我省初中会考题中函数试题的分析

我省初中会考试题中 ,函数内容占比较重要的地位 ,本文对近几年有关试题归纳分析 ,以指导初三会考复习。中学数学教材中 ,一次函数的图象和性质的难度不大 ,学生易于接受。但是由于简单的初等函数 ,学生在以后的学习中经常用到 ,特别是一次函数 ,教师在教学中应予以足够重视。学生学习二次函数有一定难度 ,教师在讲解函数 ｙ＝ａｘ２ +ｂｘ +ｃ（ａ≠０）的图象和性质时 ,应使学生清楚地理解它的图象是有对称轴和顶点的抛物线。现行教材是按ｙ＝ａｘ２→ｙ＝ａｘ２ +ｎ→ｙ＝ａ（ｘ +ｍ）２ +ｎ的顺序研究二次函数的图象和性质 ,还安排在同…     

关于一元二次方程与二次函数的对话

学生　老师 ,我们刚刚学过一元二次方程 ,它的一般形式是ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 ) .现在又学了二次函数 ,它的一般式是ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 ) .一个方程式 ,一个函数式 ,这两者之间是不是有某种联系 ?老师　是的 .一元二次方程与二次函数之间的关系是十分密切的 .不过这个问题课本中没有专门研究 .现在 ,请你想一想 ,ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )和ｙ =ａｘ2 +ｂｘ+ｃ(ａ≠ 0 )这两个式子最基本的关系是什么 ?学生　 (想了一想 )当ｙ =0时 ,二次函数式ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )就变成了一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ…     

二次函数与一元二次方程关系的应用

知识链接二次函数ｙ=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )与一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ+ｃ =0 (ａ≠ 0 )的关系是 :二次函数ｙ =ａｘ2 +ｂｘ+ｃ(ａ≠ 0 )的图象与ｘ轴交点的横坐标是一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的根 ;反之 ,一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ+ｃ=0 (ａ≠ 0 )的根是二次函数ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )的图象与ｘ轴交点的横坐标 .一、判断二次函数图象与ｘ轴的交点情况例 1　已知抛物线ｙ =ｘ2 - (2ｍ - 1)ｘ +ｍ2 -ｍ- 2 .(1)证明抛物线与ｘ轴有两个不同的交点 .(2 )分别求出抛物线与ｘ轴的交点Ａ、Ｂ的横坐标ｘＡ、ｘＢ及与ｙ轴…     

巧设待定系数求二次函数的解析式

一、用一般式确定二次函数的解析式　　如果已知二次函数的图象经过三点 ,则可用一般式 ｙ=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ建立方程组 ,求出ａ、ｂ、ｃ的值 ,从而写出解析式。　　〔例 1〕已知二次函数的图象经过点Ａ( 1,-1) ,Ｂ( 2 ,4) ,Ｃ( -1,-5 ) ,求此函数的解析式。　　解 :设此函数的解析式为 ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ,由已知得 :　　ａ +ｂ+ｃ =-14ａ +2ｂ +ｃ=4ａ -ｂ+ｃ =-5　解这个方程组得ａ =1ｂ =2ｃ=-4　　∴此函数的解析式为 ｙ =ｘ2 +2ｘ -4　　二、用顶点式确定二次函数的解析式　　如果已知二次函数的顶点坐标和图象上的另一点 ,则可用顶点…     

对逆二次函数的探讨

定义 :ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ…… (1)与 ｙ =ｃｘ2 +ｂｘ +ａ…… (2 )称为对逆二次函数。其中ａ≠ｃ ,ａｃ≠ 0。性质 :1、它们有共同的定义域 ,有共同的判别式△ =ｂ2 - 4ａｃ ,当ａ、ｃ同号时 ,其图象的开口方向相同 ,当ａ、ｃ异号时 ,其图象的开口方向相反。2、当ｂ =0时 ,函数 ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ与 ｙ =ｃｘ2 +ｂｘ +ａ都是偶函数。当ｂ≠ 0时 ,都是非奇非偶函数。3、ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ当ａ >0时 ,在区间 (-∞ ,- ｂ2ａ]上是减函数 ,在区间 [- ｂ2ａ,+∞ )上是增函数 ,当ａ <0时则反之。ｙ =ｃｘ2 +ｂｘ +ａ当ｃ <0时 ,在区间 (-∞ …     

在求函数值域的教学中引发学生创新

求函数的值域是研究函数的重要内容 ,但由于其题型多 ,解法杂 ,因而成了学生学习的一大难点。为了化解这一难点 ,笔者在教学中启发学生探索出一种求函数值域的通法。在这个过程中 ,激发了学生的创新意识 ,调动了学生学习的积极性和主动性。首先 ,我让学生从一个简单问题入手 ,即用“判别式法”求二次函数 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ(ａ >0或ａ <0 )的值域。为此 ,将函数解析式看作关于ｘ的方程 ,并变形为ａｘ2 ｂｘ ｃ-ｙ=0。学生发现 :由该方程有实数解的条件Δ =ｂ2 -4ａ(ｃ -ｙ)≥ 0 ,所得 ｙ的取值范围正好就是原已熟知的二次函数的值域 ,而…     

有关二次函数、反比例函数中考题选登

一、填空题1 用配方法将二次函数ｙ=4ｘ2 -2 4ｘ+ 2 6写成ｙ=ａ(ｘ-ｈ) 2 +ｋ的形式是 .(河南省 )2 抛物线ｙ=(ｘ-1 ) 2 -7的对称轴是直线ｘ =. (浙江省绍兴市 )3 抛物线ｙ=ｘ2 -2ａｘ+ａ2 的顶点在直线ｙ=2上 ,则ａ的值是 .(浙江省绍兴市 )图 14 已知二次函数ｙ =ｘ2 + (ａ -ｂ)ｘ +ｂ的图象如图 1所示 ,那么化简ａ2 -2ａｂ+ｂ2 + |ｂ|ａ 的结果是 . (辽宁省大连市 )5 二次函数ｙ=2 (ｘ-2 ) 2 -7的顶点为Ｃ ,已知函数ｙ =-ｋｘ -3的图象经过点Ｃ ,则其与两坐标轴所围成的三角形面积为 . (浙江省台州市 )6 对于函数ｙ =-5ｘ,当ｘ >0时 ,…     

二次数顶点式的几个功能

知识链接　　二次函数的一般式ｙ=ａｘ2 +ｂｘ+ｃ(ａ≠ 0 )经配方可化为ｙ =ａｘ+ｂ2ａ2 +4ａｃ-ｂ24ａ .若设ｈ =- ｂ2ａ,ｋ=4ａｃ-ｂ24ａ ,则上式可化简为ｙ=ａ(ｘ-ｈ) 2 +ｋ .由于从这个式子直接可知二次函数图象的顶点坐标为 (ｈ,ｋ) ,因而被形象地称为二次函数的顶点式 .功能之一　能清楚地显示出二次函数的主要性质将一般式化为顶点式之后 ,从三个常数ａ、ｈ、ｋ,能直接看出下列性质 (如图 1) .图 11 开口方向 :ａ >0 ,开口向上 ;ａ <0 ,开口向下 .2 对称轴 :直线ｘ =ｈ .3 顶点坐标 :(ｈ ,ｋ) .4 最值 :当ａ >0 ,ｘ =ｈ时 ,ｙ有最小…     

谈二次函数的再学习

学生在初中阶段初步学习了二次函数 ,在高中阶段还要进一步学习 .二次函数是中学数学的一个重要内容 .它最具代表性 ,其图象和性质在解二次方程、解二次不等式、判断函数的单调性等方面有着广泛的应用 .自 1993年以来 ,它也成了高考命题的热点内容 .因此 ,搞好二次函数的再学习是十分必要的 .为此 ,笔者拟从引进符号 ｆ(ｘ)和平移的概念入手 ,谈谈搞好二次函数的再学习还需掌握哪些知识和方法 .1.对于二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 ｂｘ ｃ:( 1)若 ｆ(ｘ1 ) =ｆ(ｘ2 ) ,则ｘ =12 (ｘ1 ｘ2 )为其图象的对称轴方程 ;反之 ,若二次函数的图象的对称…     

二次函数图象信息题的解法

二次函数图象信息题 ,是已知抛物线在直角坐标系的位置信息 (包括开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点等 )来确定其解析式系数及其相关问题的一种题型 .这种题型 ,简称图象题 .解决这类问题需要运用数形结合的思想方法 ,注意分析 ,抓住规律 .由二次函数ｙ=ａｘ2 +ｂｘ+ｃ(ａ≠ 0 )的图象位置判定系数ａ、ｂ、ｃ及一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ+ｃ=0的判别式Δ =ｂ2 -4ａｃ等的符号的方法 ,可以归纳成下表 :判别内容判别方法判别细则ａ的符号由开口方向决定开口向上 ａ >0 ,开口向下 ａ<0ｂ的符号 由对称轴位置和开口方向共同决定对称轴在ｙ轴左…     

利用对称性巧求二次函数解析式

轴对称性是二次函数图像的一个重要性质 ,运用它求二次函数的解析式 ,能收到事半功倍的效果 ,现举例说明 ,希望同学们能从中得到一定的启发。例 1　一条抛物线ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ经过点 ( 0 ,0 )与 ( 1 2 ,0 ) ,最高点的纵坐标是 3,求这条抛物线的解析式。分析 :此题若将点 ( 0 ,0 ) ,( 1 2 ,0 )代入解析式 ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ,由最高点纵坐标 3,得4ａｃ-ｂ24ａ =3,组成议程组解之并非省事。反之由抛物线的轴对称性 ,并注意到抛物线过 ( 0 ,0 )和 ( 1 2 ,0 ) ,可知抛物线的对称轴为直结ｘ =6,从而得到其顶点为 ( 6,3) ,故抛物线解析式为 …     

回音壁

编辑部的叔叔阿姨 :你们好 !在学习了一元二次方程以后 ,我遇到一个问题 .请你们帮助解答 .谢谢 !已知ｘ1、ｘ2 是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ >0 )的两个根 ,且 0 <ｘ1<1 ,1 <ｘ2 <2 .求证 :ａ+ｂ +ｃ <0 .内蒙古　李贤李贤同学 :图 1这个问题用一元二次方程的知识来解的确很难 .现在 ,学了函数的知识以后 ,再解这个问题就简单多了 .设ｙ=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ >0 ) ,由已知条件可知 ,这个二次函数的图象如图 1所示 .观察图象 ,当ｘ =1时 ,对应的点在ｘ轴下方 ,所以 ,当ｘ =1时 ,ｙ =ａ +ｂ +ｃ<0 .解答过程涉及了二次函数与一元二次方程的关…     

抛物线对称性的灵活应用

学习了二次函数及其图象后 ,同学们都知道 ,抛物线ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ是轴对称图形 ,它的对称轴是直线ｘ =-ｂ2ａ,抛物线的顶点在对称轴上 .解决有关二次函数的问题时 ,若能充分应用抛物线的对称性 ,则可给出特别简捷的解法 .例 1　已知抛物线的对称轴为ｘ =-2 ,抛物线与ｘ轴两交点间的距离为 2 ,交ｙ轴于点(0 ,2 ) ,求此抛物线的解析式 .(1 997年江苏省苏州市中考题 )分析　设抛物线的解析式为ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ,按照常规解法 ,需要解关于ａ、ｂ、ｃ的三元二次方程组 ,从而求得ａ、ｂ、ｃ的值 .这种解法 ,运算过程是相当繁杂的 .若利用抛…     

例谈用待定系数法求二次函数解析式

待定系数法是一种重要的数学思想方法 .利用待定系数法求二次函数的解析式 ,是历年中考的一个重要考点 .本文以近年中考试题为例 ,说明如何应用待定系数法求二次函数的解析式 .一、已知函数图象上三点的坐标当已知二次函数图象上三点的坐标时 ,可设其解析式为ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ,将三点坐标分别代入解析式 ,得到关于ａ、ｂ、ｃ的三元一次方程组 ,解方程组求出ａ、ｂ、ｃ的值即得解析式 .例 1　已知一个二次函数的图象经过(1 ,-1 )、(0 ,1 )、(-1 ,1 3)三点 ,求这个二次函数的解析式 . (1 999年河南省中考题 )解　设二次函数的解析式为ｙ =…     

二次函数在高考中的题型综述

二次函数是中学数学的重点内容之一 ,历年的高考对二次函数的有关知识均进行考查 ,如 :解析式、最值、单调性、奇偶性、对称性、图像、二次不等式等。结合近几年有关二次函数的试题进行归类 ,以揭示二次函数的解题规律。1　解析式二次函数的解析式有三种形式 :( 1)一般式 :ｙ =ａｘ2 +ｂｘ+ +ｃ(ａ≠ 0 )( 2 )顶点式 :ｙ =ａ(ｘ+ｋ) 2 +ｈ(ａ≠ 0 )其中 ( -ｋ,ｈ)为顶点。( 3)交点式 :ｙ=ａ(ｘ -ｘ1) (ｘ-ｘ2 ) (ａ≠ 0 )其中 (ｘ1,0 ) (ｘ2 ,0 )为抛物线与ｘ轴的交点。在上述三种形式中 ,均有三个常数 ,但在各种形式中又各有侧重 ,在一定的…     

用判别式法解题的注意点

判别式Δ=ｂ2 -4ａｃ的代数涵义是判别一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ+ｃ =0有无实根 .随着对二次函数 ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ的图象和性质研究 ,判别式的几何涵义表现为判断抛物线与ｘ轴有无交点 .作为一种重要的数学方法 ,若能正确巧妙地运用判别式法 ,就能给人们一种简单明快、耳目一新的感觉 ,但是 ,若不能正确地把握好使用判别式法解题的条件和本质特征 ,就会造成错误 .因此 ,对如何使用判别式法解题的有关问题 ,必须引起我们注意 .一、注意使用判别式法解题的条件例 1　当实数ｔ为何值时 ,方程ｘ2 + (ｔ+2ｉ)ｘ+ (2 +ｔｉ) =0至少有一个实根 ?…     

有关二次函数值域的一个结论及应用

定理　二次函数 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ的值域是[0 , ∞ )的充要条件是ａ>0且ｂ2 - 4ａｃ=0 .证明　因为 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ =ａ(ｘ ｂ2ａ) 2 4ａｃ-ｂ24ａ ,ｘ∈Ｒ ,所以二次函数ｙ=ａｘ2 ｂｘ ｃ的值域是 [0 , ∞ ) ｙ的最小值是 0 ,无最大值 ａ>0且ｂ2 - 4ａｃ=0 .下面举例说明定理的应用 .例 1　已知 ｆ(ｘ) =2ｘ2 ｂｘ ｃｘ2 1(ｂ <0 )的值域为[1,3] ,求实数ｂ,ｃ的值 .解　ｆ(ｘ)的定义域为Ｒ .由 1≤2ｘ2 ｂｘ ｃｘ2 1≤ 3,得ｘ2 ｂｘ ｃ- 1≥0且ｘ2 -ｂｘ 3-ｃ≥ 0 .所以 ｆ(ｘ)的值域为 [1,3] ｙ1=ｘ2 ｂｘ ｃ- 1和 …     

二次函数问题常见错解剖析

一、忽视二次项系数ａ≠ 0所造成的错解例 1　已知二次函数ｙ =ｋｘ2 - 7ｘ - 7的图象和ｘ轴有交点 ,则ｋ的取值范围是 (　　 ) .(Ａ)ｋ >- 74 　　 (Ｂ)ｋ≥ - 74 且ｋ≠ 0(Ｃ)ｋ≥ - 74 (Ｄ)ｋ >- 74 且ｋ≠ 0(2 0 0 0年山西省中考题 )　错解　由题意 ,得Δ =(- 7) 2 - 4ｋ·(- 7)≥0 .解得ｋ≥ - 74 .所以选 (Ｃ) .剖析　当ｋ =0时 ,原函数不是二次函数 ,所以ｋ≠ 0 .故应选 (Ｂ) .例 2　已知二次函数ｙ =ａｘ2 +ａｘ +ａ - 1的最小值是 2 .求ａ的值 .　错解　由题意 ,得4ａ(ａ - 1) -ａ24ａ =2 .整理 ,得ａ2 - 4ａ =0 .解得ａ =0或ａ =4…     

应用二次函数解最值问题

知识链接　　二次函数ｙ=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )的顶点坐标是- ｂ2ａ,4ａｃ-ｂ24ａ .所以 ,当ａ <0 ,ｘ =- ｂ2ａ时 ,二次函数有最大值ｙ =4ａｃ-ｂ24ａ ;当ａ >0 ,ｘ =- ｂ2ａ时 ,二次函数有最小值ｙ =4ａｃ-ｂ24ａ .例 1　用长 8ｍ的铝合金条制成如图 1形状的矩形窗框 ,使窗户的透光面积最大 ,那么这个最大透光面积是 (　　 ) .(Ａ) 6 42 5 ｍ2 　 (Ｂ) 43ｍ2 　 (Ｃ) 83ｍ2 　 (Ｄ) 4ｍ2(2 0 0 1年浙江省金华市中考题 )　解　设窗户的宽为ｘｍ ,高为ｙｍ ,则 3ｘ+2ｙ=8.∴　ｙ =4- 32 ｘ .设透光面积为Ｓｍ2 ,则Ｓ =ｘｙ=ｘ 4- 32 ｘ …     

例析教师教学用书中习题解答的失误

人民教育出版社中学教学室编著的《全日制普通高级中学教科书 (试验修订本 ·必修》数学第二册(上 )》的教师教学用书 ,是广大中学数学教师的重要工具书 ,可笔者在使用该书的过程中 ,发现有的习题的解答欠妥 ,现例举之以与作者及读者共同商讨 .例 1　方程ｘ2 + ｙ2 + 2ａｘ-ｂ =0表示什么图形 (教科书Ｐ79页练习第 1题 ( 3)题 )教师教学用书Ｐ50 页 ,给出的答案是以 ( -ａ ,0 )为圆心 ,ａ2 +ｂ2 为半径的圆 .剖析 :　笔者认为此答案欠妥 ,因为ｘ2 +ｙ2 +2ａｘ -ｂ =0 ,配方可化为 (ｘ+ａ) 2 + ｙ2 =ａ2 +ｂ2 ,而ａ2 +ｂ2 ≥ 0 ,当ａ2 +ｂ2 =…