [2 ,4]上单调递增 ,所以在ｔ =2时函数取得最小值 =2 12 =52 ,…     

高次方程解法技巧

解高次方程的基本思想是降次．化为一元一次方程或一元二次方程来求解．如何才能降次呢？这就需要掌握一定的技巧了．本文举例说明之，供同学们参考．一、团式分闹法例1解方程（。‘＋2）（X＋3）（x＋8）（x十匕）一4H2．分析方程的一边是四个一次因式，恰当地运用乘法结合律，分解因式以便求解．阐原方程化为．：（X’＋14。·＋24）（。，’＋11X＋24）一4X’．再化为：（2·’＋24）2＋25x（x‘＋24）＋150x’。0．分解因式，得（＿2＋24W10te）（＿2＋24＋15N）一0．X’＋10x＋2《一0解之得HI－ry4，NZ＝－6．X’干15x＋24一0．…     

活用方程根的定义解题

方程的根是指使方程左右两边的值相等的未知数的值，即若X。是一元二次方程＿‘＋bC＋C一0（。羊0）的一个根，则＿g＋bC。＋C一0．下面举例说明根的定义在解题中的应用‘一、求方程的根例1若关于x的方程Zx’－mxwm－1—0有一个根是O，则另一个根是（）（996年山西省中考题）解由条件知m—1—0，·”·m—1·原方程为ZX’－X一0·＿1x，＝0，x，。7＝．。—。一2故另一个根为X一tr．——’、’·—”、一2二、来待定系数的值例2关于X的方程3X‘一ZX＋m一0的一个根是一1，则m一（）．（1996年广东省中考题）解由条件知3＋2＋m—0·m—…     

初中数学总复习测试题

一、选择题（每小题3分，共36分）1．平方根与的积是（）（A）B）（C）（D）2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a0）有一个极为零的条件是（）（A）b2—4ac＝0（B）b＝0（C）c＝0（D）co3点M（1，一2）关于原点对称的点的坐标是（）（C）（－1，－2）（D）（1，2）4．下列五个方程：（1）X‘一3X＋4一0，（2）／Z二百2亚一X，（3）／FH干／i73一O，，。、11＿，＿、l＿＿＿＿＿（4）：L＋H一二0，（5）：L＋X—一2，Krp＃X”“”HZH—””一，—－’”””““”数根的方程的个数是（）（A）0个（）1个（C）2个（D）3个5．若函数y…     

三类抽象函数问题的处理策略

一、含抽象函数的不等式的解法解这类不等式，应充分利用函数的单调性，想方设法去掉“f”，构成不含“f”的不等式再求解．例１已知函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a＜０）对于任意实数x恒有f（２＋x）＝f（２－x）成立．解不等式f（１－２x２）＞f（１＋２x－x２）．解析∵a＜０，∴f（x）的图象开口向下，其对称轴方程为x＝２，故f（x）在（－∞，２犦上单调递增，而在犤２，＋∞）上单调递减．∵１－２x２≤１＜２，１＋２x－x２＝２－（x－１）２≤２，∴（１－２x２）与（１＋２x－x２）的值在区间（－∞，２犦上．故原不等式可化为１－２x…     

函数单调性的判定

函数的单调性是函数的一个重要特性,它在比较大小、求函数值域（最值）、鳃方程、解证不等式以及求参数取值范围等方面有着广泛的应用,因而它在高中数学和大学数学中均有重要地位。运用函数的单调性解题,首先要能迅速判定函数的单调性。下面列举八种判定方法,以拓展解题思路,完善认知结构,提高思维效率。     

构造函数 活用单调性

根据题设条件和题意要求 ,巧构函数 ,活用函数的单调性 ,实现问题转化 .由此 ,既可简化运算过程 ,又可明快证明结论 ;既可探索解题捷径 ,又可发现解题方法 .本文就此举例探究 .1　构造函数方程例 1　解方程 4x +2 -7-x +3 =0解 :由观察可知 ,x的取值范围为 :-2≤ x≤ 7令 F ( x) =4x +2 -7-x +3 ,因为在区间 [-2 ,7]上 ,f ( x) =4x +2单调递增 ,g( x) =7-x单调递减 .所以 F ( x) =4x +2 -7-x +3在 [-2 ,7]上单调递增 ,又 F ( -2 ) =0 ,所以由函数单调性可知 ,原方程的解为 x =-2 .2　构造函数解不等式例 2　解不等式 3 x +1>3 -x解 :构造…     

用通分方法解一类分式方程

形如或可化成形如的分式方程，若a－b＝c－d，那么这类分式方程的求解，可采用方程左、右两边各自通分的方法．这样，容易找到解题的路径，将其巧妙、迅捷地解决．解通分，得解之，得X＝4经检验知X＝4为已知方程的解．解移项，得经检验知为已知方程的解例4解方程解拆项，得解之，得X＝7．经检验知x一7为已知方程的解．值得一提的是，当。一b学C－d时，形如或＿，，＿。、＿，，＿1111L。，。＿－‘—’一”””x士a王士bJ士XX土d”“”“一方程的求解，也可采用方程在、右两边各自通分的方法．只是，我们最后求解的整式方程不是一元一次…     

《函数及其图象》自测题

一、填空题（每小题4分,共40分）1．点P（2,一到关于y轴的对称点的坐标是＿2在函数y＝／万二司十一＼中,自变量X的取值范围是＿·3．当x二3时,函数y＝rt的值是．·4若函数y。。”－2””‘＋m＋2是一次函数,则m的值是5抛物线y二xZ－6x－5的顶点坐标是,对称轴是。6·若函数y＝闹邓妗５脑龃蠖龃螅騧的取*捣段牵*7若一次函数y＝kx＋b的图象经过A（l刃）、B（0,2）*降悖蛩慕馕鍪绞牵*8．若抛物线y＝。‘＋bx＋c经过A（l,－4）、B（－25）、C（0,－3）三点,则它的解析式是＿．9如果函数v一上的图象经过点A（4,豆）,…     

求函数值域的途径

一、运用方程思想 运用方程思想求函数的值域，就是将函数 y=f（ x）的解析式视为关于 x的方程，根据方程有实数解的条件，求出使该方程在函数定义域内有解的所有 y值的集合，即为函数 y=f（ x）的值域 .　　例 1求函数 y=的值域 .　　解 原式可化为 y=． 变形得 (y－ 1)tg2x＋（ 1＋ y） tgx＋（ y－ 1） =0． 则关于 x的方程在已知函数定义域内有解的充 要条件是或 y=1.解得 ≤ y≤ 3， ∴所求函数的值域为〔， 3〕． 二、借助函数的几何意义 借助函数的几何意义求函数最值，充分发挥代换法及利用数形结合两方面的优势，是一种既可化…