用“判别式法”求函数y=mx±sqr(ax~2+bx+c)的值域

用“判别式法”求函数ｙ＝ｍｘ±ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的值域□武山水泥厂中学杨允利形如ｙ＝ｍｘ±ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的无理函数，若采用平方取掉根号，再利用判别式△０求ｙ的范围，就会把值域的范围扩大，从而导致错误的结论．例如：求函数ｙ＝ｘ＋４－ｘ２的值域，易得到...     

求形如f（x）=a2x^2＋a1x＋a0／b2x^2＋b1x＋b0函数值域的一种方法

函数的值域求解 ,经典方法是用判别式法 ,其缺点是 ,如果对原函数的定义域做如下限制 ,即ｙ＝ｘ +ａｘ→ +∞．考虑到函数ｙ ＝ｘ +ａｘ是奇函把函数ｙ＝ａ２ｘ２＋ａ１ｘ＋ａ０ｂ２ｘ２＋ｂ１ｘ＋ｂ０ 转化为形如ｙ＝ｘ +ａｘ 与 ｙ＝ｘ - ａｘ 的函数求其值域．Ｘ +１２ｘ 的图象 ,如图（１） ,由其单调性 ,∵Ｘ∈［６ ,７］∴Ｅ∈［８ ,６１７］ .从而得Ｙ∈［７１２,１］ .最后 ,根据求形如f(x)=(a_2x~2+a_1x+a_0)/(b_2x~2+b_1x+b_0)函数值域的一种方法@牛银菊$兰州市四十二中!甘肃兰州730030函数图象分析;;值域求解…     

一类函数的值域、极值和最值

对于实数域上有理分式函数（其中分子、分母互质，ａ与ａ＇不同时为零）本文将给出值域、最值的求法，并给出该函数极值的有关结论。一、用判别式法求（Ｉ）的值域和最值易知对任实数ｙ，（Ｉ）与下式同解（ａ—ａ＇ｙ）ｘ２＋（ｂ—ｂ＇ｙ）ｘ＋（ｃ－ｃ＇ｙ）＝０（ＩＩ）设ｙ是（Ｉ）的值域中一点，则存在实数ｘ使（Ｉ）成立，即（ＩＩ）成立。于是有：△＝（ｂ—ｂ＇ｙ）～２－４（ａ－ａ＇ｙ）（ｃ—ｃ＇ｙ）≥（Ⅲ）反之，若实数ｙ使（Ⅲ）成立，且ｂ—ｂ＇ｙ与ａ－ａ＇ｙ不同时为零，则ｙ在（Ｉ）的值域中。若ａ—ａ＇ｙ＝ｂ－ｂ＇ｙ…     

函数值域的求法

一、观察分析法通过对函数的解析式或对应法则的观察分析求值域．例１求函数ｙ＝３ｘ＋１（ｘ∈Ｒ）的值域解：∵ｘ∈Ｒ,由幂函数的性质知３ｘ∈Ｒ,∴函数ｙ＝３ｘ＋１的值域为Ｒ．二、求反函数的定义域如果函数ｙ＝ｆ（ｘ）在其定义域上存在反函数ｘ＝ｆ－１（ｙ）...     

求最值问题的几种常用方法

最值问题是中学数学的重要内容之一。它涉及的知识面宽，往往需要综合数学学科各分支知识，解题方法灵活，因而学生在解题时常感到困难。在此本文针对求最值问题，谈谈在初等教学中常用的几种方法。１利用反函数求最值当一个函数的值域较难求，它的反函数又存在时，可根据反函数的定义域就是原函数的值域这一性质求最值。例１求函数ｙ的最值，其中［０，２］。解函数的反函数存在，由ｙ＝，得ｘ＝［０，２］，２解之得０≤ｙ≤当ｘ＝０时，ｙｍｉｎ＝０，当ｘ＝２时，ｙｍａｘ＝。２利用判别式求最值对于函数ｆ（ｔ）＝中的（ｔ）、（ｔ）只…     

因式分解在解题中的应用举隅

因式分解在解题中的应用举隅靖远县二中韦有孝一、解方程（组）例１．求适合下列方程的ｘ和ｙ：（ｘ２＋ｙ２）（１＋－１）＋ｘｙ－９＝（ｘ＋ｙ＋２）＋１１－１。解：由复数相等条件，有ｘ２＋ｙ２＝ｘ＋ｙ＋２，（１）ｘ２＋３ｘｙ＋ｙ２＝１１。（２）｛两式相减得ｙ...     

求函数值域的五种方法

一、利用 ｙ＝＝ｆ（ｘ）的图像进行判断 例：农函数（１）ｙ＝２ｘ＋１（２）ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋２ （３）ｙ＝２ｘ的值域。 解：（１）函数的图像是一条直线,它的值域是（－　,＋　）。 （２）函数是顶点为（－１,１）,开口向上的抛物线,　它的值域是［１,＋　］。 （３     

求值域问题的“五注意”

求值域问题是高中数学的重点和难点．同学们解答这类问题时常因考虑不周、方法不当而导致错误．为使同学们走出“求值域”的误区，特归纳五条注意事项如下： 一、注意等号取得的条件是否满足 按照某种方法求得“值域”后，应养成检验端点值（即判定等号取舍）的良好习惯．因为它可能是解法正误的“晴雨表”． 例１求函数ｙ＝ｘ－２＋２ｘ＋１的值域 错解：ｘ－２０，ｘ＋１０， ｘ－２＋２ｘ＋ １ ０即原函数值域为 ｙ ［０， ∞） 辨析：由上述解法可知ｙ＝０时，须满足显然没有与之对应的ｘ． 故扩大了ｙ的范围致误． 正解：原函数可化为…     

利用y=f（x）与y=f^—1（x）间的关系解题

函数ｙ＝ｆ－１（ｘ）与ｙ＝ｆ（ｘ）的图像关于直线ｙ＝ｘ对称，这是学生都非常熟悉的一个性质，但对它们之间的其它性质却知之不详，或者知而不会用．本文试图通过实例来阐明它们的用法．函数ｙ＝ｆ－１（ｘ）与ｙ＝ｆ（ｘ）性质间的关系如下：１．定义域和值域的互换性．函数ｙ＝ｆ（ｘ）的定义域和值域分别为ｙ＝ｆ－１（ｘ）的值域和定义域．２．同单调性．ｙ＝ｆ（ｘ）在某个区间上是增（或减）函数，则ｙ＝ｆ－１（ｘ）在相应区间也是增（或减）函数．３＊．同为奇函数或同为非奇非偶函数．注意偶函数的定义域若不是｛０｝，则它不存…     

一个应用广泛的不等式

设ｘ、ｙ、ｚ是任意实数,Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π,则ｘ２＋ｙ２＋ｚ２≥２ｘｙｃｏｓＣ＋２ｙｚｃｏｓＡ＋２ｚｘｃｏｓＢ．（＊）证　注意到Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π,将不等式（＊）移项、配方、整理,该不等式等价于（ｘ－ｙｃｏｓＣ－ｚｃｏｓＢ）２＋（ｙｓｉｎＣ－ｚｓｉｎＢ）２≥０．上面不等式显然成立,故不等式（＊）成立．不等式（＊）揭示了任意三个实数ｘ、ｙ、ｚ与满足条件Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π的三个角Ａ、Ｂ、Ｃ的余弦值之间的一个重要关系．在解题中灵活地运用这个不等式,可使有些证明难度较大的不等式获得简洁、巧妙的证明．例１　在△ＡＢＣ…     

例谈解题中隐含条件的利用

例谈解题中隐含条件的利用□景泰县职业技术学校黄国杰例题：设直线Ｌ：ｙ＝ｋｘ与曲线Ｃ：ｘ＝１＋ｔｙ＝１＋ｔ２｛（ｔ为参数,ｔ∈Ｒ）有两个交点,求ｋ的取值范围．解一：将ｘ＝１＋ｔ①ｙ＝１＋ｔ２②｛代入ｙ＝ｋｘ得１＋ｔ２＝ｋ（１＋ｔ）,两边平方,合并得（ｋ...     

重视对错题的剖析

对概念理解不透彻造成的解题错误。 例 １ 把 １＋ｃｏｓａ＋ｉｓｉｎａ（　　ａ　２）化成复数的三角形式。 误解分析：解题中没有注意到， 在复数的三角形式中，模ｒ≥０。 正确解：．故 １＋ｃｏｓａ＋ｉｓｉｎａ的三角形式为：对初等函数的定义域考虑不周造成的解题错误。例 ２ 已知 ２ｌｇ（ｘ－２ｙ）＝１ｇｘ＋ｌｇｙ，求 ｘ：ｙ。误解：由已知可得 ｌｇ（ｘ－２ｙ）２＝ｌｇｘｙ，即（ｘ－ｚｙ）２＝ｘｙ，解之得　＝１或　＝４。误解分析：据已知条件得ｘ－－２ｙ＞０，ｘ＞０，ｙ＞０。正确解：由已知得　＝１或　。由于 Ｘ－Ｚｙ…     

与最值相关问题的解法(上)

一、内容概述：与最值相关的数学问题在现实生活中普遍存在,各个学科领域普遍涉及．此类问题的表现形式有：（１）求一些代数式的最值（最大值,最小值）,（２）求函数值域,（３）求一些代数式中参量的取值范围等．解决此类问题的方法多种多样,常用到的有判别式法、配方法、配对法、代换法、数形结合法等．本文将结合一些相关问题对上述诸法作以初步诠释,供大家参考．二、基础知识１．关于ｘ的实系数二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）有实数根判别式Δ≥０．２．二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０）在ｘ≥－ｂ２ａ时…     

因式分解思想的巧用

一、用于化简求值例１当ｘ＝２时,求代数式ｘ＋３ｘ２－１·ｘ２－２ｘ＋１ｘ２＋２ｘ－３的值。解：原式＝ｘ＋３（ｘ＋１）（ｘ－１）·（ｘ－１）２（ｘ＋３）（ｘ－１）＝１ｘ＋１。当ｘ＝２时,原式＝１２＋１＝１３。二、用于方程组例２方程组ｘ＋ｙ＝５ｘ２－ｙ２＝１５的实数解共有（　　）（Ａ）０组;　（Ｂ）１组;（Ｃ）２组;　（Ｄ）４组。解：∵ｘ２－ｙ２＝１５,（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）＝１５,又ｘ＋ｙ＝５,∴ｘ－ｙ＝３,从而原方程组可转化为ｘ＋ｙ＝５ｘ－ｙ＝３解之得ｘ＝４ｙ＝１∴应选（Ｂ）。三、用于确定待定…     

求函数最值问题中常见错解剖析

李文仅就解答有关最值习题时的几种常见错误举例剖析如下：１　配方法例１　若ｘ，ｙ∈Ｒ＋，且ｘ＋ｙ＝４，求ｘ２＋ｙ２＋ｘ２ｙ２的最大值。错解　ｘ＋ｙ＝４ｘ２＋ｙ２＋ｘ２ｙ２＝（ｘｙ）２－２ｘｙ＋１６＝（ｘｙ－１）２＋１５这函数不存在最大值，只有当ｘ·ｙ＝１时，ｘ２＋ｙ２＋ｘ２ｙ２取得最小值１５。剖析　由已知ｘ，ｙ∈Ｒ＋，且ｘ＋ｙ＝４得，０＜ｘｙ≤（２）２＝４．当日仅当ｘ＝ｙ＝２时等号成立。欲（ｘｙ－１）２最大，即｜ｘｙ－１｜最大，故正确的答案为：当ｘｙ＝４，即ｘ＝ｙ＝２时，ｘ２＋ｙ２＋ｘ２ｙ２取得最…     

从“巧合”中探寻规律—— 一类对称问题的巧妙解法

从“巧合”中探寻规律——一类对称问题的巧妙解法赵斌（江苏江阴一中２１４４００）陆海泉（江苏射阳县中学２２４３００）引例求直线ｘ－２ｙ＋７＝０关于直线ｘ＋ｙ－１＝０对称的直线方程．解由方程组ｘ－２ｙ＋７＝０ｘ＋ｙ－１＝０｛得两直线的交点Ｐ－５３，８３．...     

用三角代换求两类无理函数的值域

文［１］用构造直线与圆锥曲线的方法,并通过对它们位置关系的讨论,求得无理方程ｆ（ｘ）＝ｍｘ＋ｌ＋ｎａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）及ｇ（ｘ）＝ｍａｘ＋ｂ＋ｎｃｘ＋ｄ（ａｃ≠０）的值域．该文不失为用构造思想、数形结合解题的范例,读后受益匪浅．本文中,笔者试图...     

用构造思想求几类无理函数的值域

关于无理函数ｆ（ｘ）＝ｍｘ＋ｌ＋ｎａｘ２＋ｂｘ＋ｃ，ｇ（ｘ）＝ｍｘ＋ｌ＋ｎａｘ＋ｂ和φ（ｘ）＝ｍａｘ＋ｂ＋ｎｃｘ＋ｄ的值域的求法，有关杂志上发表了不少文章，介绍了多种方法．本文试图构造直线与圆锥曲线，通过对它们位置关系的讨论来求此类函数的值域．这种方...     

用矩阵法求不定方程的特解

众所周知,如果二元一次不定方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ,其中（ａ,ｂ）＝１的一个特解为ｘ＝ｘ０ｙ＝ｙ０｛,那么它的通解公式为ｘ＝ｘ０＋ｂｔｙ＝ｙ０－ａｔ｛（ｔ为整数）因此求不定方程的特解十分重要．简单的二元一次不定方程的特解,用观察法可以求得,一般二元一次不定...     

用轨迹思想解题

在平面解析几何中,许多问题都与点的轨迹有关,求解此类问题时,若能用轨迹的思想方法去思考,往往会使问题迎刃而解．举例说明如下：１　判断位置关系例１　圆ｘ２＋２ｘ＋ｙ２＋４ｙ－３＝０上到直线ｘ＋ｙ＋１＝０的距离为２的点共有（　　）（Ａ）１个,（Ｂ）２个,（Ｃ）３个,（Ｄ）４个．（１９９１年高考题）分析　（１）先求到直线ｘ＋ｙ＋１＝０的距离等于２的动点的轨迹（两条平行直线）的方程．设与直线ｘ＋ｙ＋１＝０平行且距离等于２的直线方程为ｘ＋ｙ＋ｍ＝０,于是｜ｍ－１｜２＝２,得ｍ＝－１或ｍ＝３,所以ｌ１：ｘ＋…