对一道课本习题解答的商榷

文[1]中有如下一道习题:两定点的坐标分别是 A(-1,0),B(2,0),动点 M 满足条件∠MBA=2∠MAB,求动点M的轨迹方程.配套的教师教学用书提供的解答为:如图1,设∠MBA=α,∠MAB=β(α>0,β>0),点M的坐标为(x,y).∵α=2β,     

解决直线与圆的位置关系问题的三大策略

一、数形结合,善于观察图形,充分运用平面几何知识,寻找解题途径 例1 已知点P(5,0)和圆O:x2 +y2=16,过P作直线l与圆O交于A、B两点,求弦AB中点M的轨迹方程. 解:因为点M是弦AB中点,所以∠OMP=90°.点M是在以OP为直径的圆周上,此圆的圆心为(5/2,0),半径为5/2,其方程为(x-5/2)2+y2=(5/2)2,即 x2+y2-5x=0.     

过定点的动直线的参数方程及其在焦半径问题中的应用

<正>定义1把射线OA绕端点O沿逆时针方向旋转到射线OB时所成的最小非负角记作∠AOB→(有0≤∠AOB→<2π).如图1,设动直线l过定点M0(x0,y0),点M(x,y)是动直线l上的动点.设r=M0M→.当点M,M0不重合时,点M在以M0为圆心、r为半径的圆C上.设以坐标原点O为圆心、r为半径的圆是C',把圆C'按向量OM0→平移后即得圆C.又设圆C上的点M是圆C'上的点M'按向量OM0→     

圆锥曲线过焦点的弦

由抛物线的定义可以推出,过抛物线y2=2px(p＞0)焦点(P/2,0)弦AB的弦长与弦AB中点的横坐标有着密切的关系:|AB|=x1+x2+p=2x+p,其中A点的坐标为(x1,y1),B点的坐标为(x2,y2),x=x1+x2/2.     

圆锥曲线过焦点的弦

由抛物线的定义可以推出,过抛物线y2=2px(p＞0)焦点(P/2,0)弦AB的弦长与弦AB中点的横坐标有着密切的关系:|AB|=x1 x2 p=2x p,其中A点的坐标为(x1,y1),B点的坐标为(x2,y2),x=x1 x2/2.……     

习题教学中培养学生良好的思维品质

学数学离不开解题，本文就习题教学中如何培养学生思维品质谈几点认识 .　　一、通过一题多解培养思维的广阔性 　　思维的广阔性，是指对一个问题能从多方面、多角度地思考、分析 .教学中，教师可引导学生通过一题多解拓宽学生的思维 .　　例 1.解方程 (x－ 1）（ x－ 3）（ x－ 5）（ x－ 7） =105. 　　解：把方程左端化成 (x2－ 8x＋ 7）（ x2－ 8x＋ 15） =105，引导学生用换元法解 . 方法 (一 )：设 x2－ 8x＋ 7=y.(解略 ,下同 )　　方法 (二 )：设 x2－ 8x＋ 15=y． 方法 (三 )：设 x2－ 8x=y.　　方法 (四 )：设 x2－ 8x＋ =y． 　…     

一道练习题的引申与拓展

在平时的教学过程中,为了巩固所学的知识,往往要处理大量的习题.而很多同学在处理较容易的习题时,往往满足于会做,而不去深入思考该题的内涵,外延,挖掘习题的内在功能.笔者认为,深化习题教学是发展学生智力,培养学生能力,提高学生创造力的重要渠道;引导学生钻研习题,并对其改造、拓展,是培养学生探索问题的能力和创造性思维等良好思维品质的有效方法.下面以一道练习题为例,浅谈其开发功能.1　习题例1　已知x,y∈N*且x+y=16,可确定多少个不同的有序数组(x,y)?解:从方程根的角度分析.x=1,y=15,x=2,y=14,…共可确定15个有序数组(x,y),将上述问…     

2018年高考数学阅卷有感——兼谈文科生的现状及教学启示

<正>笔者有幸参加了2018年安徽省高考数学网上阅卷工作,面对学生的数学试卷及其出现的问题,感触颇多,下面笔者根据2018年全国卷(I)文科数学第19题的阅卷情况,谈谈文科生的现状及教学启示.1试题再现(2018年全国卷I文科数学第20题)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M、N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;     

对圆的弦中点坐标与弦的斜率关系的联想

1问题众所周知,圆具有如下的性质:如果.AB是圆O:x2 y2=r2的一条弦(不包括直径),M(x0,y0)是弦AB的中点,那么OM⊥AB,从而当x0y0≠0时,有kOM·kAB=-1,而,故,也就是说:知道了弦的中点坐标我们便可以直接写出此弦的斜率.     

“圆的切线方程”教学节录及反思

<正>一、教学节录1.在问题求解中培养思维能力。师:请大家证明下列例题:已知圆C的方程是x²+y2+y²=r2=r²,求证:经过圆C上一点M(x_0,y_0)的切线方程是x_0x+y_0y=r2,求证:经过圆C上一点M(x_0,y_0)的切线方程是x_0x+y_0y=r²。(苏教版高中数学必修2第117页习题第11题)(给学生思考的时间,先由学生独立思考,     

研究性学习的教学案例

在教学中,如何开展“研究性学习”的教学活动,许多老师已做了大量的实践.笔者在教学过程中,根据数学教学大纲和学生的现状,适当开设一些学科性的小课题进行研究性学习的教学探索,其教学目的是:(1)让学生学会提出问题和明确探究方向;(2)体验数学活动过程;(3)培养学生的创新精神;(4)让学生学会交流.下面就一个教学案例,探索课堂教学中“研究性学习”的教与学.例题过椭圆x2/5+y2=1的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB,点M在x轴上,且使FM为∠A MB的平分线,求点M的坐标.可求得M点坐标为(?5/2,0),解法略.问题1点M为该椭圆左准线与x轴…     

圆锥曲线切线的又一性质

在高三数学复习教学中,遇到如下的一个问题:如图1,已知抛物线C:y=x2,过点P(0,2)的直线交抛物线于M、N两点,曲线C在点M、N处的切线交点为Q,求证:点Q必在同一条直线上.证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1=x21,y2=x22,过点M,N的切线方程为联立得y-x21=2x1(x-x1)y-x22=2x2(x-x2),解得x=     

“求曲线方程”一节课的教学实录及反思

<正>一、教学实录1.创设情境导入课题引例已知定点A(-3,0),B(3,0),点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程(PPT展示,以下同).生1:设M(x,y),因为点M到这两个定点的距离的平方和为26,所以(x+3)2+y2+(x-3)2+y2=26.化简得x2+y2=4.所以点M     

抛物线综合题例说

抛物线综合题是一类代数与几何知识相交叉的题型,一般来说难度较大.现谈谈解答这类习题所涉及的知识与解答技巧.例1已知:抛物线y=x2+kx+1与x轴的正方向相交于A、B两点,顶点为C,△ABC是等腰直角三角形.求k的值.例2已知对称轴平行于y轴,开口向上的抛物线经过M(3~(1/2)-2,0)N(3~(1/2)+2,0)和P(0,k)三点,且|OP|2=|OM|·|ON|.(1)求此抛物线;(2)设Q(x,y)为抛物线上一点,且∠MQN为锐角,试确定x的取值范围.     

两道高考试题的统一推广

<正>1考题呈现题1(2018年高考全国数学卷Ι理19题)设椭圆C:x²/2+y2/2+y²=1的右焦点为F,过点F的直线l与C相交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.题2(2018年高考全国数学卷Ι文20题)设抛物线C:y2=1的右焦点为F,过点F的直线l与C相交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.题2(2018年高考全国数学卷Ι文20题)设抛物线C:y²=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线     

让“不起眼”的课本习题成为探究作业

<正>数学探究是与我们的日常教学密切相关的,特别是数学课本上的许多习题,本身就是非常好的探究素材,只要我们认真去挖掘,这些"不起眼"的习题就是好的"探究作业".这些习题不仅有助于培养学生的探究能力,同时有助于培养学生的探究习惯,加深对数学的理解与应用.本文结合一道课本习题来说明我们的实践与思考.一、课本上"不起眼"的习题(苏教版数学必修2,习题2.2(1)12题)已知点M(x,y)与两个定点O(0,0),A(3,0)     

直角坐标系中平行四边形存在性问题

<正>解决平面直角坐标系中平行四边形的存在性问题,既要考虑多种平移情况,又要进行画图分析,对于学生难以掌握.笔者通过探究,发现有更简洁的方法,供大家参考.预备知识1若在平面直角坐标系中,A(x1,0),B(x2,0),则AB的中点为(x1+x2/2,0).预备知识2若在平面直角坐标系中,A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点为     

利用曲线系思想解一类轨迹问题

1命题命题1若A B是椭圆22C1:ax2+by2=1的一条弦,且弦AB的中点为M(xM,y M),则椭圆22222C:(2x M x)(2y My)a b?+?=1经过A、B两点.证明设点A(x A,y A)、B(x B,y B),则由M是弦AB的中点,可知,x B=2x M?xA,y B=2y M?yA,由点B在椭圆C1上,知(2x M?x A)2/a2+(2y M?y A)2/b2=1,所以点A在椭圆C2上.同理可知点B也在椭圆C2上,故椭圆C2经过A,B两点.类似地有:命题2若AB是双曲线22C1:ax2?by2=1的一条弦,且弦AB的中点为M(xM,y M),则双曲线22222C:(2x M x)(2y My)1a b???=经过A,B两点.命题3若AB是抛物线y2=2px的一条弦,且弦AB的中点为…     

直线方程x_0x十y_0y=r~2的又一几何意义

众所周知，若点M（x0，y0）在圆x2＋y2＝r2上，则方程x0x＋y0y＝r2表示过点M的圆的切线．此外，若点M在圆的外部，过点M所引圆的两条切线MT1，MT2（T1，T2为切点），则直线方程：x0x＋3，。y—r’表示经过两切点T；，Tz的直线；若点M在圆的内部，且M不为圆心，以M为中点的弦为AB，过点A，B的两条切钱交于o，则直线方程x。x＋y。y一r‘表示经过点Q且平行于弦AB的直线．以上这些几何性质在文［1］中已有详细的论述，下面笔者再给出它的另一几何解释，供大家参考．命题亚若点M（。，yo）在圆x’＋y‘一r’的内部，且M不为圆心，过M任…     

漫谈思维定势的“立”与“破”

<正>1缘起——师生解法对决在进行初三期中复习时,碰到如下问题:题目(2012年深圳)如图1,在平面直角坐标系中,直线l:y=-2x+b(b≥0)的位置随b的不同取值而变化.已知⊙M的圆心坐标为(4,2),半径为2.(1)当b=____时,直线l:y=-2x+b(b≥0)经过圆心M;(2)当b=____时,直线l:y=-2x+b(b≥0)与⊙M相切;(3)略.对于第(1)题,直接代入圆心坐标即可,b=10;对于第(2),教师和学生的思路如下.