均值不等式等号成立条件的导向作用示例

对于均值不等式n(a1a2…an)~(1/2)≤(a1 a2 … an)/n,当且仅当a1=a1=a3=…=an时等号成立,这是一个大家都很熟悉的条件,大多数人在解或证明不等式即将完成时,用它来完善不等式的解答,鲜有人注意到它对不等式问题的解答有启发和导向作用,下面我们就举例来说明．     

均值不等式等号成立的配凑技巧

利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点．在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式,或者不便于利用题设条件,此时需要对题中的式子适当进行配凑变形．均值不等式等号成立的条件具有潜在的应用功能．以均值不等式的取等条件为出发点,为解题提供信息,可以引发出种种配凑技巧．笔者通过实践,把运用均值不等式的配凑技巧概括为六类,下面对此作些论述．     

均值不等式中等号成立条件在解题中的导向作用

课本中介绍了均值定理：a,b∈R^＊,则a＋b/2≥√ab（当且仅当a=b时取“=”号）它还有两个常用变式：ab≤（a＋b/2）^2,ab≤a^2＋b^2/2,都是当且仅当a=b时取“=”号,用它们可以实现两式（或数）之积与其和的平方或平方的和这三者之间的互化,这些大家都很熟悉,但鲜有人注意到其中等号成立条件对不等式问题的解答有启发和导向作用,本文对此作以下探讨,以期抛砖引玉．     

例说利用等号成立的条件证明不等式

在证明含有“≥，≤”的不等式时，如果能够关注其中等号成立的条件，并结合“均值不等式”、“柯西不等式”等号成立的条件，那么往往能够很快找到问题的突破口，从而收到事半功倍的效果．下面简单举例说明．     

例谈等号成立的条件

大家知道均值不等式是中学重要的常用的基本不等式,认真思考等号成立的条件,坚持变换方向与条件不矛盾,借助一定的变换技巧,能解决范围广泛的一类难题.本文试图以一例及其变形加以说明,以求抛砖引玉.     

巧用均值不等式及其等号成立条件求最值

最值问题一直是高中数学中常见的题型,其解法也是五花八门,同学们在学习了均值不等式后,对最值问题又多了一把解答的工具,本文将和同学们一起探讨如何巧用均值不等式求解最值问题.     

均值不等式等号成立的构造技巧

利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点.运用时必须具备三个必要条件--即一正(各项的值为正)、二定(各项的和或积为定值)、三相等(取等号的条件).但在题设中未给出和(积)为定值的条件下,如何凑出定值使等号成立,却深感困难,为此,本文举例说明构造均值不等式等号成立的常用技巧.     

等号成立条件的探究

C是BD边上的一点,艺BAC于是由几ABD=S△ABc 一告·。51·60。 告,一,·60 1占一Z 1一X在文【l]中提到了一道不等式证明题:已知x>0,V>0,z>0,求证:了护一却 沪十仰2一尹 护>了xZ xz 沙.原文作者可能在这里丢了一个“=”号,也就是说,“>”应改为“)”.而这个“=”成立的     

基于思维分析的均值不等式解题教学策略

均值不等式教学后,我们发现学生大多只关注形,而忽视整体的理解.即如讲完均值定理后,让学生考虑:求y=sinx+4/sinx的最小值,x∈(0,π).很     

均值不等式的应用

均值不等式是一个非常重要的不等式,它在不同学科中都有广泛的应用。应用均值不等式,可以使一些较难的问题得到简化处理。主要介绍了均值不等式的各种形式以及推广,研究了它在求函数最值、证明不等式和日常生活中的一些应用。     

均值不等式条件构造浅谈

用均值定理求最值必须满足一正、二定、三相等这3个条件．而用其求最大（小）值的关键是构造出几个正数的和或积为定值．且使等号成立．如何构造出这样的数是顺利解题的关键。本文就如何构造出均值不等式的条件进行归纳,供同学们参考．     

均值不等式定理的应用

设α、b、c&;gt;0，则α+b/2≥√αb,α+b+c/3≥3√αbc(当且仅当α=b=c时取等号)，这是均值不等式定理，运用它可解答下面几类高考题。     

用均值不等式求最值取等号的错因剖析

用均值不等式求最值是高中代数教学的一个重点和难点,也是高考在综合题、应用题中出现频率很高的一个知识点.运用时必须注意三个限制条件,即"一正、二定、三取等".笔者在教学实践中,发现很多同学在"取等"这一环节上由于观察不仔细,条件分析不充分,知识方法应用不恰当等原因,经常出现最值易得,得而便错,错而不知的现象.     

经典均值不等式的再改进

设a1,a2,…,an∈R＋,n≥2,则n/1/a1＋1/a2＋…＋1/an≤n√a1·a2…an,其中等号成立的充要条件为a1=a2=…an.     

均值不等式在竞赛数学中的应用——均值不等式等号成立的构造

均值不等式是高中数学中的一个重要不等式,它有着广泛的应用,本文主要就它在求函数最值中的应用举例说明．我们知道使各因式之和（或积）为定值是利用平均值不等式求最值的关键点．其次,还要使各因式相等才能实现,即等号成立的条件必须满足,否则将导致错误,这也是使用均值不等式求最值的难点．     

一个均值不等式链的筒证

命题 已知α〉0,b〉0,求证√α^2＋b^2/2≥α＋b/2≥√αb≥2αb/α＋b,当且仅当α=b时等号成立。     

均值不等式求最值的转化技巧

介绍用均值不等式求最大值,最小值的使用条件、使用方法以及转化技巧.     

均值不等式中等号的合理运用

在《不等式》一章中，均值不等式是一项重要内容，也是高考的热点，教材中明确指出，如果a、b是正数，那么a＋b/2≥√ab（当且仅当a=b时取等号），但是同学们在做题过程中往往理解不够而误用，就此问题，笔者略举几例：