一类二元最值问题的一般解法

<正>已知Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(≤0),求目标函数z=f(x,y)的取值范围或最值,这类问题在近几年竞赛和高考题中频繁出现.本文通过实例从三角换元的角度探讨此类问题的解法.例1已知实数x、y满足2x2-2xy+y2=1,则x+2y的取值范围为.     

是巧合还是必然?——由一道习题的解答引起的思考

正一、问题及解法在复习《集合与常用逻辑用语》之后,我让学生课下做高三一轮复习资料上的一道题:若三条抛物线y=x2+4ax-4a+3,y=x2+(a-1)x+a2,y=x2+2ax-2a中至少有一条与x轴有交点,求a的取值范围.第二天上课时,发现学生的解法大都如下:     

关于三角函数求值基本方略

一、三角函数取值范围的方程求法我们知道在sin~2a+cos~2α=·1中,运用换元,令cosα=x,sinα=y,就是x~2+y2=1.这样就可把求t=F(cosα,sinα)的范围化为在方程组{x~2+y~2}=1F(x,y)=t},中求t的取值范围.例1已知sinαcosβ=1/2,求t=cosαsi的取值范围.解令cosα=x,sinα=y,cosβ=m,sinβ=n,得方程组(?)消去m,n,y(过程略)得4x~4-(4t~2+3)x~2+4t~2=0(0≤x~2≤1)⑤在⑤中解出t~2求值域或解出x~2求定义域或用二次方程实根的分布方法可得0≤t2≤1/4,所以一1/2≤t≤1/2.例2已知sinα+sinβ=1,求t=cosαt+cosβ的取值     

用待定系数法探索不等式问题的解题思路

在解不等式问题时 ,调整系数、拆项、补项是常用技巧 .但调整系数、拆项、补项时 ,既要考虑不等式的结构 ,又要符合相关要求 ,难以直接确定 .此时若用待定系数法 ,就可兼顾几方面要求 ,只需求出待定系数就行了 .例 1　已知 :1≤ 3x+2 y≤ 3,2≤ x+3y≤5 ,求 5 x+8y的取值范围 .分析　用 3x+2 y及 x+3y将 5 x+8y表示出来是解题的关键 .设 5 x+8y=m(3x+2 y) +n(x+3y) =(3m+n) x+(2 m+3n) y(m,n为待定系数 ) .由 3m+n=5 ,2 m+3n=8,解得 m=1,n=2 .解　 5 x+8y=(3x+2 y) +2 (x+3y) ,∵ 2≤x+3y≤ 5 ,∴ 4≤ 2 (x+3y)≤ 10 .又 1≤ 3x+2 y≤ 3,∴ …     

一题多解 沟通思路

题目已知4x+4y=2(x+1)+2(y+1),试求2x+2y的取值范围. 解法1:由已知得于是     

用“整体置换法”求形如“y/x”的取值范围

<正>求形如y/x的取值范围是代数试题中常见的题型,怎么求解呢?解法比较多,其中,构造含y/x有形式的方程不失为比较简单的一种方法。一、整体置换是求两个变量比值即形如"y/x"取值范围的主要方法例1已知x、y满足(x+2)²+y2+y²=4,     

《数学通报》第2562号问题的探究

《数学通报》2020年9期数学问题2562给出了不等式:已知a,b,c>0满足a+b+c=3,则1-ab 1+ab+1-bc 1+bc+1-ca 1+ca≥0(1).不等式结构对称,值得关注.为此,本文拟对不等式(1)的证明方法、变式、推广等方面作一探究.为了表述方便,由∑n k=1 x k y k·∑n k=1 x ky k=∑n k=1 x k y k 2·∑n k=1 x ky k 2≥∑n k=1 x k 2,可得柯西不等式的一个变式:引理设x 1,x 2,…,x n>0,y 1,y 2,…,y n>0,则有∑n k=1 x k y k≥(∑n k=1 x k)2∑n k=1 x ky k(2),等号当且仅当y 1=y 2=…=y n时成立.     

如何求不等式恒成立的参数的取值范围

求不等式恒成立的参数的取值范围,是中学教学的难点之一,也是高考、数学竞赛的热点.下面就此问题的几种基本解法加以论述. 一、利用一次函数的性质 一次函数y=f(x)=ax+b在x∈[m,n]上恒大于零的充要条件是:{a＞0,f(m)＞0 或{a＜0,f(n)＞0或{f(m)＞0,f(n)＞0.(对于y=f(x) =ax+b恒小于零的条件亦可类似给出) 例1 若f(x)=(x-1)m2-6xm+x+1在区间[0,1]上恒为正值,求实数m的取值范围.     

一类目标函数最值问题的统一解法

已知Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(≤0),求目标函数Z=f(x,y)的取值范围或最值,这类问题在近几年竞赛和高考题中频繁出现,本文通过实例从三角换元的角度探讨此类问题的解法.例1(第20届"希望杯"全国数学邀请赛)     

由一道与圆相关的求值问题引发的思考

<正>在高中学习圆的知识后,经常会遇到下面的这类问题:引例已知x~2+y~2-4x+1=0,(1)求■的取值范围;(2)求y-x的取值范围;(3)求x~2+y~2的取值范围.解法1 (几何法) x~2+y~2-4x+1=0变形为(x-2)2+y~2=3记为圆C.(1)■的几何意义为圆C上任意一点P(x,y)     

一道参数求值题的解法

例已知关于x,y的方程组{x-y=m,2x+y=m+1.的解满足x+y=2,求m的值.解法1解关于x,y的方程组{x-y=m,2x+y=m+1得{x=(2m+1)/3,y=(-m+1)/3.代入x+y=2,得     

多角度探究一道数学题

<正>数学教师在数学课堂上应该注重培养学生的数学思维能力,培养学生的发散思维,这样更有利于培养和提高学生的数学能力.下面是笔者在一次数学习题课上用到的一个题目,课上给出如下八种解法.题目设实数m,n,x,y满足m2+n2=a,x2+y2=b,求mx+ny的最大值.     

基本不等式题型的最值问题

正人教版必修五给出了基本不等式a+b2≥槡ab(a0,b0),当且仅当a=b时取等号.其变形有:(a+b2)2≥ab;a2+b2≥12(a+b)2.应用基本不等式的条件:①正数;②和定或积定;③相等.基本不等式的一个应用就是求最值.有以下四类问题:一、隐含积定型若a0,b0且a+b的和为定值p,则积ab有最大值ab≤p24.例1已知x0,求y=x+1x的最小值.解y=x+1x≥21x·槡x=2.(当且仅当x=1x时取"=")例2已知x1,求y=x+1x-1的最小值.解y=x+1x-1=x-1+1x-1+1≥2+1=3.(当且仅当x-1=1x-1,x=2时取"=")变式已知x1,求y=x2-x+1x-1的最小值.     

把这项工程看做12份

[例] 若椭圆x2/4+y2=1和(x-1)2+y2=r2(r>0)有公共点求半径r的取值范围. 分析:首先我们来看此题的一种错误解法:若两曲线有公共点,则方程组有实解,消去y2即方程3x2-8x+8-4r2=0有实数根.     

10道有关数学方法运用的模拟题

1.已知非空集合A=｛x｜x2-4mx 2m 6=0,x!R｝,若A∩R-≠!,求实数m的取值范围.(R-表示负实数)2.关于x的方程x3-3x2-a=0有3个不同的实数解,求实数a的取值范围.3.已知a!R,求函数y=(a-sinx)(a-cosx)的最小值.4.当n!N且n≥3时,求证:n 13 n 14 … 2n1 2>1130.5.已知定点(M-1,2),直线l1:y=(a x 1),曲线C:y=$x2 1,l1与C交于A,B两点.记线段AB的中点为N,直线l2经过M,N两点,且在x轴上的截距为m,将m表示成a的函数,并求此函数的定义域.6.已知向量u=(x,y)和向量v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.(1)已知a=(1,1),b=(1,0),求f(a),f(b)的坐标.(2)求…     

哪种解法最简单(高一、高二、高三)

以下给出一个简单问题,有三个不同思路,请你想想:哪个解法好? 题若直线l1:y=kx+k+2,l2:y=-2x+4的交点在第一象限,求k的取值范围. 解法1 联立方程,则     

方程组的应用

方程组中的数量关系复杂,题型多变,现就其常见问题及其解法介绍如下.一、求方程中的字母系数例1 已知关于x,y的方程组 (a－b)x＋y=5, bx＋ay=6 x=1, y=2.的解是 求a,b的值. (a－b)×1＋2=5, b×1＋a×2=6. a=3, b=0.二、求代数式的值例2 已知2a3n－4bm＋2与a2m＋3b6－n是同类项,求(m－n)n的值. 3n－4=2m＋3, m＋2=6－n. m=1, n=3.     

一类线性约束条件下目标函数最值的求法

常见教参资料用如下例题说明充要条件的正确应用 ,但事后未给出正确解法 ,细究其原因 ,原来解答需用到所谓“等值线法”。题　设(Ⅰ ) 2≤x +y≤ 41≤x -y≤ 2①②求　 4x -2 y的范围。解法一　令S =4x -2 y ,建立直角坐标系XOY ,分别作出直线l1:　x +y =2 ,l2 :　x +y =4,l3:　x -y =1 ,l4 :　x -y =2 ,如图 ,图中阴影部分即为目标函数 :S =4x -2y的可行区域。将S =4x -2 y变形为 y=2x -12 S。赋于S不同的值 ,在平面上得一组平行线l(虚线表示 ) ,每一条线上的S取值是不变的 (等值 )。从图中可看出 :当l:　y =2x -12 S过l2 :　x +y =4与…     

数形结合解题

例题1°.关于 x 的方程2x~2-(m+1)x-m=0的一个根在1和2之间(不包括1和2),另一个根小于1,求m的取值范围.2°.关于 x 的方程 x~2+(m-7)x+m=0的两根都在1和2之间(不包括1和2),求 m 的取值范围.解1°解法1 利用求根公式得 x=     

函数及其图象测试题

(时间:90分钟满分:100分)一、填空题(每小题3分,共30分)1.若点P(x,y)的坐标满足(x+1)2+y-3√=0,则点P关于原点的对称点P'的坐标是.2.函数y=x-1√2-x√中的x的取值范围是.3.若y-3与x成正比例,当x=2时,y=7,则y与x之间的函数关系式是.4.若y=(m2+m)xm-2m-1是二次函数,则m=.5.抛物线y=-2x2+8x-6的开口方向是,顶点的坐标是.6.若直线y=-x+a和直线y=x+b的交点坐标为(m,8),则a+b=.7.若抛物线y=x2+ax-3的对称轴是y轴,则a=.8.设反比例函数y=-3x中x的取值范围是1≤x≤3,则变量y的最大值是.9.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示,22则一次函数y=-acx+b的…