棣莫佛定理的一些应用

统编教材中有棣莫佛定理:设复数z=r(cosθ+isinθ),n∈N,则 z~n=r~n(cosnθ+isinnθ) (1) 利用复数的指数形式可以证明下列等式(证明从略): [r(cosθ+isinθ)]~(-n)=1/r~n[cos(-nθ)+1sin(-nθ)] (2) [r(cosθ-isinθ)]~n=r~n(cos nθ-isinnθ) (3) 下面分五方面举例说明(1)、(2)、(3)的应用。限于篇幅,仅各举一、二例。 (一) 求解复数的乘方。     

巧构等比数列证明棣莫佛定理

棣莫佛定理是复数中的一个重要定理,高中代数课本第二册是用数学归纳法证明的。本文通过构造一个辅助等比数列,给出该定理的一个巧妙证法。 [棣莫佛定理]设n为自然数,r为正实数,i为虚数单位,则[r(cosθ+isinθ]~n=r~n(cosnθ+isinnθ)。证明:显然,只需证明(cosθ+isinθ)~n=cosnθ+isinnθ即可。令a_n=cosnθ+isinnθ,将n拆成(n-1)+1,并利用和角的正、余弦展开式易得:a_n=cosθ[cos(n-1)θ+isin(n-1)θ]+isinθ[cos(n-1)θ+isin(n-1)θ]=(cosθ     

三角函数的复数表示及其应用

④⑤ 设复数:二一玄5 in日,且之之‘sin口,易得eo。夕 isin口,则:=eos夕赶向叫得 cos理夕二11之之=cos口一51、工,,夕=一乡(一 会)扮\劲 22”一卜1一2尹 之2公一1=2万元丁’Cos白二1/1\丁又万十万)=尸一卜〕丽一’5 inn日eos,了口尸倪一:一15 in口二1/~丫一几!Z一22\2一12成“(2’” 1)f.。05夕, 乞5 in口,,之2= ⑥eos夕2①②③之一 一一、、./产Jl一之tg夕=5 inoeos夕之2一1 tg刀口二 另外,卜艺。是n召:,若;则:之:二。o。(口, 夕2)一卜isin(夕,(了“ 1);‘口:)根据棣美弗定理,我们可以得到:22=cos‘乡,一夕2卜isin(口:一o:). ︸沁 2/l、1…     

对一道复数题的思考

1 题目1 z∈C,|z|=1,解方程z~5 z=1,(苏州大学《中学数学》编辑部编《高三数学教学与测试》 解法1 由|z|=1,可设z=cosθ isinθ,代入原方程有 cos5θ isin5θ cosθ isinθ=1, (1) (2) (1)~2 (2)~2得cosθ=’言, 经检验是原方程的根。     

用不等式求三角函数式极值(最值)常见错误剖析

求三角函数式的极值,最常用的不等式及其性质、定理,可归纳为以下三个方面: 1.一元二次方程在实数范围内有解,则判别式大于或等于零,即b~2-4ac≥0; 2.三角函数具有有界性,如-1≤sinx≤1,-1≤cos≤1; 3.x_1 x_2 …x_n/n≥(x_1·x_2…x_n)~(1/n)(x_1,x_2,…x_n均为正数,n为正整数,当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立)。 利用不等式求三角函数式的极值时常见错误剖析如下:     

有奖解题擂台(117)

<正>题设:x_i为正实数(i=1,2,…,n),且x_1x_2…x_n=1,n∈N,n>3,m是实数,则当m≥n-2或m≤-n+1时,有sum from i=1 to n x_i^m/((1+x_1)…(1+x_(i-1)(1+x_(i+1)…(1+x_n))≥n/2m/((1+x_1)…(1+x_(i-1)(1+x_(i+1)…(1+x_n))≥n/2^(n-1).第一位正确解答者将获得奖金100元.     

关于二阶循环数列的一些性质

1.设二阶循环数列X=(x_n)n≥1由递推关系 x_(n 2)=ax_(n 1) bx_n (n≥1) x_1=p,x_2=q给出,其中a、b;p、q为实数。 命题1.对于由(1)定义的数列X。 x_(n 1)x_(n-1)-x_n~2=(b)~(n-2)(apq bp~2-q~2) (2)对任意n≥2成立。     

形态联想

联想是一种心理活动 ,即对欲感知的事物回想似曾相识的事物或意识到与之接近的事物 .解数学题离不开联想 ,常用的联想方式有相似联想、接近联想、对比联想、关系联想等 .但我们感觉形态联想也非常重要 ,即对题设条件或结论所呈现出的形象特征 ,想到其相应的数学现象 ,加以创造性地解决 .例 1　求和 C0n +C1ncosφ +C2ncos2φ +… +Cnncosnφ.分析 :据特征很容易联想二项式定理 ( 1+x) n,又由 cosnφ想到棣莫佛定理 ( cosφ +isinφ) n =cosnφ +isinnφ,于是有下面解法 :令 z=cosφ+isinφ,则 ( 1+z) n=C0n+C1nz +C2nz2+… +Cnnzn=C0n+C…     

复数z、、1/z之间的关系

在许多复数问题中会出现有关 z,z,1z的式子 ,利用这几个复数相对应的点的位置关系解题 ,别有趣味 .设 z=r(cosα isinα) (r>0 ) ,则z=r[cos(-α) isin(-α) ],1z=1r[cos(-α) isin(-α) ].它们的对应点如图 1例 1　已知 z 1z=cos x(x∈R) ,且 | z|≤ 1 ,求 argz的取值范围 .解　先设 | z| <1 ,如图 2 ,此时 z 1z所对应的向量不在 x轴上 ,所以 z 1z ≠cos x,故 | z| <1不可能 ,于是 | z| =1 .令 z=cosθ isinθ(0≤θ<2 π) ,则由z 1z=z z=2 cosθ=cos x,即 cosθ=12 cos x∈ [- 12 ,12 ],所以 θ∈ [- π3 ,π2 ]∪ [4π3…     

用行列式求有理化因式

中学数学中有这样一个问题:m个根式A_1~(1/n),A_2~(1/n)……A_m~(1/n)的有理多项式的有理化因式是否存在?如果存在应如何求?下面我们将用行列式来加以讨论,首先给出交换代数中的一个命题。 命题:设h(x_1,……,x_m)∈Q[x_1,……,x_m],那末对任何给定的一组正整数n_1,n_2,……n_m,总存在多项式g(x_1,……,x_m),f(x_1,……x_m)∈Q[x_1,……,x_m]使     

也谈1984年高考数学第八题的解法

题:设a>2,给定数列{x_n},其中x_1=a,x_(a+1)=x_n~2/2(x_n-1),(n=1,2,…)。求证(1) x_n>2,且x_(n+1)/x_n)<1(n=1,2,…);(2) 如果a≤3,那么x_n≤2+(1/2~(n-1)(n=1,2,…)(3) 如果a>3,那么当n≥lg(a/3)/lg(4/3)时,     

不等式(a+1/a)(b+1/b)≥25/4的再推广

目前已有人把(a+1/a)(b+1/b)≥25/4(a>0,b>0,a+b=1)推广为:设x_i>0(i=1,2,…,n)且x_1+x_2+…+x_n=k,则(x_1+1/x_1)(x_2+1/x_2)…(x_n+1/x_n)≥(n/k+k/n)~n当且仅当x_1=x_2=…=x_n=k/n时取等号。本文对该不等式进一步作了推广,得出两个新的结果。欲知情况如何,请看该文。     

从一道高考题的错证看学点数理逻辑的必要性

1986年全国高考试卷中有这么一道题: 已知 x_1>0,x_1≠1,且x_(n+1)=(x_n(x_n~2+3))/(3x_n~2+1)(n=1,2,3…) 求证数列{x_n}或者对任意自然数n都满足x_nx_(n+1)。这题有不少证法,拙作《递推式》(上海科技出版社1989年版)中曾引了五种证法。高考结束后,在一份数学杂志上曾刊登了一则利用反证法的证明。兹将它摘录如下: “证”若设{x_n}对任意的自然数n既不满足x_nx_(n+1),则应满足x_n=x_(n+1)。再由题设可得 x_n=(x_n(x_n~2+3))/(3x_n~2+1) 3x_n~3+x_n=x_n~3+3x_n ∴x_n=0,1,-1。     

复数在三角中的一些应用

(一) 我们知道,方程z~n-1=0(n是自然数)有n个复根α_0,α_1,……,α_(n-1),其中α_k=cos2k/nπ+isin2k/nπ(k=0,1,2…,n-1),根据一元n次方程的韦达定理,有α_0+α_1+α_2+…+α_(n-1)     

重要不等式及其应用

在宇宙空间和世界上,大量存在“不等关系”。这类关系在数学中的表现形式是用符号“>”或“<”连结量与量、量与式、式与式等,统称为“不等式”。下面是中学数学中一些重要的不等式。’ (1)(x_1-x_2)~2≥0及x_1~2 x_2~2≥2x_x_2(其中x_1、x_2>0,当x_1=x_2时,等号成立) (2)(x_1/x_2) (x_2/x_1)≥2(其中x_1、x_2>0,当x_1=x_2时,等号成立) (3)如果x>0,y>0,xy=1,则x y≥2(当x=y时,等号成立) 一般说来:如果x_i>0,x_1·x_2…x_n=1(其中i=1,2…n,n表自然数)     

一个不等式的补充与更正

编辑同志:贵刊1987年第2期刊载的《有关sum from h=1 to n 1/(1+x_h)的几个不等式及其推论》中的推论5有误。现将原文的推论5抄录如下: 推论5 设x_h>1,k=1,…,n。则 sum from h=1 to n x_h/(x_h-1)≥n/(1-A_n~(-1)(x))≥n/(1-G_n~(-1)(x))≥n/(1-H_n~(-1)(x))。当且仅当x_1=x_2=…=x_n时取等号。我们取n=2,x_1=2,x_2=3代入上式,经计算得sum from h=1 to 2 x_h/(x_h-1)=3.5,2/(1-A_2~(-1)(x))=     

复数法求三角级数前N项和及三角连乘积

用复数知识求某些特殊三角级数前 n 项和及三角连乘积通常有四种方法:(1)三角——复数公式法;(2)辅助复数 u+iv 法;(3)韦达定理法;(4)分解因式法。一、三角——复数公式法我们知道,设 z=cosθ+isinθ=e~(iθ),     

构造局部不等式证明不等式

有些不等式的证明,从整体上考虑难下手,如果构造若干个结构相同的局部不等式,逐一证明后,再利用同向不等式相加或相乘的性质,即得证所求不等式。例1 设x_1,x_2……x_n是n个正数,求证:x~2_1/x_2 x~2_2/x_3 … x~2_n/x_n x~2_n/x_1≥x_1 x_2 … x_n(’84全国数学竞赛     

倒数关系不等式及其应用

本文旨在探讨不等式中一类常见、重要的不等式:(x_1 x_2 …x_n)(1/x_1 1/x_2 …1/x_n)≥n~2并通过例题,说明利用这个不等式求解含有分式的不等式有关的问题的求解,不仅有章可循,而且比用其它方法求解更为简洁.命题:设x_1,x_2, …,x_n是n个正实数,(?)∈N且n≥2测(x_1 x_2_…x_n)(1/x_1 1/x_2 …1/x_n)≥n~2当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立,这个不等式就是本文所要介绍的倒数关系不等式.     

错在哪里?

一、湖南湘阴一中李一麟李涧源来稿 题:试在能使(亿了十‘)m二(1十:’)’成立的正整数。、”中,分别求出。、n为最小的值。 解法一:(亿丁+‘).=(l+t’).可变为 〔2(cos古北+i。,ln古兀)〕. =〔切百(eos去九+isin去北)〕.,即Zm(eos古协兀+fsin古拼北) =2”2(eos去。二+isin十。二)。依复数相等的条件,得 解法二中,注意了模相等的条件,但却忽视了若。os古。二二cos十,二,并不一定总有5 in古。:二。in去n二。 正确解法是利用“两个非零复数相等2rl且仅当它们的模与辐角的主值分别相等”及“终边相同的角同名函数值相等妙的结论,2范=2“,:eos古…