一道高考数学试题解法的分析与评论

今年全国高考(理工农医类)数学第五题是一道很好的试题.命题如下: 设O为复平面的原点,Z_1 和Z_2为复平面内的两个动点,并且满足: (1)Z_1和Z_2所对应的复数的幅角分别为定值θ和-θ(0<θ<π/2), (2)△OZ_1Z_2的面积为定值S. 求△OZ_1Z_2真的重心Z所对应的复数的模的最小值. 应用本题给出的条件解题最基本的要求就是(复)平面上的点与复数构成一一对应.复数     

巧用双曲线解题

例1.O 为复平面原点,Z_1和 Z_2为动点,且满足:(1)Z_1与 Z_2对应复数幅角为定值θ和-θ(θ<θ<π/2);(2)△OZ_1Z_2面积为定值 S.求△OZ_1Z_2重心所对应复数模的最小值.     

从一道试题谈起

前几年有一道高考试题:设0为复平面内的原点,Z_1和Z_2是两个动点,且它们对应的复数辐角分别为定值θ和-θ(0<θ<π/2),△OZ_1Z_2的面积为定值s。求△OZ_1Z_2的重心Z所对应的复数模的最小值。此题虽难度不大,但涉及知识面广,比较灵活,有新意。若借此题以发挥,则对启发学生思维是有好处的。例如改变题目的要求,求△OZ_1Z_2的重心Z的轨迹方程。     

一道高考题的简捷解法

八五年高考理科数学第五题: 设o为复平面的原点,z_1和z_2为复平面内的两个动点。并且满足: (1)z_1和z_2所对应的复数的辐角分别为定值θ和-θ(0<θ<π/2); (2)△Oz_1z_2的面积为定值S。求△Oz_1z_2的重心z所对应的复数的模的最小值。解:在△Oz_1z_2中,中线|OA|≥高|OB|(如图1),     

一道题的联想

六年制重点中学高中数学课本《代数》第二册上有这样一道题:设点Z表示复数z,在复平面内如何通过画图的方法找出表示复数z (3 4i)的点按题目的要求,可随意确定点Z,找出点Z_0(3,4)。然后根据复数的几何加法——向量的平行四边形法则,画出以OZ、OZ_0为邻边的□的对角线OZ_1,则点Z_1表示复数     

复数法求三角形的面积

直角坐标平面内或复平面内的三角形的面积有多种求法。下面介绍一种由复数三角形式的运算和两边夹角法推导出来的复数法。1 复数法求三角形面积的公式 如果复数z_1、z_2分别对应复平面内的点A、B,O是坐标原点,那么△AOB的面积     

复数的三角不等式的推广应用

设Z_1、Z_2是不为零的复数,则||Z_1|-|Z_2||≤|Z_1±Z_2|≤|Z_1|+|Z_1|．(1)我们把(1)式叫做复数的三角不等式,等号当且仅当复数Z_1、Z_2的对应向量OZ_1、OZ_2同向时成立．其几何意义为“三角形的两边之和大于第三边．两边之差小于第三边．”根据复数模的性质和绝对值不等式的性质还可以推广如下：设Z_1、Z_2、Z_3是不为零的复数,     

对一道高中数学竞赛题的探讨

1995年全国高中数学联赛有一道赛题为: 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z_1,Z_2,…,Z_(20),则复数Z_1~(1995),Z_2~(1995),…,Z_(20)~1995所对应的不同的点的个数为( ) (A)4 (B)5 (C)10 (D)20 对此命题给予推广:     

利用复数知识证明线段的平方或积的和差问题

证明线段的平方或积的和差问题,历来是平面几何中一类较难的问题。近年来不少从事数学教学的同志,对这类问题作了一些有益的探讨。本文就这类问题试图利用复数知识给予证明。 中学数学课本中明确指出复平面内的点、位置向最（起点为原点的向量）、复数三者之间两两建立了一一对应关系,基于这种一 一对应关系,本文把三者等同起来,不加区分地记为x yi=点P=OP。 根据复数z的模|z|表示复平面上点Z到原点的距离,向量Z_1Z_2可以用复数Z_2-Z_1来表示,而向量Z_1Z_2的长度就是|Z_2-Z_1|.这样,我们就得到了复平面内计算任何两点Z_1、Z_2之间的距离公式     

数学(三)期末复习自测题

一、复数 1.数_称为虚数单位。 2.i的幂有周期性,所以_=1、 =1、=i、=-i。 3.1 i i~2 … i~(50)_。 4.复数Z的代数形式是_、三角形 式是_。 5.复数Z=a bi(其中a、b都为实数)中a叫做_、bi叫做_、b叫做_;Z表示实数需满足_,Z表示0需满足_且_,Z表示虚数需满足_,Z表示纯虚数需满足_且_。 6.两个复数Z=a bi、Z_1=c di ,Z=Z_1的条件是_和_。 7.如果两个复数都是_,可以比较大小,如果_,就不能比较大小。 8.在复平面上x轴称为_,y轴称为_,原点O在_上,它表示_。 9.两个互为共轭复数Z与的实部 _,虚部_;Z =,Z-= ,Z·=,=。 10.复数Z=a bi可以用复平面以 _为起点,点_为终点的向量来表示,向量的_叫做这个向量的模。 11.复数Z=a bi(a≠0)的幅角θ可用公式_求得,模可用公式_求得。两个共轭复数的模_。 12.Z=a bi化成r(cosθ iSinθ)来表示,其中模r=_,幅角θ有公式cos=_,sinθ=_。 13.复数幅角θ的主值取_,在电     

1999年高考理科第(20)题的几何背景

1999年全国高考数学(理科)第(20)题:设复数 z=3cosθ i·2sinθ.求函数 y=θ-argz(0<θ<π/2)的最大值以及对应的θ值.本文将揭示其几何背景,并给出新解法.将问题一般化:设复数 z=acosθ i·bsinθ,a>b>0,θ∈(0,π/2).求函数 y=θ-argz 的最大值及对应θ的值.设复数 z 在复平面上对应点 M(x,y),     

面积法证题

利用图形的面积公式,求解或证明一类几何问题,有它的独到之处.应用这种方法几乎可以解决和证明所有的几何问题,用途十分广泛.可见讨论用面积方法在几何学中的应用是极其意义的.三角形的面积公式是求多边形面积的基础,目前所用到的主要公式并不多,主要有以下几个公式:(1)已知一底及高S_△=(1/2)ah_a=(1/2)ah_b=(1/2)ch_c(2)已知两底及夹角S_△=(1/2)absinC=(1/2)bcsinA=(1/2)casinB(3)已知三边S_△=(p(p-a)(p-b)(p-c))~(1/2) 其中p=(a b c)/2一、面积法证明成比例线段问题应用三角形面积公式,可以得到一系列结论:1.等底三角形面积比,等于对应高的比,当a=a＇,则S_(△ABC):S_(△A＇B＇C＇)=h_a:h_(a＇)2.等高三角形面积比,等于底的比,当h_a=h_(a＇),则S_(△ABC):S_(△A＇B＇C＇)=BC:B＇C＇     

1999年高考理(20)题的几何背景与别解

设复数z=acosθ i·bsinθ(a>b>0,0<θ<π/2),则θ为复数z在复平面上对应点z的轨迹x=acosθ,y=bsinθ(θ为参数)——椭圆(在第一象限部分)的离心角,如图1,y=θ-arg     

不设而解—处理复数问题的重要方法

复数是中学代数的重要内容之一,复数沟通了代数、三角、平几、解几等各部分数学知识,因此处理复数问题时方法十分灵活,一个题常可有多种解法。如常见的,求复数 Z 在复平面上对应的点的轨迹(或求|Z|的最值)时,常设 Z=x yi(x,y∈R),将 x,y 表成同一参数的解析式,再消去其中参数,得到平面解几中关于 x,y 的普通方程,这时不难画出其图形,也不难直接从图形得出|Z|的最值;如果题目条件中已知某复数|Z_0|=r 甚至|Z_0|=1,这时一般采用三角形式 Z_0=r(cosθ tsinθ)更为方便(这时常需研究 r,θ的关系)。     

探求计算一个复数题的定理

有位学生在上代数复习课时,突然提出高中代数甲种本第二册第239页的题目是否可利用定理公式直接计算?这个题目是:“已知复平面内一个等边三角形的两个顶点,分别表示复数1、2+i,求与第三个顶点对应的复数。”     

求解复数模和辐角的一个重要公式

若设两个非零复数为该公式简单易证，下面谈一谈该公式的一些应用：一、求解复数的辐角问题公式（·）可变形为，用上述两种变形形式求解辐角问题异常方便．的辐角主解设由公式（1）例2若虚数z_1，z_2满足解设例3若复数Z_1,Z_2满足此时显然成立例4已知复数Z满足辐角为o，求证：(k为整数)．由于Z的辐角为O．则1/z的辐角为亦即为整数）例5已知在复平面上三个不共线的点所对应的复数为z_1、z_2、z_3其中z_1的辐角主值为0；z_2、z_3的辐角主值是α、β，且z_1 z_2 z_3=0，为何值时，cos（β—α）有最大值？解由题知当m=2时，2m（4-m)取得最大…     

一道复数题的多种证法

若复数z1,z2,z3满足z1 z2 z3=0且|z1|=|z2|=|z3|=1，则复平面内以z1，z2，z3所对应的点为顶点的三角形是内接于单位圆的正三角形．     

求一类“伴随曲线”的复数解法

我们们先推导两个有公共起点且夹角为θ的复向量AB、AC间的一个公式。在复平面内,设向量AB、AC所表示的复数分別为,且点A、B、C所表示的复数分另为z、z_B、z_C, 又设|AC|=λ|AB|(λ>0)。则根据复数减法、乘法的几何意义有:     

高考模拟训练题三

一、选择题:本大题共17小题; 每小题4分.共68分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.z为复数,则集合S={z-i││z 1-2i │=2}所对应的复平面内的点的集合是( )     

一种求辐角主值的简便方法

求复数1+cosθ+isinθ(0<θ<π/2)的辐角主值的习题,很多同学见到这样的题,只能用三角公式去“凑”,若将符号进行一些变化,用这种方法不但很费时,而且也容易出错。下面介绍一种简便的方法,供参考。求复数Z=1+cosθ+isinθ(0<θ相似文献