不等式a_1~2+a_2~2+…+a_n~2/n≥(a_1+a_2+…+a_n)~2/n的证明

本刊1983年第二期《不等式(a~2+b~2)/2≥((a+b)/2)~2的推广与应用》一文证明了下面命题: 若a_1,a_2,…,a_n都是实数(n属于自然数),则有     

成人数学课教学几个值得注意的问题

<正> 1.要注意层层深入要依据成人学员基础差,但分析能力强的特点,在讲课开始时,起点要低些,然后再层层深入,方可取得好的教学效果。如证明不等式(a_1~m+a_2~m+…a_n~m)/n≥((a_1+a_2+…+a_n)/n)~m,可先从(a~2+b~2)/2≥((a+b)/2)~2证起,然后横向推广,证(a~2+b~2+c~2)/3≥((a+b+c)/3)~2,(a~2+b~2+c~2+d~2)/4≥((a+b+c+d)/4)~2,……,直到证得(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)/n≥((a_1+a_2+…+a_n)/n)~2。再引导学生向纵向推广,证明(a~3+b~3)/2≥((a+b)/2)~3,(a~4+b~4)/2≥((a+b)/2)~4……,(a~n+b~n)/2≥     

从x~2≥0到平均不等式

1从实数的性质说起由于实数有“大小可比性”,因此才有关于实数的“不等式”.由于实数的平方有“不负性”,因此才有了正数的“平均不等式”.设x∈R,则有x~2≥0,令x=a-b,则有(a-b)2≥0a~2 b~2≥2ab,用a替代a~2,用b替代b~2,则有a b≥2ab,于是得到(a b)/2≥ab(a=b时等号成立).这就是著名的平均不等式:2个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.显然,要证明这个不等式的正确性,可用配方法回到“实数平方的不负性”上.证明因为a2 b-ab=a-22ab b=12(a-b)2≥0a 2b≥ab.图解在平均不等式a2 b≥ab中,视a2 b和ab分别为2条线段长,可以解释它们之间的…     

基本不等式的证明及其一些性质

设a>0,b>0,那么2/(1/a+1/b),(ab)(1/2),(a+b)/2,((a~2+b~2)/2)/(1/2)分别叫做a,b的调和平均数、几何平均数、算术平均数及平方平均数,我们可以得到下列不等式(2/(1/(a~2)+1/(b~2)))(1/2)≤2/(1/a+1/b)≤(ab)(1/2)≤(a+b)/2≤((a~2+b~2)/2)(1/2)≤(a~2+b~2)/(a+b).     

浅谈(a~2+b~2)/2≥[(a+b)/2]~2的证明

(a2+b2)/2≥((a+b)/2)~2(人教版第二册第11页第1题)是一个很重要的不等式,证明它有很多方法,用它可以求某些式子的最值,并且可以证明一些不等式,下面给出几种有关它的证明方法以及它的一些应用.     

一个简单不等式的应用

我们知道,对于任意两个正实数a、b恒有不等式:a~(a-b)≥b~(a-b)(※)成立。本文利用这一不等式给出几个难度较大的不等式的简洁证明。例1 已知a、b、c∈R~+,求证: a~(2a)b~(2b)c~(2c)≥a~(b+c)·b~(a+c)·c~(a+b)(1978年上海市中学数学竞赛试题) 证明由(※)得 a~(a-b)≥b~(a-b),b~(b-a)≥c~(b-c),c~(c-a)≥a~(c-a)。以上不等式两边分别相乘得 a~(a-b)·b~(b-c)·c~(c-a)≥b~(a-b)·c~(b-c)·a~(c-a)。整理得:a~(2a)·b~(2b)·c~(2c)≥a~(b+c)·b~(a+c)·c~(a+b) 例2 设a、b、c∈R~+.求证: a~ab~bc~c≥(abc)(a+b+c)/3(1974年美国第三届奥林匹克竞赛试题)。证明由例1知     

勾股不等式的应用

本文介绍的勾股不等式的证明很简单,它在应用中却很方便。命题若a≥0,b≥0,c≥0,且a~2+b~2=c~2,则 a+b≤2~(1/2)c (1) 当且仅当a=b时取等号。证明据题设,利用a~2+b~2≥2ab,得 (a+b)~2=a~2+b~2+2ab≤2(a~2+b~2)=2c~2 ∴ a+b≤2~(1/2)c 显然,当且仅当a=b时等号成立。(证毕) 当a,b,c均为正实数时,由a~2+b~2=c~2知a,b,c组成一个直角三角形的三边,故称(1)为勾股不等式。     

一道颇具思考的习题

中师数学课本《代数初等函数》第一册 P_(276)15题:已知 a>0,b>0,a b=20,问 a、b 为何值时,a~2 b~2最小?此题可用均值不等式求解如下:∵a~2 b~2≥2ab.∴2(a~2 b~2)≥a~2 b~2 2ab=(a b)~2.∴a~2 b~2≥((a b)~2)/2=200.当且仅当 a=b 时取“=”.∴a=b=10时,a~2 b~2取最小值200.然而,笔者发现,用柯西不等式解这个题将更简捷,     

一道竞赛题的改进与巧证

第十三届(1953牛)普特南数学竞赛有这样一道试题: 设实数a,b,c中任意两个之和大于第三个,求证 2/3(a+b+c)(a~2+b~2+c~2) >a~3+b~3+c~3+abc. (1) 事实上,我们有命题设实数a,b,c中任意两个之和大于第二个,则 2/3(a+b+c)(a~2+b~2+c~2) ≥a~3+b~3+c~3+3abc. (2)当且仅当a=b=c时等号成立. 证明:不难验证,(2)式等价于 (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)     

一个不等式的再讨论

文[1]建立了如下的不等式定理([1])若a,b是正数,则(ab)~(1/2) 1/2|a-b|≥(a b)/2≥((a~2 b~2)/2)~(1/2)-(2~(1/2)-1)/2 |a-b|(1),并提出了如下的猜测若a,b是正数,则(ab)~(1/2)≥((a~2 b~2)/2)~(1/2)-(2~(1/2)-1)/2|a-b|(2)本文指出猜测(2)是不成立的,并用直观的     

asinx+bcosx=c的判别式及其应用

已知方程 asinx+bcosx=c。①其中a、b、c都是给定的实数,且a、b不同时为零,x∈[x_0,x_0+2π),x_0是任一固定常数。设△=a~2+b~2-c~2,则当△>0时,方程①有两个不相等的实数根; 当△=0时,方程①有两个相等的实数根; 当△<0时,方程①没有实数根; 证明∵a、b不同时为零, ∴(a~2+b~2)~(1/2)≠0。∴sin(x+φ)=C/((a~2+b~2)~(1/2))。②(其中φ是辅助角,a≠0时,tgφ=b/a;b≠0     

一个不等式的推广及应用

《苏教版·普通高中课程标准实验教科书·选修4～5(不等式选讲)》课本第20页有一道习题:设a≠b,求证:a~4 b~4>a~3b ab~3.证明:对任意不相等的实数a、b,总有:(a~4 b~4)-(a~3b ab~3) =(a-b)~2[(a b/2)~2 3/4b~2]>0.注意到原题的不等式两边是齐次式,我们可以从项数和指数两个方面进行推广.     

三元均值不等式的面积证法

初等数学中有一个重要的不等式:当a、b、c均为正实数时,(a b c)/3≥(abc)~(1/3).即三个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数。     

一道课本题与一道俄罗斯MO题(高一、高二、高三)

第21届俄罗斯M()题中有如下一道题:对于任何实数x,y,求证: 2.x4+2y4≥xy(x+y)2我对此题有一个巧妙证法.证明由高中《代数》课本知道当a,b是任意实数时,有 (a2+b2)/2≥((a+b)/2)2 ① a2代换a,b2代换b,得(a1-b1)/2≥((a2+b2)/2)2 ②     

一道常见不等式的证明

题目:已知a、b∈R~ 且a b=1,求证(d 1/a)(b 1/b)≥(25)/4.本文给出该不等式的5种证明.证法1:(分析法)欲证原不等式成立,只需证4(a~2 1)(b~2 1)≥25ab4a~2b~2 4a~2 4b~2 4≥25ab4a~2b~2 4(a b)~2-8ab 4≥25ab4a~2b~2-33ab 8≥0(ab-8)(4ab-1)≥0     

三个平均不等式的应用

首先,我们规定:a、b、c为正数。 (a~2+b~2+c~2)/3~(1/2)表示三个正数的幂平均;(a+b+c)/3表示三个正数的算术平均;(abc)~(1/3)表示三个正数的几何平均。有(等号当且仅当a=b=c时成立)不等式②是高中三册P62定理2的推     

巧用公式(a+b)~2-(a-b)~2=4ab解竞赛题

由完全平方公式(a+b)~2=a~2+2ab+b~2,(a-6)~2=a~2-2ab+b~2即可得到公式 (a+b)~2-(a-b)~2=4ab.(※) (※)式和谐、对称、易于记忆.(※)式在初中数学中的应用十分广泛.下面用(※)式解一些初一同学能解的竞赛题.     

关于a+b+c=0的一组优美结论

a+b+c=0(a,b,c∈R),有许多简捷、优美的结论,且有着广泛的用途.结论1 若 a+b+c=0,则 b~2≥4ac 或a~2≥4bc 或c~2≥4ab.证明:因为 a+b+c=0,所以 b=-(a+c),b~2=(a+c)~2=a~2+c~2+2ac≥2ac+2ac=4ac,即 b~2≥4ac.同理可得,a~2≥4bc,c~2≥4ab.结论2 若 a+b+c=0,则 a~3+b~3+c~3=3abc.证明:因为 a+b+c=0,所以 a+b=-c,(a+b)~3=-c~3,即 a~3+3a~2b+3ab~2+b~3+c~3=0,也即 a~3+3ab·(a+b)+b~3+c~3=0,又 a+b=-c,所以 a~3+b~3+c~3     

完全平方公式的三种变形及其应用

正公式(a+b)~2=a~2+2ab+b~2和(a-b)~2=a~2-2ab+b~2统称为完全平方公式.熟练地掌握了这两个公式的应用后,在学习中,还应注意它们的三种变形及其应用.一、逆向变形a~2+2ab+b~2=(a+b)~2,a~2-2ab+b~2=(a-b)~2.例1计算999×999+1999.     

平均值间的间隙有多大

对于两正实数a,b,几个平均值之间存在下面的不等关系: ((a~2 b~2)/2)~(1/2)≥(a b)/2≥(ab)~(1/2)≥(2ab)/(a b)式中当且仅当a=b时等号成立.那么它们之间的间隙淮大谁小呢?我们可得到如下不等式: