一道例题的推广及其应用

题目如图1,Rt△ABC中,匕八CB一’八刀一八B;(2)C〔)2=AD一BD;(3)政〕,刀D .AB. 证’:艺八CB~90。,〔刃土月刀, :’ Rt△ACD的Rt△(泪D的Rt△八刀C.900,CD土AB.求证:(1)月CZ=D一DB一C 一一.八C AD〔刃‘’丽一入乙’入万五〔刀DAB BCAD图1 :.八CZ一AD·八刀,CDZ~乃D·BD,孩二2~BD·八刀. 此题实际上是人教版《初中几何》第二册第226页例2的推广,旧教材把这个结论称为“射影定理”.近几年的中考题中,经常出现以本题结论为背景的题目,现举例如下. 例1如图2,BC是半圆O的直径,延长CB到尸,作尸A切半圆于A,AD上BC于D,…     

明确“∽”的用法

人教版《几何》第二册第艺C刀刀一90。,AC一a,BC一b.式时,△ABC的△Cl〕B?231页例4:如图1,已知乙八BC一当BD与a,b之间满足怎样的关系A aC解丫艺ABC一乙CDB~90a,矍B刀时,△ABC的△CDB.DB1 图即粤 口时,△八BC的△CDB. __bZ ZjLJ~—。 倪~、,,__bZ_,“_____合,白万刀一万叮,乙八万C的凸~乙 有人认为课本例题的解答错了.错在得到Rt△ABC二Rt△CDB时,只考虑了AB与C刀对应的情况,而没有考虑到AB与BD对应.显然当塑BC塑召D时,也有△ABC叻△BDc.即二一色圣鱼三亘时,也有△,Bc。△Boc. 笔者认为课本例题的解答没有错误.这…     

一个假命题

现行初三儿何课本67页的17题是:已知△ABCAD是高,且A刀2=B_D .CD。求证:乙BAC习== 90“。DC=b。 (2)以BC为直径作圆,并过D八(作此 人民教育出版社出版的初中二册几何《教学参考书》给出了如上的图形和证明:;,月 / 、J分 、_涌述 、一一‘石““’“””·C”‘韶·互一召AD土BC今乙ADC=乙BDA=900 今△ADC”△BDA今乙1=乙B 乙B刀A=90“今乙B十乙2=90。}圆的切线刀E,切点为E。 (3)过D点作射线DF上B刀,并在BF上截取DA=DE。 (,1)连结江B、AC,得△ABC。法可知AD一LBC,在此三角形弓,,通过作}今乙1+乙2=90。,即乙BAC== …     

每期一题

题:已知D是△ABC边AC上的一点,AD:刀C=2:1,乙C=45。,乙A刀B=600,求证:AB是△BC刀外接圆的切线。(1987年全国初中数学联赛第二试的第二题) 思路一,应用切线判定定理:经过外径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 证法一如图一,连OB、OC、OD,O刀交BC于E。 乙D CB== 450:.艺D OB二9护。 又乙D刀C =乙A刀B一乙f, CB =15。,…乙刀OC二30.:.乙DCA‘=90。从而刀E是O劝的直径。,.’匕B刀E二乙B CE=45.卜 二匕刀C刀二艺BED,…BD=刀万① 又艺EDA产二匕B刀A产一乙B刀E =150=乙D BC==乙D EA尹, A尸D=A户E,匆 由①、②…     

一个来自希望杯试题的结论(初二、初三)

三角形的一个内角平分线与另一个内角的外角平分线的交角,等于这个三角形的第三个内角的一丰. 这是从第六届“希望杯”一道初二试题得出的结论,它的证明如下: 已知:如图1,△八刀C中,匕B的平分线与匕C的外角平分线交于E.求证艺E-l二犷乙八.‘证明艺E一/石芯F 1,二一,一二子乙月力七 乙一粤(匕AcF一艺ABc) 乙 l一下~乙八. 乙 这个结论用于解决有关三角形内外角平分线的交角问题,十分有用. 例1在△A刀C中,D是AB上一点,E足AC延长线上一点,连结DE交BC于M,匕八DE与匕八刀C的平分线交于尸,艺ACB与匕DEC的平分线交于Q,证明艺尸一/Q. (…     

一道竞赛题的几何解法及其他

题目:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a、b、。.若角A,B,c的大小成等比数列,且护一a“二a。,则角B的弧度数等于_.(1985年高中联合数学竞赛第一试第二题第1题) 下面用数形相结合求解,给出该题的四种几何解法. 分析:将犷一。2==a。变为bb二aa+ac,此式形似托勒密定理,构图如下:作圆的内接等腰梯形ABCD,使AD=DC二CB=a,AC=b,ABbZ一aZ二ae.C作直径E刀,设AB=c,BF=a,则△ABC满足题设条件b’一扩二aC. 解二据相交弦定理有 BF·BA 二刀B·BD。又据已知有EB·所以,BC“B尸-BD二B口·BA=。,则△ABC满足题设乙BO尸二乙B尸C,乙ABC…     

一道几何题的推广

〔题目如图,在锐角△.八刀Cll‘,ADk-:BC边上的高,尸为△ABC的垂心,B尸、CP的延长线分别交月C和A刀于刀、F。求证A刀平分乙EDF。证明丫O尸为△刁BC的垂心, .’.刀、刀、.尸、F四点共圆,则匕1,匕3, 同理刀、P、斤、C四点共网,则匕2=乙4, 又B、C、方、FI,中从)卜回,则乙3二乙4, :.乙1=2,即AD平分匕刃月夕。这道常见题可作如下的推广:当尸点是A刀上一道几何题的推广@程金保$安徽南陵东河中学~~     

一个几何定理及其应用

定理:在△ABC和△A‘B’C‘中,如果乙A=艺A尹,乙B+匕B产=180。。则AC:BC二A声C产:B,C产。 证明:根据正弦定理,对△ABC和△A‘B了C‘都有:_5 1 OB 5 inA_5 inB, 5 inA夕。 AC:BC==A,C一,:B尹C,。 本定理有着广泛的应用。利用它来证明某些几何命题,往往比常规证法明快得多。下面举例说明。 例1已知E、F是四边形ABCD一组时边的中点,EF的延长线交另一组对边的延长线于p、口。若艺BpE=艺万()C,本证A刀=CD:C一CA一B再由题设条件易得证明:在△P刀B和△QEC中,有艺1=艺2,匕3+艺4二180。。由定理得PB:EB二QC:EC但已知EB二…     

数学趣题

题:如图所示,八个边长相等的正方形相接,求证:a,+aZ+a。+a‘二45。。证明:如图,连接AB、AC-一又2训一B月B刀 艺月BC=匕AB刀 △BCA二△BAD 乙B月C=匕BDA二a,①同理有:△已理刀二△CF月②③④ 匕C刀D二二CFA二a3 △D月E。△D‘A 乙DA}-:二匕刀弓刃二a; 又匕E且月二乙且EB=aZ①+②+③+④得 a,一a,+(:_.+a。=匕BAH二45。数学趣题@徐国权$黑龙江柴河林业局第三中学 @陈荣$浙江省新昌工商行政管理局~~     

共边三角形的一个性质及其应用

定理已知△ABC和△DBC共边召C,月9戈其延长线交BC与E,则 S△,刀e AE同.理还有S△p尸王p三P口:S△尸云尸:P王一尸、O、’丛已卫五当__塑二S△P玉尸:P石一P,口:’但S△Pp玉P玉卜S△P尸:F‘+习△P尸、正,,+S八P,P:F‘, . 月.. 一一雌呱从而P口尸口言一C干下;~+,汗牙一+了1甘1厂2叼2“,一卜。以一人,,_P口‘〕乙少沉少它1兄二/!、比一b牙厂一以 工乞岌沪艺,2,3)中至少有一个早‘生. ’一’3也至少有.一个是、飞一,即 j(乞二1,2,3)中,至少有一个)3,星PQ. 图一‘a图}。b, 证明:当B或C点与E点重合时,结论显然成立。当B、C与E不重…     

1986年全国高中联赛第二试第二题必要性的几种证法

题:己知锐角三角形姓方口的外接圆半径是R,点D,E,F分别在边刀C,C月,AB上. 求证:AD,刀皿,口尸是△了飞刀c的三条高的充要条件是乙尸AB,乙A召刀.又B,c,刀,F四点共圆:.艺ACB,匕通F刀.乙尸AB,艺AF刃.:.p口//F刀,OA土FE.s二旦一(刃F、FD一{一。: 匕:.名四边形。E人r 1。二二:.~;犷嘴、声 匕生·刃F式中刀是△」BC的而积 证明:设刀四边形。创m_鱼一艺O刀。FDS四边形。DcE 1二~百()子少. 心D刃//"△AB口的外接圆的圆心为。,三个内角为J‘1、B、C,B口““,口_1二b,_注刀“c. 丫沙、一1刀C是锐角三角形, .’.点O在△」B口内.从…     

一个三角不等式的新证

题:在锐角△ABC中,求证:eos(B一C)、eos(C一A) COS八COS力此题在湖北《中学数学》1996十些斋竺业、年一2期,1997年10期和天津《中等数学》1998年1期上都刊登了几个不同的证明方法,但其证法都是立足于三角公式的技巧变形,比较复杂.本文应用平几知识,给出如下一个新颖的证法,供参考. C ‘入曰一七EA\一a图 了乙B 证明:如图1,在△A方C中,设BC一a,AC一b,AB一c,乙A)乙B妻匕C,则a)b)c. 作乙ADB~乙B,则AD~。,艺DAC~艺B一匕C. 作CE土AD,由乙刀是锐角易知艺Al犯是钝角,于是垂足E必在AD的延长线上. 因为AE妻AD(当且仅当b一‘一时…     

平角应用4例(初一)

乙4 C;O卜r" 月乃二一D3\f/厂4 B石 1.延长线段构造平角 例1如图1消丑// CD. 求证:艺CEA=/A 乙C. 证明延长CE交AB于点 F.因为八刀// CD, 所以乙C=乙CFA. 乃刀交AC于F. 因为DE// AC, 所以乙1=乙C,乙2= 因为DF// AB, 所以匕4~乙A, 所以艺2=艺A. 因为乙A 乙CFA 乙八EF~1800, 又‘乙CEA 乙八EF=1800, 所以乙CEA=乙A 乙C. 2.过某点作直线构造平角 例2如图2,已知△月刀C, 求证:匕A 乙B 乙C=1800. 证明过点A作DE// BC,则 匕1=/B,乙3=乙C. 又乙1 乙2 乙3=180。, 所以乙BAC 乙B 乙C=1800. 3.过直线上一点作射线构造平角 …     

每期一题

.如图,△ABC中,D、E分别是边刀C、AB上的点.且匕l=艺2~匕3,如果△月刀C、△忍石D和△ADC的周长依次为m、,:、,:,证明:(m:+m:)/m成5/4. (1989年全国初中数学联赛试题) 解法三分解法 过D作DF//BA交AC于F,记△FDC的周长为m3,由△ABC的△EBD 分析本题属几何不等式,其解题思路是将题中的有关t转化成二次式型,B 月乙。 盛声仍△DAC的△FDC,显然m,+m:~m于是又 ml”忿2从s然后利用二次函数最值或判别式加以解决.各种解法的转化方式着眼点各有差别. 解法一直接法 设BC=a,AC=b,AB一‘,由/1-匕2=艺3得△ABC的△EBD仍△DAC,刀忿a: …     

数学问题与解答

201.已知△通刀叮,万为△朋夕内的一点,△通丑灯、△刀已汀、△叮过刀、△ABo的外接圆均△ABO、△刀刀e的外接圆相等,. 刀Osin乙BA口相等,求证:刀为么通刀C的垂心. 证.如图1,先证之1是锐角.用反证法,假定乙1》9。。,则艺刀通口为钝角,乙丑双口也是钝角.’: BC二碗石之万丑口-,乙刀姓口=乙刀刀刃.此与乙BAJ<艺刀且刃矛盾.故乙1是锐角. 同理乙2、乙3、乙4、匕5、乙S均为锐角. 丫△“哎3J与△刃C汀的外接阿相等,刃少了是公共弦,乙1、乙4又均为锐角,…乙1二艺雄. 同理可证乙2二乙5,乙3=乙6.…乙l一卜乙2+艺3二乙钱十乙。+乙6. ’.’匕l十…     

巧添辅助圆 妙证几何题(初三)

1.求角 例1如图1, 乙B的平分线交AC 匕A的度数. 所以作以A为圆心 C、D三点都在OA上, ,AB为半径的圆,使B、 在△ABC中,AB一AC, 于D汪〔二BD 八D,求 尹沪口一’、 所以乙DAC一2乙f址3C, 乙(姚B一2乙BDC, 解作△A刀D 交BC于E,连结DE. 的外接。了多气_ B~~一t一C 从而k- 匕且AC 艺(共B 2匕D扫C 2艺BDC 因为刀刀是艺八刀C的平分线,图1 所以J场一厉, 得AD一DE, 且艺EDC一/ABC一匕C, 所以石石一DE二AD, 乙DEB~2艺C. 由仪二一BD AD一BE 旦二,得 刀E一BD. 所以匕DEB一匕BDE一2艺C 在△BDE中 乙DBC 乙BDC’ I川…     

两道赛题的纯平面几何统一简证

题目一[,〕(1999一2000年波兰奥林匹克题)在锐角三角形ABC中,艺ACB一2艺ABC,点D是BC边上一点,使得2乙BAD一乙ABC. 过A作AF// DG交BC的延长线于F,所以艺FAD~艺E一口,所以匕F一艺FCA~1800一4a,所以FA 一一l一D..一B求证: 1l气产石十下万二八O才l七所以BD .BD万云十万万~AC DG一丽.DG AG十丽~丽BG 二于诀 月力 证明:设艺DAB~a,乙ABC=Za,匕ACB=4a,下面仅就匕BAC<2a给出证明. 在△ABC内部作乙ADG~a,则艺DGB=艺DBG=Za,所以BD~DG.E、\’、\\飞、\一1.所以矗 命一命· 事实上,当D和C重合时,即为所众周知的一个平…     

每期一题

题:锐角△ABC的外接圆过B、C的切线相交于N,M是BC的中点,求证:艺B摊M二乙CAN。(第26届IMO候选试题中一题的第(i)间) 为方便,设AN交△且BC外接圆于r).匕BAM二日,匕CAM二a。 当锐角△月BC的AB二AC时,八AB刃丝△且CN,从而知AM与AN重合,显然a二。p。以下均假定AB.寺AC。 证法一连结 匕CAM=乙DAB,:.a二日。 证法三作BF土AC于F,连结MF、对N,如图。则 NM_1_BC, /万C五f二厂理.’. Rt△ABF 。〕Rt△CNM 刁B_AF 万凡一乙兀了又B对=C刀 =MF,乙MFC二匕A CB,I曲﹀N\\、N︷NAB 一一BD、CD,如’到。 由托勒米定’里…     

条件过剩的“希望杯”赛题

第五届“希望杯”全国数学邀请赛初二决赛第三题1小题是:如图,五边形ABCDE中,AB一AE,BC DE一CD,艺BAE一艺BCD=1200,/ABC 乙AED-180。,连接AD,求证:AD平分匕CDE. 以下证明可见该题条件匕BAE一乙BCD一1200是多余的: 证明:延长CB到F,使 BF一刀E,连结AC、AF, 乙ABF一1 800一艺ABC一匕AED AB~AE.…△ABF里△AED(sAs) 艺F~艺ADE,AF一AD, 又.:CF一CB BF~CB DE一CD, AC一AC.:.△ACF望△ACD(555) 艺F一艺ADC.匕ADE一艺ADC. 即AD平分艺CDE. 刊在《中学数学研究》94年第10期上的解答中,为了利用匕BAE…     

一题多变触类旁通

在平而几何的复习中,通过一题多变,举一反三,常常能发展学生思维,培养学生观察问题、分析问题的能力。 例:在乙刀月C的两边上取刃B、刀C两线段,且刀B今刀C,以刀B、刀C为边在外侧各作正么ABD、正△刀C刃。求证:(1) CD二B刃;(2)CD与B刀的交角是定角。 A(3)匕刀刃C=2通0“(4)Zdo“<乙刀且C >360“ 吵退\只“已愁夕已赞(一,卫成讼介日 吕又之 证明:(1)在△刀刀C和八B月刀中, △D刀B、△刀C百为正三角形, 刀刀二岌B,岌C=刀百, 乙D了1君气一岌B月C二乙C月厂十之刀刀C 即匕D月C一‘了了且召, :.八I〕刀C理八刀刀/刁(:、“、:) C刀=…