“分子常数化”在求分式函数值域上的应用

我们都知道函数y=k/x(k≠0)的值域为{y | y≠0},函数y=x k/x(k＞0)的值域为y∈(-∞,-2√k]U[2√k, ∞),借这两种函数原型,可用"分子常数化"来解决分式函数的值域问题.以下举例说明它的用法:     

用判别式求分式函数值域

本文就分母为二次三项式，分子为常数、一次式、二次式的分式函数，谈如何运用判别式求其值域的方法。     

多法求分式函数值域

1．分离常数法 例 1求函数y=x/x＋1的值域．     

构造常数1求有条件分式函数的最值

利用均值定理解决形如已知ax＋by=c（a〉0,b〉0,c〉0）求A/x＋B/y（A〉0,B〉0）的二元条件最值问题时,必须满足“一正、二定、三相等”的条件,否则所得到的结果就会出现错误．解决此类条件最值问题时,若能抓住条件中各量的特点构造常数1,再逆向代人所求式中化简变形后可满足平均值不等式的三个条件,最后顺利求得最值．下面举例说明．     

利用目标函数的几何意义 巧解一类最值问题

<正>最值问题中有一类是在线性约束条件下求二元函数最值.在这类问题中,当目标函数是线性函数时,就是通常所说的二元线性规划问题,当目标函数不是线性函数时,其中不少也可以用解决线性规划问题的方法去解决.解决这类问题时,利用目标函数的几何意义是关键.以下谈谈如何运用目标函数的几何意义求解这类二元函数最值问题.     

一类分式函数最小值问题讨论

对函数f（x）=x-c/a＋d-x/b（a,b,c,d∈R^＋,c＜x＜d）,我们在求其最小值的时候,可借助均值不等式或三角函数变换来进行求解,但对等号成立的条件我们要慎重考虑,否则会出现形似完美实则错误的解题过程,下面先举例子加以说明．     

“倒数”法巧解分式题

在学习分式时．常会遇到一些用常规方法很难解决的分式问题．对此类问题，若能根据题目所给的条件或所求，巧取倒数再求解．往往会收到立竿见影、事半功倍的效果．     

三类分式函数值域的求法及要注意的问题

中学阶段,常见有下面三类分式函数：（1）y=cx＋d/ax＋ b（a≠0）（分子分母既约）．     

拆项法求一类分式函数最值

函数求最值是函数的一个重要内容，是教学中的一个难点．其方法多、形式杂，分式函数求最值更是如此．许多学生往往感到心中无数，甚至产生了恐惧心理，造成解题的心理障碍，笔者从教学实践中感到：要消除学生心理障碍必须着力培养学生解决这类问题之能力，其关键是使学生逐步学会抓住这类问题之本质特征找到相应的解题方法．     

巧解一类直线斜率题

<正>我们知道,若点P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)在直线l:f(x,y)=0的两侧,则f(x_1,y_1)·f(x_2,y_2)<0,反之也成立.利用这个性质可巧妙地解决一类直线斜率的范围问题,现举例说明之.     

分离常数法与分离参数法的应用

分离常数法 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法,主要的分式函数有y=ax＋b/cx＋d,y=ax^2＋bx＋c/mx^2＋nx＋p,y=m·a^z＋n/p·a^z＋q,y=m·sinx＋n/p·sinx＋q等．解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数．     

分式函数或可化为分式函数的最值问题

分式函数最值问题是各类考题中常见且很重要的内容,本文探讨此类函数最值的常见解法和技巧.     

一类分式函数值域的6种求法

含有根号的分式型函数的值域（最值）求法,是近几年来各级各类考试的热点,也是高中数学的重点和难点．这类问题内涵丰富,灵活多变,综合性强,涉及的知识点多,但考查的都是中学数学的基本思想和方法．下面举例说明这类问题的求解方法．     

利用分离函数法证明函数不等式

在近年的高考试题中,经常会出现以e^x与lnx为背景的函数不等式证明问题,直接应用导数证明这些不等式有时很复杂,有时需要多次求导,甚至思维受阻,此时若能从含有e^x与Inx的函数不等式中分离出e^x或lnx,再利用导数证明,则可避免繁冗的求导运算,从而化难为易,化繁为简,起到事半功倍之效,下面举例说明．     

利用“对号函数”巧解一类解几题

纵观各省市高三数学模拟试卷，有关直线与二次曲线相交，求相关线段（或向量模）的比值问题颇为流行．此类试题综合性、思考性均较强，若按常规解法（求坐标法）运算量较大，一般学生望而生畏，失分较多．笔利用所谓“对号函数”y=s＋1/x（函数图象有点象批作业中解答正确时打的“钩”），巧用韦达定理，避免了求交点坐标的繁琐运算，从而优化了解题过程，效果较好．[第一段]     

巧用分离常数法

在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求常量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出常量的取值范围。这种方法可称为分离数法。用这种方法可使解答问题简单化。[第一段]     

利用函数最值巧证数列不等式

数列不等式的证明问题,近几年来在高考试卷中频频出现,其证明与普通的不等式证明往往有所不同.从本质上讲,数列也是一种函数,所以,我们不妨从函数的角度去寻求这一类问题的解决办法.本文拟从函数最值的角度来尝试证明一些稍为复杂的数列不等式问题,现举例说明如下:     

利用函数性质巧解题

奇偶性、周期性、单调性是函数的重要性质,也是高考的热点。巧妙构造函数,借助函数的三个性质解决一些数学问题,为我们提供了解题新途径,并能使解题过程简捷、明快。下面举例说明。     

一类涉及线性分式变换函数方程的精确解

研究了一类涉及线性分式变换函数方程的精确解.对于其中一类简单的函数方程,给出了所有情形下的幂级数解.阐明了这类函数方程与一类涉及线性分式变换函数方程解之间的关系.通过不同情形下的具体例子,展示了求解函数方程的方法。