二次函数学习指要

y＝ax２＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠０）是二次函数的一般形式，图象是抛物线．通过配方，可以把二次函数表示成y＝a（x－h）２＋k的形式，此时h＝－b２a，k＝４ac－b２４a．由此可以确定这条抛物线的对称轴是直线x＝－b２a，顶点坐标是（－b２a，４ac－b２４a）．当a＞０时，抛物线开口向上；当a＜０时，抛物线开口向下．如果知道一条抛物线上三点的坐标，那么可用待定系数法求出相应的二次函数的解析式．关于二次函数的图象，教科书１３．７节用了很大篇幅讲述了用平移法作出y＝ax２＋bx＋c的图象（即由抛物线y＝ax２左右上下平移得到）…     

从基础到能力的跨越——记一道习题的讲评课

九年义务教育三年制初中《代数》第三册（人教版）P１４５有这样一道习题：一条抛物线y＝ax２＋bx＋c经过（０，０）与（１２，０），最高点的纵坐标是３，求这条抛物线的解析式．这道题并不难，基本解法大多数同学都可以想到：因为抛物线经过（０，０）与（１２，０），最高点的纵坐标是３，所以，得c＝０，１４４a＋１２b＋c＝０，４ac－b２４a＝３ 解之得，a＝－１１２，b＝１，c＝０．于是求得抛物线的解析式为y＝－１１２x２＋x．我们利用这道题开展丰富的联想，引导学生对题目进行多角度、全方位综合分析、变形，使学生对所学…     

用几何法解代数题三例

数学研究的对象———空间形式和数量关系是相联系的，可以转化的．有一些代数问题常常可借助于几何图形具体地、形象地呈现出来，便于现量与量之间的关系，易于求解．例１．已知关于x的方程１g（４x２＋４ax）＝（４x－a＋１）有唯一实数解，求a的取值范围．解：作y＝４x２＋４ax的函数图象，它与x轴两个交点：a＞０时，为（－a，０）和（０，０），如图１；＜０时为（０，０）和（０，－a），如图２．作y＝４x－a１的函数图象，它与x轴交于点（a－１４，０）．则原条件等价于两图象在x轴的上方只有一个交点．由图象可知，a应满足下列条件…     

图象题的五种解法

一、观察法例１（２０００年春季北京高考题）已知函数f（x）＝ax３＋bx２＋cx＋d的图象如下图，则（）A．b（－∞，０）B．b（０，１）C．b（１，２）D．b（２，＋∞）分析观察函数的图象，由图象过原点知d＝０，又由图象过点（１，０）得f（１）＝a＋b＋c＝０．进一步观察f（x）的图象知f（－１）＜０，即－a＋b－c＜０．两式相加得b＜０，故选A．二、特殊值法例２设k是正实数，如果方程kxy＋x２－x＋４y－６＝０表示两条直线，那么它们的图象是（）分析由图象知有四个点可供我们考查．由A知图象过原点，而原点的坐标不满足方…     

一元一次不等式的应用

学习一元一次不等式，重要的是应用其基本知识解决实际问题．下面从五个方面举例加以说明．一、比较大小例１比较x３＋２x２－１与x３－５的大小．解：（x３＋２x２－１）－（x３－５）＝２x２＋４，∵x２≥０，所以２x２＋４＞０．故x３＋２x２－１＞x３－５．二、确定字母的取值范围例２若（２a－２４）２与｜３a－b－k｜互为相反数，求k为何值时，b为负数．解：由题意，得（２a－２４）２＋｜３a－b－k｜＝０．∴２a－２４＝０，３a－b－k＝０．∴a＝１２，则３６－b－k＝０，故b＝３６－k．要使b为负数，需３６－k＜０，k＞３６．∴当k…     

巧取特殊值判断函数的奇偶性

例１已知函数f（x），当x、yR时，恒有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）．试判断函数f（x）的奇偶性．解析令x＝y＝０得f（０）＝f（０）＋f（０），即f（０）＝０；令y＝－x得f（x）＋f（－x）＝f（０）＝０，即f（－x）＝－f（x）．故函数f（x）是奇函数．例２判断函数y＝１＋sinx－cosx１＋sinx＋cosx的奇偶性．解析当x＝π２时，y＝１；当x＝－π２时，y不存在．故所给函数的定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶函数．注若函数的定义域关于原点不对称，则该函数不具有奇偶性．例３设函数f（x）＝x２＋｜x－２｜－１，xR，试判断函数f（…     

“分式”函数值域的求法

我们把形如y＝ax２＋bx＋cpx２＋qx＋r（a、b、c、p、q、rR，p、q不全为０）的函数称为“分式”函数．现在介绍求这种函数值域的方法．一、形如y＝bx＋cqx＋r（q≠０）的函数值域的求法将函数解析式变形为y＝bq－brq－cqx＋r，当c＝brq，即bq＝cr（分子分母有共同的因式）时，y＝bq，函数的值域为狖bq狚；当c≠brq，即bq≠cr时，由于函数y＝brq－cqx＋r的值域为所有非零实数，所以原函数的值域为y｜y≠bq ．例如，函数y＝４x－２２x－１的值域为 ，函数y＝３x＋４２x－１的值域为y｜y≠３２ ．二、形如y＝ax２＋bx＋cpx２＋qx＋r（p…     

求函数值域的九种方法

一、观察法根据完全平方数、算术根和绝对值都是非负数的特点以及函数的图象、性质，凭观察能直接得到一些简单的复合函数的值域．例１求函数y＝x＋１√－x－１√的值域．解析将y＝x＋１√－x－１√变形得y＝２x＋１√＋x－１√．易知此函数在区间犤１，＋∞）上是减函数．当x＝１时，ymax＝２√．又∵x＋１√＞x－１√，∴y＞０．∴函数的值域为（０，２√犦．二、配方法例２求函数y＝－x２－６x－５√的值域．解析∵－x２－６x－５≥０，∴－５≤x≤－１．∴当－５≤x≤－１时，－x２－６x－５＝－（x＋３）２＋４≤４，其中当x＝－３时取…     

解三角题时易陷入的误区

误区一忽视函数的定义域例１求函数y＝２tanx１－tan２x的最小正周期．错解∵y＝２tanx１－tan２x＝tan２x，∴T＝π２，即函数的最小正周期为π２．分析π２不是函数y＝２tanx１－tan２x的周期，因为当x＝０时，y＝２tanx１－tan２x有意义，所以由周期函数的定义可知f（０＋π２）＝f（０）成立，但f（０＋π２）根本无意义．正解由于函数y＝２tanx１－tan２x的定义域为狖x｜x≠kπ＋π２，x≠kπ＋π４，kZ），故可作出函数y＝tan２x（x≠kπ＋π２，x≠kπ＋π４，kZ）的图象．可以看出，所求函数的最小正周期为π．误区二忽视函数…     

抛物线内接三角形的面积

二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）当b2－4ac＞0时，它的图象与x轴有两个交点A（x1，0）、B（x2，0），且两交点间的距离，图象与y轴的交点为D（0，C），抛物线的顶点为，抛物线上任意一点为P（xp，yp）.抛物线内接三角形，就是顶点在抛物线上的三角形，其面积问题已成为中考数学压轴题的主要题型之一．这类问题一般有以下几种类型．一、以抛物线与x轴的两个交点A、B和抛物线的顶点C为顶点的三角形，其底边长是抛物线与x轴两支点问的距离，高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值，三角形的面积为例1已知二次函数y＝（m2－2）x2－4mx＋n的图象…     

一次函数常见解题错误剖析

一次函数是初中数学的重要内容之一，同学们在解题时往往会因考虑不周而出现错误．现就一次函数中的常见解题错误分类举例剖析．一、忽视一次项系数不为零导致错误例１已知y＝（m２－１）x２＋（m＋１）x＋m是一次函数，求m的值．错解：由题意，得m２－１＝０，故m＝±１．剖析：一次函数一般式为y＝kx＋b（k≠０），错解中忽略了k≠０的隐含条件．正确答案：m＝１．例２已知一次函数y＝mx－４的图象与反比例函数y＝２x的图象有交点，求m的取值范围．错解：根据题意，可知方程组y＝２x，y＝mx－ 有实数解．解此方程组得mx２－４x－２＝０…     

中考题中抛物线顶点问题的浅析

二次函数图象的顶点是二次函数的重点内容．它涉及的知识面广,是中考试卷中的热门题．现以1997年中考题为例介绍如下．一、顶点与抛物线解析式例1已知二次函数y＝（m2－2）x2－4mx＋n的图象的对称轴是x＝2,且图象的最高点在反比例函数的图象上,求此二次函数/的解析式．（1997年贵州省中考题）解析对称轴与的图象相交,把X＝2代入得抛物线的顶点（2,1）．再由对称轴求得m1＝－1,m2＝2舍去,因抛物线有最高点,a＜0）,’．解析式为y＝－（x－Z）’＋l,即y＝－x’＋4x－3．二、顶点与抛物线的平移例2一条抛物线是由y＝－xZ的图象经过…     

初一数学下学期总测试题(上)

一、填空题１．把方程３a３x＋（a２＋１）y＝５写成用含x的代数式表示y的形式是．２．当x时，代数式３－２x的值不小于１．３．若｜x－y＋３｜＋（x＋y－７）２＝０，则xy＝．４．已知a＋b＝９，ab＝１４，则a２－ab＋b２＝．５．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：．６．线段AB＝５cm，延长AB到C，使BC＝２AB，若D为AB的中点，则DC的长为．７．若２x－y＝a，x＋２y＝ （a≠０），则x∶y＝．８．若n为整数，且x２n＝７，则（x３n）２－（x２）２n＝．９．不等式５x－７≤０的正整数解是．１０．关于x的方程２…     

2003年2月号《数学创新月月练》答案

题１设抛物线y＝ax２＋bx＋c经过A（－１，１）、B（２，－５）两点，则可得方程组a－b＋c＝１，①４a＋２b＋c＝－５． 由②－①，得３a＋３b＝－６，即a＋b＝－２．故可令a＝１，则b＝－３，代入①，得c＝－３，此时y＝x２－３x－３；也可令a＝２，则b＝－４，代入①，得c＝－５，此时y＝２x２－４x－５．题２略．题３AP＝BP，AC＝BC，∠APE＝∠BPE，∠PAC＝∠PBC，AC＝１２AB或∠OAC＝∠OBC等．2003年2月号《数学创新月月练》答案     

完全平方式的应用

一、直接应用１．（a±b）２＝a２±２ab＋b２例１已知a＋１a＝－２，则a４＋１a４＝．（２００２年全国“希望杯”初一数学竞赛试题）解：∵a＋１a＝－２，所以a＋１a ２＝（－２）２，即a２＋１a２＝２．∴a２＋１a２ ２＝２２，即a４＋１a４＝２．２．（a±b）２＋（b±c）２＋（c±a）２＝２（a２＋b２＋c２±ab±bc±ac）例２已知a＝１９９９x＋２０００，b＝１９９９x＋２００１，c＝１９９９x＋２００２，则多项式a２＋b２＋c２－ab－bc－ac的值为（）．A．０B．１C．２D．３（２００２年全国初中数学竞赛试题）解：由已知得a－b…     

用配方法解竞赛题

一、化简例１（第八届“祖冲之杯”竞赛题）已知０＜x＜１，化简（x－１x）２＋４√（x＋１x）２－４√．解：原式＝（x＋１x）２√－（x－１x）２√＝x＋１x－x－１x．∵０＜x＜１，∴x＋１x＞０，x－１x＜０，∴原式＝x＋１x＋x－１x＝２x．二、求值例２（２００２年全国初中数学竞赛）已知a＝１９９９x＋２０００，b＝１９９９x＋２００１，c１９９９x＋２００２，则多项式a２＋b２＋c２－ab－bc－ca的值为（）．（A）０；（B）１；（C）２；（D）３．解：因为a＝１９９９x＋２０００，b＝１９９９x＋２００１，c＝１９９９x＋２００２…     

巧用数形结合法解数学题

一、巧解函数题例１求y＝１－sinx２sinx－１的值域．解析由y＝１－sinx２sinx－１得sinx≠１２，y≠－１２．又∵－１≤sinx≤１，∴－１≤sinx＜１２或１２＜sinx≤１．在双曲线上取点A（１，０），即sinx＝１时，y＝０．作出它的大致图象如下．显然函数的值域有两部分．当sinx＝１时，y＝０；当sinx＝－１时，y＝－２３．∴函数的值域为（－∞，－２３犦∪犤０，＋∞）．二、巧解复数题例２设｜z－i｜＝１，argz＝π４，求复数z．解析如图，｜z－i｜＝１表示以点O１（０，１）为圆心、１为半径的圆，argz＝π４表示射线y＝x（x≥０）．…     

利用二次函数的图象判断相关代数式的值

形如y=ax^2＋bx＋c（a≠0）的函数叫：二次函数,自变量x的取值范围是全体实数,它的图象是一抛物线．其中a决定抛物线的开口方向,当a〉0时开口向上,当a〈0时开一向下;     

高考数学模拟题精选

１．如果圆锥的轴截面是正三角形，那么它的侧面展开图的圆心角是（）A．６０°B．９０°C．１８０°D．２７０°２．过抛物线y２＝４x的焦点作直线交抛物线于点A（x１，y１）和B（x２，y２）．如果x１＋y１＝６，那么AB的长是（）A．１２B．８C．１０D．６３．x２２sinθ＋５＋y２sinθ－３＝１所表示的曲线是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的椭圆４．若a、b、c成等比数列，则函数y＝ax２＋bx＋c的图象与x轴的交点个数为（）A．１个B．２个C．０个D．３个５．△ABC所在的…     

二次函数问题错解剖析

二次函数是初中数学的重要内容之一，现将学习二次函数常见的解题错误归类剖析如下，供同学们复习时参考．一、忽视参数的取值范围例１x１、x２是关于x的方程１４x２－（m＋１）x＋m２＋m＝０的两个实数根，设S＝x１２＋x２２．当m为何值时，S有最小值？最小值是多少？错解：由题意得x１＋x２＝４（m＋１），x１x２＝４（m２＋m）．∴S＝x１２＋x２２＝（x１＋x２）２－２x１x２＝犤４（m＋１）犦２－８（m２＋m）＝８m２＋２４m＋１６＝８（m＋３２）２－２．∴当m＝－３２时，S有最小值－２．剖析：从上述解题过程中，很难发现有错误，…