一道CMO赛题的简证

2007年中国数学奥林匹克（CMO）第一题为： 设a，b，c为给定的复数，记｜a＋b｜=m，｜a—b｜=n，已知mn≠0，求证： max{｜ac＋b｜，｜a＋bc｜}≥mn/（√m^2＋n^2）（1）[第一段]     

一道数学奥林匹克题的另解

题目 设m是正整数,n=2^m-1,数轴上n个点所成的集合为Pn={1,2,…,n}．     

两种构造法巧证一道CMO题

20 0 3年中国数学奥林匹克 (CMO)最后一题为 :设 a,b,c,d∈ (0 ,+∞ ) ,满足 ab+cd= 1,点 Pi(xi,yi) (i=1,2 ,3,4 )是以原点为圆心的单位圆周上的四个点 .求证 :(ay1 +by2 +cy3 +dy4) 2 +(ax4+bx3 +cx2 +dx1 ) 2≤ 2 (a2 +b2ab +c2 +d2cd ) .文 [1]提供了一种证明方法 .本文给出构造函数与构造向量两种构造性证明 ,巧妙简易 .证法 1　 (构造函数 )设 f (x) =(ax- y1 ) 2 +(bx- y2 ) 2 +(cx- y3 ) 2 +(dx- y4) 2=(a2 +b2 +c2 +d2 ) x2 - 2 (ay1 +by2 +cy3+dy4) x+(y21 +y22 +y23 +y24) ,由于 f(x)≥ 0 ,所以Δ≤ 0 ,即 4 (ay1 +by2 +cy3 +d…     

一道CMO试题的加强及应用

2002年加拿大数学奥林匹克（CMO）竞赛中有一道试题：     

一道CMO试题的不同证法

原题（2006年中国数学奥林匹克）Rt△ABC中,∠ACB-90°,△ABC的内切圆⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F,联结AD,与内切圆⊙O相交于点P,联结BP、CP．若∠BPC-90°,求证：AE＋AP=DD．     

一道CMO试题的联想

1996年CMO的第一题是罗增儒教授提供的一道平面几何题，笔者研究发现此问题有多种变形，可设计出很多新颖的问题，故很多MO试题都与此题相关．     

一道CMO试题的简证

题目设a,b,c,d为正实数,满足ab+cd=1;点Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4)是以原点为圆心的单位圆周上的四个点,求证:     

一道爱尔兰数学奥林匹克题的推广

2012年爱尔兰数学奥林匹克有这样一道题为： 题目记S（n）表示整数n的各位数字之和．证明：不存在正整数n,使得     

一道CMO试题的简证与引申

08年中国数学奥林匹克第一题：设锐角△ABC的三条边长互不相等,O为其外心,点A’在线段AO的延长线上,使得∠BA’A=∠CA’A．过A’作A’A1⊥AC、A’A2⊥LAB,垂足分别为A1、A2,作AHA⊥BC,垂足为HA,记△HAA1A2的外接圆半径为RA,     

解答一道数学奥林匹克题

题目 定义正整数数列｛an}为a1=1,a2=2,ak＋2=2ak＋1＋ak（k≥1）.     

2002年CMO试题解答

一、△ABC的三边长分别为a,b,c,b相似文献   

一道CMO试题的别解与拓广

题目给定锐角三角形PBC,PB≠PC．设A、D分别是边PB、PC上的点,连结AC、BD相交于点O．过点O分别作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E、F,线段BC、AD的中点分别为M、N．     

关于CMO18-2(3)的探究

第18届中国数学奥林匹克(IMO)第二天试题第3题是:设a,b,c,d为正实数,满足ab+cd=1;点Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4)是以原点为圆心的单位圆周上的四个点,求证:     

一道CMO试题的另解

题目 设锐角△ABC的三边长互不相等，O为其外心，点A＇在线段AO的延长线上，使得∠BA＇A=∠CA＇A．过A＇作A＇A1⊥AC、A＇A2⊥AB，垂足分别为A1、A2，作AHA⊥BC，垂足为HA．记△HAA1A2的外接圆半径为RA，类似地可得RB,RC.求证：1/RA＋1/RB＋1/RC=2/R，其中，R为△ABC的外接圆半径．     

一道加拿大数学奥赛题结果的加强

2002年加拿大数学奥林匹克竞赛中有一道试题： 称正整数n为“好数”,如果任意不大于竹的正整数都可以表示为咒的若干个不同正约数之和．证明：任意两个“好数”之积为“好数”．     

关于CMO18-2(3)的探究

第18届中国数学奥林匹克(CMO)第二天试题第3题是:设a,b,c,d为正实数,满足ab+cd=1;点Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4)是以原点为圆心的单位圆周上的四个点,求证: (ay1+by2+cy3+dy4)2+(ax4+bx3+     

一道调研题的命制及解法探究

文[1]在探索2006年一道土耳其数学奥林匹克国家队选拔考试题“已知正数X、Y、z满足xy＋yz＋ZX=1,     

一道奥赛题的巧解

<中学数学月刊>2004年第4期刊登了2002年英国数学奥林匹克第2轮试题3及其解答,现提供一种巧解供参考.