隐含条件—数学中的“陷阱”

很多数学题的设计 ,将条件隐含在题目之中 ,若不注意 ,很容易忽略 ,这就给解题带来一定困难 ,甚至不能求解 ,以至掉入“陷阱”,因此 ,我们在解题中 ,必须注意挖掘隐含的条件 ,初中数学中 ,隐含条件的设置大体有以下几种情况。一、在方程中设置“隐含条件”例 1 .k为何值 ,一元二次方程 kx2 -( 2 k 2 ) x k 5= 0有实根 ?【误解】∵一元二次方程 kx2 -( 2 k 2 ) x k 5=0有实根 ,∴方程的根的判别式Δ≥ 0 ,即〔-( 2 k 2 )〕2 -4 k( k 5)≥ 0 ,解之 ,得 k≤ 13.因此 ,当 k≤ 13时 ,原方程有实根 .【分析】要使一元二次方程有实根 ,必须注意二次…     

跳出两直线位置关系解题中的陷阱

与两直线位置关系有关的试题在高考中一般以选择题的形式出现,难度中等,但有一些陷阱,稍不留意,就会陷入.一、忽视概念例1已知直线l1:x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0平行,则m的值为()A.3或-1B.-1C.3D.-3或1错解由已知得l1∥l2,m≠0,m-2≠0,且-m1=-m3-2,解得m=3或m=-1.选A.剖析两直线平行指的是两条不重合的直线平行,要跳出陷阱,可在解题后进行验证.当m=-1时,两条直线是重合的,故舍去.应选C.二、忽视斜率不存在例2经过点(1,0)且与直线y=-x+3成45°角的直线方程是()A.y=0B.x=0C.x=1D.y=0或x=1错解设所求方程为y=k(x-1),由1k+k-·(-(1-1))=ta…     

仔细观察整体思考巧妙解答

在解二元一次方程组时 ,若能仔细观察方程组特征 ,并根据解题目标去设计合理的解题方案 ,就会获得巧妙的解题方法 .例 1　若 2 x3 m + 5n+ 9+3 y4m -2 n-7=2 0 0 3是关于 x、y的二元一次方程 ,试求 mn的值 .(广西 2 0 0 3年数学竞赛题 )解 :由题意 ,得 3 m+5 n+9=1,4m-2 n-7=1.　即3 m +5 n=-8,4m -2 n=8. 注意到常数项互为相反数 ,故把两式相加得 :7m +3 n =0 ,∴ 7m =-3 n,∴ mn=-37.例 2　若关于 x、y的方程组 2 x+3 y=2 k+1,　 13 x-2 y=4k+3　 2 的解 x、y的值之和为 2 40 .试求 k的值 .(2 0 0 1年广西数学竞赛题 )解 :由题意知 :x+y=2…     

注意发掘题中的隐含条件

所谓隐含条件 ,通常是指题目中含而不露、不易察觉的固有条件 ,忽视隐含条件解题将得出某些不满足题设条件的结果 ,或者失掉某些满足题设条件的结果。为此 ,在解题时要认真地考虑有关的数学概念及定理 ,细致分析题设和结论 ,发掘隐含条件 ,并充分加以利用 ,使解答具有严密性 ,从而得到正确的结果。一、注意数学概念的限制条件数学概念是解题的基本依据 ,如果对基本概念理解不确切 ,盲目扩大或缩小某些概念的内涵 ,忽视限制条件 ,将导致解题错误。例 1.当 k是什么实数时 ,一元二次方程 2 kx2 +(8k+ 1) x+ 8k=0有两个实根 ?解 :因为方程有两个…     

浅谈立几复习中的例题选择

一、注重“知识陷阱”的设置与利用,加深对概念理解合理的设置“知识陷阱”,并充分地加以利用,是巩固、理解概念的一个好方法。例1.已知m、l是直线,α、β是平面,给出下列命题: ①若l垂直于α内的两条相交直线,则l上α; ②若l平行于α,则l平行于α内的所有直线; ③若m α,l β且l⊥m,则α⊥β; ④若l β,且l⊥α,则α⊥β; ⑤若m α,l β且α∥β,则m⊥l. 其中正确的命题的序号是:____ 简析:①符合线面垂直判定定理; ②故意与线面垂直的性质定理(若l垂直于α,则     

完全平方式与完全平方数

一、从一些问题的解法谈起完全平方式与完全平方数是初中数学的重要概念。如果不注意两个概念的区别和联系,往往解题不严谨,甚至出错。请看: 例1 设m为有理数,问k取何值时,方程x~2-3(m-1)x+m~2-2m+4k=0的根是有理数。解由习惯的二次△解法,首先须判别式     

逆用直线方程的点斜式解题

如果直线l经过点A(x0 ,y0 )且斜率为k ,则直线l的方程为y - y0 =k(x -x0 ) ,反过来 ,如果直线l的方程为 :y- y0 =k(x-x0 ) ,那么直线l经过点A(x0 ,y0 ) ,在解题中 ,如果能逆用直线方程的点斜式 ,能简化解题过程 ,现分析几例 ,供参考 .　　　　　图 1例 1　曲线 y =4 -x2 + 1与直线 y=k(x- 2 ) + 4有两个交点 ,求k的范围 ,分析　该题若利用解方程的方法来解较繁 ,但若将直线方程变形为 y- 4=k(x- 2 ) ,会发现直线恒过定点A(2 ,4 ) ,这样就可以利用数形结合来解决 .解　将曲线方程变形得x2 + (y- 1) 2 =4　 (y≥ 1) ,该曲线是以 (0 ,1)为圆…     

警惕“陷阱”谨慎解题

在中考数学命题中,命题者为了考查学生对所掌握的知识的灵活运用能力,常常故设“陷阱”.学生解题时,如果审题不严、思考不周就会误入“陷阱”.本文对求解中考“陷阱”题的一些方法进行归纳总结,供同学们学习参考.一、理解概念,越过“陷阱”命题者往往围绕数学概念设置“陷阱”,只要我们透彻理解了课本中的每个数学概念,就能灵活运用,越过“陷阱”.　例1　若二次根式a+b9a和a+8b是同类二次根式,则ab的值是　　　　.本题“陷阱”设在a+b9a不是最简二次根式.解　∵a+b=2,∴a+b9a=3a+ba.由同类二次根式的定义知a+b=2,a=a+8b.解得a=2,b=0.∴ab=2…     

解题应注意隐含条件

解答数学问题 ,条件是非常重要的 ,题中除了明显的已知条件外 ,还有一些隐含条件 ,解题时 ,若不注意 ,就会使“线索”中断或掉入题中的“陷阱” ,现举例说明。一、“无法”解例 1　已知 y =1 - 2x + 2x - 1 + 2 ,求xy 的值。分析 :此题中的隐含条件是 1 - 2x≥ 02x - 1≥ 0 ,若不注意这一条件就不能求出x =12 ,y =2 ,从而无法求出xy 的值。二、“多”解例 2　已知角A是锐角 ,且tanA、cotA是关于x的一元二次方程x2 + 2kx +k2 - 3=0的两个实数根 ,求A的值。分析 :本题中判别式△ =4k2 - 4(k2 - 3) =1 2 >0 ,因此 ,依靠判别式无法排除不合题…     

解题之后需反思

美籍匈牙利数学家乔治·波利亚说过:“数学问题的解决仅仅只是一半,更重要的是解题之后的回顾.”因此,要有效地培养数学解题能力,解题后的反思是一个不可缺少的重要环节.进行解题后的反思,能帮助我们总结经验,发现规律,形成技能和技巧;还能触类旁通,有效地提高学习效率.一、思疏漏解题后首先要思考是否有疏漏或错误的地方,以免再起同类错误.例1关于x的方程8x2-(2m2+m-6)x+2m-1=0的两根互为相反数,求m的值.错解设方程的两根为x1,x2,则x1+x2=2m2+m-68=0.解得m1=-2,m2=32,∴m的值为-2或32.反思-2或32都是问题的解吗?上述解题过程正确吗?经检查,…     

解题时务必充分注意隐含条件

数学问题中常常隐含着一些易被忽视的条件 ,使解题或陷入困境 ,或得到错误结论 .解题时若能注意发现这些隐含条件 ,常能拓展思路 ,优化解题过程 ,使问题迅速而巧妙地得到解决 .1　从概念入手题目所涉及的概念 ,如绝对值、平方根、二次根式、二次函数或二次方程的二次项系数等 ,它们的内涵往往正是解题时所必须使用的 .因此 ,可以从分析概念的本质特征入手 ,寻求解题的途径 .例 1　化简二次根式ａ - ａ + 1ａ2 的结果是 (　　 ) .(Ａ) -ａ - 1　　 (Ｂ) - -ａ - 1(Ｃ)ａ + 1 (Ｄ) -ａ - 1( 2 0 0 1 ,山西省中考题 )解析 :化简的目的是将被开…     

挖掘隐含条件解题

隐含条件,就是指隐藏在题目的其它条件、结论或数学式子之中,没有直接写出的固有条件,解题时若不注意挖掘隐含条件,常常导致解题失误,甚至有些题使人感到无从下手.因此,挖掘隐含条件并加以充分利用,对提高解题正确率和解题能力是十分有益的.下面结合例题谈谈隐含条件的挖掘方法. 一、从数学概念、公式、法则、性质的某些特殊限制中,挖掘隐含条件 许多数学概念、公式、法则、性质都有其适用的范围或特定的限制条件,这些在数学题目中往往都变成了隐含条件. 例1 已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关     

警惕一元二次方程中的"陷阱"

一元二次方程知识是中考重点考查内容之一,而命题者也常常利用同学们容易混淆的概念或容易忽视的知识点精心设计“陷阱”.现归类剖析几例,望同学们引以为鉴.一、利用一元二次方程的概念设计“陷阱”例1关于x的方程k2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实根,求k的取值范围.错解:∵原方程有两个不相等的实根,∴△=(2k+1)2-4k2>0.解得k>-14.∴k的取值范围是:k>-14.剖析:方程k2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实根的条件是:(1)二次项系数k2≠0;(2)△>0.解题者只注意了(2),而忽视了(1),即忽视了二次项系数不为零的情况,故正确答案是:k>-14且k≠0.二、利…     

以“图”导思 顺畅解题

做下面这道题,先不看答案,看你能不能很快找到解题思路并且顺畅解题.例1(1)一次函数f(x)=kx+h(k≠0),若m0,f(n)>0,则对于任意的x∈(m,n)都有f(x)>0,试证明之;(2)试用上面的结论证明下面的命题:若a,b,c∈R且|a|<1,|b|<1,|c|<1,则ab+bc+ca>-1.解析:做数学题的第一步是要正确的读懂数学语言,然后把题目中的数学语言提炼出来,再层层深入展开联想,而数学题的设置往往步步为营,险象环生,所以每个步骤都要脚     

10月份《初二数学竞赛训练题(二)》参考答案

1 .C .2 .C .3 .A .4.A .可考虑任意的三点A ,B ,C ,不失一般性 .如果这三点连成△ABC ,若AB是最长边 ,那么A和B就不可连结 ,所以构不成三角形 .5.C .6 .D .7.7.8.343个 .9.a =b=2 0 0 3 .1 0 .a=- 7.1 1 .令m =n+99,则m - 99,m ,m +1 0 1都是完全平方数 .令m =k2 ,(m+1 0 1 ) =(k+j) 2 ,(k,j是某些正整数 ) .有　k2 +1 0 1=(k +j) 2 =k2 +2kj+j2 .因此 ,1 0 1 =j(2k+j) ,这说明 j和(2k +j)是1 0 1的因数 ,必须等于 1或 1 0 1 ,因为k >0 ,∴ j不可能是 1 0 1 ,则 2k +j =1 0 1和 j =1 ,∴k=50 ,∴m =k2 =2 50 0 ,∴n=2 50 0 - 99=2 4…     

反比例函数的性质及应用

反比例函数具有如下十分浅显而又很有价值的性质:(1)对于双曲线y=kx(k≠0)上任一点P(x0,y0),恒有x0y0=k(k为定值);①(2)在(1)中过点P(x0,y0)作PA⊥x轴于点A,作PB⊥y轴于点B,O为坐标原点,PA=BO=|y0|,PB=OA=|x0|.则S OPA=12|k|,②S矩形OAPB=|x0|·|y0|=|k|.③下面举例说明其在解题中的应用.例1若双曲线y=-6x经过(m,-2m),则m的值为()(A)3(B)3(C)±3(D)±3解由性质(1),得m(-2m)=-6,m2=3,所以m=±3,故应选C.例2一定质量的二氧化碳,当它的体积V=5m3时,它的密度为ρ=1.98kg/m3.(1)求ρ与V的函数关系;(2)求当V=9m3时二氧化碳的密度;(3…     

“零”的陷阱例析

我们知道几乎每一个数学概念和每一 种数学运算都与零有关,零在数学领域中常 扮演着举足轻重的角色.在解题过程中,若对 零丧失警惕,就容易走入误区,掉进陷阱,造 成解题失误.因此,我们在解题时就应睁大眼 睛,增强警惕性,从而排除陷阱,顺利到达正 确解题的目的地. 陷阱之一　忽视分母不能为零 【例1】　求和Sn=(x+1y)+(x2+1y2) +(x3+1y3)+…+(xn+1yn). 错解:Sn=(x+x2+…+xn)+(1y+ 1 y2+…+1yn) =x(1-xn)1-x+ 1 y(1-1yn) 1-1y =x-xn+11-x+yn-1yn(y-1) 剖析:因为当分母为零,即当x=1或 y=1时,不能表达成上述…     

关于直线和圆的陷阱题

例1求过点P(5,4)且与圆x2+y2=25相切的直线l的方程.错解设所求过点P(5,4)的直线l的斜率为k,则其方程为y-4=k(x-5),即kx-y-5k+4=0.圆x2+y2=25的圆心O(0,0),半径r=5,由条件｜-5k+4｜!#k2+1=5,解得k=-490,则直线l的方程为9x+40y-115=0.剖析错解忽视了斜率不存在的情况.应对直线斜率的存在性进行分类讨论,还要补上当斜率不存在,即直线l垂直于x轴时直线l的方程x=5,再证明直线l=5与圆x2+y2=25相切.综合得直线l的方程为x=5或9x+40y-115=0.注意解与直线斜率有关的问题时,要分斜率存在与不存在两类.例2若点P(m,n)到A(-2,4)、B(6,8)的距离之和最小,…     

有心圆锥曲线的一组有趣性质

笔者最近对有心圆锥曲线的一些特殊点和线作了些研究 ,得到了一组十分有趣的性质 ,现说明如下 ,供读者参考 .定理 1　设直线l经过双曲线x2a2 -y2b2 =1(a >0 ,b>0 )的焦点F ,交双曲线的两条准线于A ,B两点 ,O是双曲线的中心 ,e是离心率 ,l的倾斜角为θ(θ∈ ( 0 ,π) ) ,则OA ⊥OB的充要条件是sinθ=1e2 .证明　由对称性 ,不妨设l的方程为y=k(x -c) (其中k=tanθ) ,将y =k(x-c)分别与x=-a2c 和x=a2c 联立 ,解得两交点A( -a2c,-a2 c2c k) ,B( a2c,a2 -c2c k) .故OA⊥OB kOA·kOB =-1 yAxA·yBxB=-1 k(a2 c2 )a2 · k(a2 -c2 )a2 =…     

都是“a”惹的祸——一元二次方程常见错解剖析

ax~2+bx+c=0(a、b、c是常数,a≠0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式,这里的条件是a≠0.在解决问题时,同学们往往会忽略这一个隐含条件,导致解题失误.例1:已知方程kx~2-(2k+1)x+k=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.错解:因为方程有两个不相等的实数根,所以b~2-4ac>0,即【-(2k+1)】~2-4k~2>