一题多解殊途同归

解二元一次方程组的基本思想是消元,即化“二元”为“一元”,而消元的方法多种多样.下面仅举一例,介绍几种解二元一次方程组的常用方法.例:解方程组3(x-1)=y+5,5(y-1)=3(x+5) .解法1:代入消元法原方程组可化为3x-y=8,(1)3x-5y=-20.(2 由(1)得:y=3x-8.(3)(3)代入(2),得:3x-5(3x-8)=-20.解得摇x=5,代入(3)得摇y=7.因此,原方程组的解为x=5,y=7 .解法2:加减消元法原方程组可化为3x-y=8,(1)3x-5y=-20.(2 (1)-(2),得4y=28,所以摇y=7.把y=7代入(1)得摇3x-7=8,所以摇y=5.所以摇x=5,y=7 .评注:代入消元法与加减消元法是解二元一次方程组的基本方…     

二元一次方程组解法两种

九年义务教育课程标准实验教科书《数学》(华师大版)七年级下册第七章第2节,要求学生会用代入消元法和加减消元法解简单的二元一次方程组,并能根据方程组的特点,灵活选用适当的方法。通过学生探索二元一次方程组的解法,经历把“二元”转化为“一元”的过程,从而初步体验消元的思想,以及化“未知”为“已知”、化复杂问题为简单问题的化归思想。一、解二元一次方程组的基本方法1.代入消元法例1:解方程组:(课本28页例题)x+y=7①3x+y=17②解:由①得y=7-x③把③代入②得3x+7-x=17即x=5将x=5代入③得y=2所以x=5y=22.加减消元法我们来研究课本39页…     

一题多解与善于归纳

一、一题多解解题中,挖掘一道题目的多种解法,能激发学生的学习兴趣,开拓思维空间,培养创新精神。现举例如下:例1:解方程组3(X-1)=Y+55(Y-1)=3(X+5 解法1:(代入消元法)原方程组可化为3X-Y=8①3X-5Y=-20 由①得Y=3X-8③由③代入②得:3X-5(3X-8)=-20∴X=5代入③式得Y=7∴X=5Y= 解法2:(加减消元法)原方程组可化为3X-Y=8①3X-5Y=-20 ①-②得4Y=28Y=7将Y=7代入①得3X-7=8X=5∴X=5Y= 解法3:(整体消元法)原方程组可化为:∴3(X-1)=(Y-1)+6①5(Y-1)=3(X-1)+18 将①代入②,得5(Y-1)=(Y-1)+6+18∴Y-1=6Y=7将Y-1=6代入①,得:…     

话说消元

学完代入消元法和加减消元法后,老师出了这样一道题: 解方程组: 他让同学们八仙过海,各显神通,只要能消元,不论采用什么方法都可以. 首先是张兰眼明手快,一眼发现方程①中y的系数为1,于是抢着发言:“可以用代入法消元,由①,得y=2x 9, ③把③代入②消去y,得3(2x 9-7)=2(x-3),解之,得x=-3,代入③得y=3. ∴. 师:这样消元好!好在能发现y     

解二元一次方程组的技巧

解二元一次方程组的基本方法是代入消元法和加减消元法.同学们在解题时,除熟练运用这两种基本方法外,还应当结合方程组的特征,灵活使用一些巧妙解法,这样不仅可以简化解题过程,提高解题的速度,而且可以养成爱动脑的好习惯.一、整体代入法例1解方程组3x=4y+7,(1)9x-10y=25.(2 简析:由于方程(2)中的9x可化成3×3x,故可视3x为整体,用(1)中的4y+7代换,这样既消去了x,又可避免方程变形之烦.解:将(1)代入(2),得3(4y+7)-10y=25,解之得y=2.将y=2代入(1),得3x=4×2+7,∴x=5.∴原方程组的解是x=5,y=2 二、整体加减法例2解方程组3(x-2y)+4(y+1)=10,…     

消元讨论会

师：我们已经知道,解二元一次方程组的基本思想是消元,即将二元化为一元,但消元的方法是多种多样的．下面请大家把课本翻到第22页,我们以第3（2）题为例,来看看可用哪些常用方法消元．张华：首先,这道题可用代入法消元．原方程组可化为由①可得y＝3x－8．把③代入②,得3x－5（3x－8）＝－20解得x＝5．代入③,得y＝7．李峰：这道题也可以用加减法消元．将张华同学化简后的方程组①－②,得。＝28…．y＝7．代人①得x＝5．“y“I·师：很好！代人法和加减法是解一次方程组的常用方法．在熟练掌握这两种方法的基础上,若能从题目本身…     

活代入巧消元

代入消元法是解方程组最基本的方法,但在解方程组时需要根据方程组的特点灵活运用.下面介绍几种代入法.一、直接代入法若方程组中两个方程同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍,就可以直接代入消元.例1解方程组3x-y=2,⑴3x=11-2y.⑵解:把(2)直接代入(1)得11-2y-y=2,解得y=3,把y=3代入⑵得x=53,∴方程组的解是x=35,y=3例2解方程组2s 3t=-1,⑴4s-9t=8.⑵解:由(1)得2s=-3t-1,(3)把(3)代入(2)得,2(-3t-1)-9t=8,解得t=-23.把t=-23代入(3)得s=21,∴方程组的解是s=12,t=-23二、变换代入法若方程组中的方程不具备直接代入的条件时,可换某一方程…     

用代入消元法解二元二次方程组的增解问题浅析

初中《代数》第三册,在解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组时,采用了代入消元法。课本和教学参考书都指出:代入消元后,必须把解得的一个未知数的值代入二元一次方程来求另外一个未知数的值;否则会破坏方程组的同解性。也就是说,若把解得的一个未知数的值代入二元二次方程求解,会导致原方程组产生增解。对此,本文作如下剖析。 如所周知,代入消元法的首次出现,是在解二元一次方程组里。教学参考书在论述解方程组的依据时说:“用代入消元法解方程组所进行的变形是同解变形。”例如,方程组{2x-7y=8 3x-8y-10=0与方程组{x=8 7y/2 3(8 7y)/2-8y-10y=0或方程组{3x-8y-10=0 3(8 7y)/2-8y-10y=0同解的。代入消元法既然是一种同解变形,且在代入二元二次方程后的计算过程中,既没有“方程两边同乘以一个整式”,也没有“两边平方或开方”,那么,增解从何而来呢?首先,从方程组的同解原理来分析:     

一道方程组解答的应用

题: 解方程组分析:对于本题,常常先把(1)整理为5x-3y=-11,再将其与(2)联系起来,用代入消元法或加减消元法解答.如此进行,比较繁琐.注意到(1)以比例形式给出,若设其比值为k,有x=3k-1,y=5k+2.把它们代入(2),得3(3k-1)-2(5k+2)=-8,这是一个关于k的一元一次方程,求出k后,x、y的值垂手可知.     

解二元一次方程组的方法与技巧

解二元一次方程组的关键是“消元”,其基本解法有代入消元法和加减消元法.这两种方法,都是从“消元”这个基本思想出发,先把“二元一次”转化为“一元一次”,再用一元一次方程的解法求出未知数的值.“消元”思想体现数学中“化未知为已知”和“化复杂为简单”的化归思想.消元法的应用极为广泛,应熟练掌握消元法的技巧.当然,对于不同类型的数学题,消元法的技巧也不相同.下面举例说明.1.代入消元法例1(2005年北京市海淀区中考题)解方程组:2xx-+4yy==1-61.,②①解由①,得x=4y-1.③把③代入②,得2(4y-1)+y=16.解得y=2.把y=2代入③,得x=7.∴原方…     

解一次方程组的常见方法与技巧

一次方程组是进一步学习方程组的基础 ,在中考和一些数学竞赛试题中 ,经常以其解法独特、构思巧妙的形式出现 .对于一些复杂的方程组 (如未知数系数较大、方程个数较多等 ) ,除了掌握代入消元法和加减消元法外 ,还应根据方程组的具体结构特征 ,灵活选用一些特殊的方法和技巧 ,巧妙消元 ,简化解题过程 ,达到化难为易 ,化繁为简 ,化未知为已知的目的 .举例如下 :一、整体代入法例 1　解方程组2 x +3( 5x +7y) =4　 ( 1)12 ( 5x +7y) =1　　 ( 2 )分析 :方程 ( 1)与 ( 2 )中都含有 5x +7y的项 ,可把它看作“整体”,由 ( 2 )求出 5x +7y的值 ,代…     

二元(或三元)一次方程组的解法

解二元 (或三元 )一次方程组除教材中介绍的代入消元法和加减消元法两种基本解法外 ,为了开阔同学们的视野 ,提高解题能力 ,本文补充几种解法 ,供参考。一、整体代入法———当方程组中某个未知数的系数成整数倍时 .例 1　解方程组 2ｘ +5 ｙ =- 2 1　①ｘ +3ｙ =8　　　②解 :由①得 2 (ｘ +3ｙ) -ｙ =- 2 1　③ ,把②代入③得 16 - ｙ =2 1,ｙ =37,把 ｙ =37代入②解得ｘ =- 10 3,∴ ｘ =- 10 3ｙ =37二、消常数项法———当方程组中的常数项成整数倍时 .例 2　解方程组4ｘ +3ｙ =10　　①9ｘ - 7ｙ =- 5　　②解 :① +②× 2得2 2ｘ - 11…     

明确目标正确消元

解二元一次方程组 ,目标是求出方程组的解 .实现这一目标的基本思想是“消元”,初学解方程组 ,往往不能正确运用“代入法”和“加减法”消元而导致错误 .例 1　解方程组 x+ 5y=6 ,　 13x- 6 y=4 .　 2错解 :由 1,得 x=6 - 5y.　　 3把 3代入 1,得 6 - 5y+ 5y=6 .∴ 6 =6 .故方程组无解 .剖析 :为什么会出现 6 =6呢 ?原因就在于由方程 1得到了方程 3,却又把 3代回了 1,犯了循环代入的错误 .解方程组时 ,必须用上每一个方程 .如本题在由 1得到 3后 ,只能把3代入 2 ,而不能再代入 1.正解 :由 1,得 x=6 - 5y.3把 3代入 2 ,得 3( 6 - 5y) - 6 y=4…     

用“代入消元法”解二元一次方程组解法探索

<正>学会运用“代入消元法”是解二元一次方程组的关键一步,在实际运用中可以事半功倍.下面我们就来探索如何用“代入消元法”解二元一次方程组,为今后同学们学好数学打下坚实基础.一、由浅入深易于理解、掌握、运用代入消元法解方程组例1.已知二元一次方程2x-3y=-8,当y=4时,求x的值.     

解二元二次方程组怎么会产生客解?

二元二次方程组的教学中,在学生的作业里往往会出现产生客解的情况。如初中代数第三册习题九1(1)题,解方程组: {x y 1=0 ① x~2 4y~2=8 ②′ [解] 由① x=-(y 1) ①′把①′代入② (y 1)~2 4y~2=8,即 5y~2 2y-7=0, ∴ y=1,y=-7/5。把y=1代入②得x=±2; 把y=-7/5代入②得x=±2/5。     

二元一次方程组还可以这样解

解二元一次方程组的基本思路是通过消元,将解二元一次方程组转为解一元一次方程.代入法和加减法是两种最基本的方法.除此之外,你是否见识过下面的方法: 一、等式性质法 这种方法是指利用等式的性质,将已知方程组变成{mx=ay+bmx=cy=d,或{my=ax+b myxx=d,的形式,从而消去x或y,得到一个仅关于y或x的一元一次方程. 例1 解方程组{4x+3y=8 ① 3x-y=6 ②, 解析:将y的系数变成my的形式, 由①得3y =8-4x.③ 由②得3y=9x-18.④ 由③、④得8-4x=9x-18. 解之,x=2.从而,y=0.     

“机械化”解二元一次方程组

看到本文标题 ,你也许很吃惊 :还有用“机械”解方程组的方法吗 ?当然 ,这里的“机械化”不是这个意思 ,为解开这个疑问 ,我们一起先解几个二元一次方程组吧 .例 1　解下列方程组 :( 1) 3x-2 y=7,5x +4 y=19;①②( 2 ) 2 y=3x -7,5x+4 y=19;③④( 3 )3 (x -1) =2 ( y+2 ) ,x4+y5=192 0 .⑤⑥分析　对于方程组 ( 1) ,由 ①× 2 +②得　　　　　　　　 11x =3 3 ,x=3 .把x=3代入②得y=1.对于方程组 ( 2 ) ,可由④ -③ × 2得5x =19-2 ( 3x-7) ,11x=3 3 ,x=3 .代入③得 y =1.也可将③移项 ,化成 3x -2 y=7.　⑦⑦式与④式联立 ,就是方程组 ( 1)…     

解一元方程的一种方法——增元法

解多元方程组时,有一个大家熟知的消元法,即将多元转化为一元。本文介绍一种化一元为二元(或三元),从而改变解方程途径的方法——增元法,对于相当一类方程,特别是竞赛中出现的技巧性强、难度较大的一类方程,用此法时往往会奏效。下面举例说明之。例1 解方程x=(x~2-2)~2-2。若将右端展开变成一个四次方程,虽可解出,但解法麻烦。若设y=x~2-2,则原方程化为x=y~2-2未知数x,y受以上两个方程约束,故得方 x=y~2-2(1)程组: y=x~2-2,(2) 用代入法解此方程组是不适当的,因为(2)代入(1)的结果又得原方程。为此,改变解方程组的方法,用加减法解方程组:(1)-(2)得,x-y=y~2-x~2,即x=y或x+y=-1,方程化为:     

解二元一次方程组的方法与技巧

一、整体代入法 例1 解方程组{3（x-1）=y＋5,5（y-1）=3（x＋5）. 解①变形为3（x＋5）=y＋23后代入②,得5（y-1）=y＋23,     

第二十一届俄罗斯中学生数学奥林匹克试题与解答(续)

十年级 1.求方程组{xy z=94,x yz=95}的整数解.解 x=95,y=0,z=94或x=31,y=2,z=32. 第二个方程减第一方程,得 (x-z)(1-y)=1。依题意,x,y,z应为整数,故仅有两种情形: 1)x-y=1,1-y=1,于是y=0,代入方程组得x=94,x=95。