例谈巧用函数思想解题

一、学会观察分析，构造函数关系。运用函数思想解题，首先必须建立函数关系，因此必须学会观察．通过细致透彻观察，识别命题特征，从题中数量关系，或数式特点出发，透过表面现象看其本质，去建立适当的函数关系，这是函数思想方法运用的基础．     

重视对应思想在复合函数解题中的应用

函数本身就是一种对应 ,它是建立在数集上的特殊对应 ,即映射 .因此 ,对应思想是函数的一个基本数学思想 ,它是处理函数问题的一个有力工具 .复合函数是函数中的一个难点 ,也是学生的一个易错点 ,在解决复合函数问题时应该充分重视对应思想的应用 .1　利用整体对应思想 ,求解复合函数定义域例 1　若函数ｆ(2 ｘ)的定义域为 [1,2 ],求函数ｆ(ｌｏｇ2 ｘ)的定义域 .解　∵ 1≤ｘ≤ 2 ,∴ 2 ｘ ∈ [2 ,4].由整体对应知 :2 ｘ 的范围与ｌｏｇ2 ｘ的范围相同 ,∴ 2≤ｌｏｇ2 ｘ≤ 4,则 4≤ｘ≤ 16 .因此 ,ｆ(ｌｏｇ2 ｘ)的定义域为 [4 ,16 ].点评…     

函数思想常放光芒——谈谈“函数思想”在解题中的应用

函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化的关系和规律．函数思想即是用联系、变化的观点，建立各变量间的依存(函数)关系，通过函数形式并利用函数的有关性质和方法达到解题目标的策略．     

函数与方程的思想方法

函数关系是指某个变化过程中两个变量具有某种对应关系。方程是由已知量和未知量构成的矛盾的统一体，它是从已知探索未知的桥梁。从分析问题的数量关系人手，抓住函数关系或等量关系运用数学语言将函数或等量关系转化为函数式或方程与未知量的限制条件，再通过利用函数的性质或方程理论使问题获得解决的思想方法，就称为函数与方程的思想。     

巧用函数思想解题

函数是中学数学的重要内容,也是高考的必考内容,是贯穿中学数学内容的一条主线。函数思想是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题得到解决。一些表面上看与函数无关的问题,若我们用函数思想去思考,往往可收到意想不到的效果。     

函数思想在数列中的应用

本文以几个具体的例子作为说明，从三个角度谈了如何运用函数思想解决数列问题的几个方法，力图通过这几方面内容来阐述函数思想在数列中运用的重要性，为我们解决数列问题提供一种崭新的思考方式。     

函数与方程思想的应用

函数与方程是反映客观事物数量变化规律的一种数学模型 ,函数思想能使数学有效地揭示事物运动变化的规律 ,反映事物间的相互关系。而方程思想则是函数思想的具体体现 ,是已知量与未知量的矛盾统一。我们已认识到 ,在当前的数学教学中 ,数学思想和方法是知识向能力转化的桥梁。许多数学问题实际上就是建立函数后 ,通过研究函数的性质或建立方程后 ,研究方程的解。例如很多问题经过分析和创造条件 ,可以作出相关的实系数的一元二次函数或一元二次方程 ,使所讨论的问题得到巧妙的解答 ,本文仅通过举例讨论这一数学思想方法的应用。1　在证明不…     

几何问题中的函数思想

“函数”是中学数学的重要内容。运用函数思想和方法解决一些几何问题是数学能力的重要体现。例１，如图，矩形ABCD中，AB＝８，BC＝９，⊙O与⊙O１外切，并且⊙O与AB、BC相切，⊙O１与AD、DC相切。求两圆面积之和S的最大值和最小值。分析：设⊙O半径为r，⊙O１半径为r１，则S＝π（r２＋r２１）。由于这里出现了两个参数，因而需要寻找r和r１之间的关系，由勾股定理得：（r＋r１）２＝犤８－（r＋r１犦２＋犤９－（r＋r１）犦２，即（r＋r１）２－３４（r＋r１）＋１４５＝０，由于r最大为４，最小为１（此时r１＝４），即１≤r…     

巧用函数思想解题

初中数学中主要有一次函数、正比例函数、反比例函数和二次函数,这些函数有各自的性质,巧用这些性质,可以解决许多问题.一、探索图形规律例1(2012年宁波卷)同样大小的黑色棋子按如图1所示的规律摆放:     

函数思想在数学解题中的应用

函数思想是处理数学问题的重要方法之一，长期以来在研究争教学中都有广泛的应用，本文试以范例的形式从四个方面介绍在教学中如何贯穿此思想方法。     

用函数思想与函数方法解决一类数列问题

数列与函数之间存在着天然联系一数列是特殊的函数．用函数观点把数列中的数量关系表示出来，利用函数思想合理转化的手段是解决数列问题的重要策略．     

应用函数思想解题

用运动变化的观点研究客观世界中变量之间的相互关系和内在规律，将其用函数的形式表示出来，并通过对具体函数的分析解决问题的思想称之为函数思想。我们应用函数思想解题时，一要注意从字叙述、图形、图像、表格中，分析数量之间的变化规律，获取变量之间的信息，建立函数关系式，从而借助于函数图像及其性质解决相关问题；二要注意对相关知识（如方程、不等式等）及数学思想方法（如数形结合、分类讨论、待定系数法等）的综合应用。     

小学数学教学中应适当渗透函数思想

函数概念的核心内容是变化和对应，函数思想的基础是变量思想。小学数学教学显然是以常量教学为主，但笔者认为，在小学数学教学中应适当渗透变化、对应等函数思想，为中学学习函数打下良好的基础。怎么做呢？笔者认为应注意以下几点。     

方程中的函数思想与函数中的方程观点

方程与函数是中学数学的重要知识点 ,又是高考和竞赛的热点 .许多方程问题常常可以运用函数思想去解决 ,而不少函数问题又往往须转化为方程来求解 .因此 ,在解决一些函数和方程问题时 ,既要善于运用函数思想解决方程问题 ,又要学会灵活运用方程的观点去观察、处理函数问题 .本文举例说明如下 :1　方程中的函数思想例 1　已知实数 ｐ、ｑ满足方程ｌｇ(ｌｏｇ3ｐ) =ｌｇ(2- ｑ) +ｌｇ(ｑ + 1) ,求 ｐ的取值范围 .简解　一个等式 ,两个变量 ,故可将 ｐ表示成 ｑ的函数 ,从而转化为求函数的值域 .原方程等价于ｌｏｇ3ｐ =(2 - ｑ) (ｑ+ 1) ,即 …     

妙用函数思想解题

函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，常用的性质有：f^-1（x）的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等。这要求同学们熟练掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性与相关性质。在解题过程中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。此外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。一些表面上看来与函数无关的问题，若用函数的思想去思考，往往可以收到意想不到的效果。下面例举几例。     

函数与方程思想在解题中的应用

函数与方程思想是高中数学中最基本也是最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位。     

函数的定义域不可忽视

在解有关函数的问题时 ,学生往往容易忽视其定义域从而导致错误 ,令人惋惜 .笔者现举几例 ,以引起大家足够重视 .例 1　已知函数 ｆ(ｘ2 - 3) =ｌｇ ｘ2ｘ2 - 4 ,求 ｆ(ｘ)的定义域 .错解　令ｘ2 - 3 =ｔ ,则 ｆ(ｔ) =ｌｇｔ 3ｔ- 1.由ｔ 3ｔ - 1>0 ,得ｔ<- 3或ｔ >1.故函数 ｆ(ｘ)定义域为 {ｘ｜ｘ<- 3或ｘ>1} .评析　错解忽视了ｔ受ｘ2 - 3的约束 ,从而扩大了定义域的范围 .事实上 ,令ｘ2 - 3=ｔ,则ｔ≥ - 3,ｆ(ｔ) =ｌｇｔ 3ｔ- 1.由ｔ 3ｔ- 1>0 ,ｔ≥- 3,得ｔ >1.故 ｆ(ｘ)定义域为 {ｘ｜ｘ >1} .例 2　判断函数 ｆ(ｘ) =ｌｇ( 1-ｘ2 )…