圆内接四边形的两个性质

文[1]给出了圆内接四边形的一个性质:ABCD为圆内接四边形,△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的内心分别为E,F,G,H,则四边形EFGH是矩形.本文给出圆内接四边形的另外两个性质:性质1 如图1,ABCD为圆内接四边形,△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的重心分别为S,P,Q,R,则有如下结论:(1)四边形PQRS∽四边形ABCD;(2)S四边形PQRS=1/9S四边形ABCD.     

一道竞赛题的解法探索

例1如图1．圆内接四边形四条边长依次为5、10、11、14,则这个四边形的面积为( )．(2005年全国初中数学竞赛题) A．78(1/2) B．97(1/2) C．90 D．102解法1：如图2．在圆内接四边形ABCD中,AB=5,BC=10,CD=11,AD=14,连接BD,在△ABD和△BCD中,由余弦定理．得     

圆外切四边形的性质及应用

初三几何课本119页例2反映了圆外切四边形边之间的关系,“圆外切四边形的两组对边的和相等”这就是圆外切四边形的性质,用这种性质就可以解决题目中涉及圆外切四边形的问题,现举例如下: 例1.已知梯形ABCD,AD∥BC且AB=CD=8cm,边AB、BC、CD、DA与⊙O分别切于点E、F、G、H,⊙O的直径为6cm,求S_(梯形ABCD)。 解:连结HO并延长,则HO⊥AD∵AD∥BC∴OH⊥BC得HO的延长线必过F点,即HF是⊙O的直径,也是梯形的高,由圆外切四边形性质得AD+BC:AB+CD,∴AD+BC=8×2=16(cm),∴S_(梯形ABCD)=1/2(AD+BC)HF=1/2×16×6=48(cm~2)     

封闭二次曲线内接四边形的面积最值问题

文[1]讨论了封闭二次曲线(圆、椭圆)的内接三角形的面积最大问题.本文将类比讨论封闭二次曲线(圆、椭圆)的内接四边形的面积最大问题.1.圆内接四边形的面积最大值如图1,四边形ABCD是圆O的内接四边形,圆O的半径为R.设AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,∠A=α,∠C=β.     

既有外接圆又有内切圆的四边形存在条件及其性质

我们知道,任何一个正多边形都存在外接圆和内切圆且两圆同心。本文四边形内切圆和外接圆存在时,它的一些性质。Ⅰ.存在条件任何一个圆存在着任意多的内接四边形和外切四边形,但并非任意的一个四边形都存在内切圆和外接圆,那么什么情况下这种四边形才存在呢?为此先引进两个引理引理1:四边形有外接圆的充要条件是其对角互补。(证略) 引理2. 四边形外切于圆的充要条件是其对边之和相等。     

有奖解题擂台(76)

题1 已知:圆外切凸四边形ABCD外切于圆O(O为圆心),对角线AC与BD相交于点P,四个三角形PAB、PBC、PCD及PDA的内切圆圆心分别是I1、I2、I3及I4.已证明I1、I2、I3、I4四点共圆(I1、I2、I3、I4四点共圆等价于ABCD是圆的外切四边形),设此圆的圆心为M.求证:O、M、P三点共线的充要条件是:ABCD是一个筝形(即ABCD关于AC对称或关于BD对称)或一个圆的内接四边形.     

化隐为显 与圆共舞——例谈“四点共圆”的判定及妙用

一、"四点共圆"(圆内接四边形)的判定判定1如果四边形的一组对角互补或一个外角等于它的内对角,那么这个四边形是圆内接四边形,即四边形的四个顶点共圆(如图1).     

托勒密定理的推广

托勒密定理是关于圆内接四边形的一个性质,推广得到圆内接六边形的一个类似结论,进而得到圆内接2n边形(n≥2)的一个结论。     

2001年中国数学奥林匹克

第一天 (2001-02-13 9∶30-14∶00 香港) 一、给定a,2~(1/2)相似文献   

利用弧角关系巧证题

在同圆或等圆中:(1)等弧所对的圆心角相等,所对的弦相等;(2)同弧或等弧所对的圆周角相等,且是所对圆心角的一半;(3)垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧,平分弧所对的圆心角;(4)圆内接四边形对角互补,对角互补的四边形内接于圆.利     

一道数学冬令营试题的推广

第三届全国数学冬令营选拨赛试题第2题:设C_1、C_2是同心圆,C_2的半径是C_1的2倍。四边形A_1A_2A_3A_4内接于C_1,将A_4A_1延长交圆C_2于B_1,A_1A_2延长交圆C_2于B_2,A_2A_3延长交圆C_2于B_3,A_3A_4延长交圆C_2于B_4。试证:四边形B_1B_2B_3B_4的周长≥2×四边形A_1A_2A_3A_4的周长,并请确定等号成立的条件。本题可推广为: 设C_1、C_2是同心圆,C_2的半径是C_1的m(m>l)倍。 n(n≥3)边形A_1A_2…A_n内于C_1。将A_nA_1延长交圆C_2于B_1,     

有奖解题擂台(112)

<正>题设ABCD是一个圆的内接凸四边形,对角线AC和BD相交于点X,则四边形ABCD存在落在∠A或∠C内部的旁切圆(在四边形的外部与四边形的四边所在的直线相切)的充要条件是BX=BD·sin2B/2.     

一道几何命题的证明与变式训练

圆与圆的位置关系这一单元 ,两圆相交和相切是重点 在这一单元中有几道证明两线平行的题目 ,通过这几道题目的变式训练 ,可以把两圆相交和相切中辅助线的作法 ,证明命题的方法让学生掌握清楚 已知 :如图 1,⊙Ｏ1 与⊙Ｏ2 相交与Ａ ,Ｂ两点 ,分别过Ａ ,Ｂ两点作直线交⊙Ｏ1 于Ｃ ,Ｅ两点 ,交⊙Ｏ2 于Ｄ ,Ｆ两点 .求证 :ＣＥ ∥ＤＦ .图 1　　　　　　　　图 2证明　连结ＡＢ ,因为四边形ＡＢＥＣ内接于⊙Ｏ1 ,所以∠ＡＢＦ =∠Ｃ (圆内接四边形的性质 ) 因为四边形ＡＢＦＤ内接于⊙Ｏ2 ,所以∠ＡＢＦ +∠Ｄ =180° (圆内接四边形的性质 ) …     

圆内接四边形“余弦定理”和“海伦公式”

2001年全国高考数学文科试题(19)是: 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为2AB=,6BC=,4CDDA==,求四边形ABCD的面积. 本题主要考查三角 形的余弦定理和面积公 式.如果把条件一般化, 即把四边形边长用字母 表示,那么在用四边形边 长表示cosA及四边形边长面积时,会发现类似于三角形的圆内接四边形的“余弦定理”和面积的“海伦公式”. 定理1设圆内接四边形ABCD的边长分别为BCa=,CDb=,DAc=,ABd=,则 2222cos2()cdabAcdab+--=+, 2222cos2()dabcBadbc+--=+, 2222cos2()abcdCabcd+--=+, 2222cos2()bcdaDbcad+--=+. 且四边形ABCD的面积…     

普鲁海圆的美妙性质

1863年,普鲁海(Prouhet)将三角形的九点圆(也称欧拉圆或费尔巴哈圆[1])定理,类比推广到垂心四面体中,得到了如下的十二点球定理:[2]定理0在垂心四面体中,以外心与垂心连线的第二个三等分点为球心,外接球面半径的三分之一为半径的球面,必通过十二个特殊点,即:四个顶点与垂心连线的第二个三等分点,四个侧面的重心,以及四条高的垂足.这个定理所说的球面,通常称为垂心四面体的普鲁海球面.最近,曾建军国老师在[3]中指出:若垂心四面体A1A2A3A4的外心为O,垂心为H,则点H满足OH=12∑i=41OAi.据此,我们可以将圆内接四边形与垂心四面体进行类比,导出一个有趣的十二点圆定理.现介绍如下,供读者赏析.本文约定:在任意四边形A1A2A3A4中,除任一顶点Aj外,以其余三顶点为顶点的三角形,称为四边形A1A2A3A4的子三角形,记作△j(j=1,2,3,4).定义设四边形A1A2A3A4内接于⊙(O,R),若点E满足OE=21∑i=41OAi(1)则点E称为四边形A1A2A3A4的欧拉圆心[4];以线段OE的第二个三等分点P为圆心、3R为半径的圆,称为四边形A1A2A3A4的普鲁海圆,记作⊙P,3R.其中,...     

集锦 四边形面积的一个公式

计算三角形的面积有许多公式 ,而有关四边形面积的计算公式却很少 .在文献 [1]中有如下四边形面积的计算公式 :S=12 d1 d2 sinφ= ( p- a) ( p- b) ( p- c) ( p- d) - abcdcos2β.　这里 p=12 (a b c d)是四边形ABCD的周长的一半 ,β是两个对角之和的一半 .φ为 a边所对两对角线所成的角 .特别地 ,当四边形是圆内接四边形时 ,就得到S=(p- a) (p- b) (p- c) (p- d) .在本文中 ,我们将给出另一个四边形的面积计算公式 :S=14(b2 - a2 d2 - c2 ) tgφ,(1)此处φ为 a边所对两对角线所成的角 ,且φ≠π2 .证明　如图 ,我们设 AO=d1 1 ,B…     

托勒密定理的推广和应用

定理一(托勒密定理) 圆内接凸四边形的两双对边的乘积的和等于两条对角线的乘积。如果把一点看成是(?)为零的圆,两点之间的线段长看成是两圆的外公切线长。这样,可以把这个四边形的四个顶点看成是分     

各边长均为定值的四边形面积何时最大

<正>定理若四边形ABCD的各边长分别为AB=a,BC=b,CD=c,DA=d(各边长满足任意三边之和大于第四边),则当且仅当该四边形是圆内接四边形时面积最大,且最大值为((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))^(1/2),其中p=1/2(a+b+c+d).     

初中数学圆的内接四边形问题解法探究

<正>作为一个几何概念,圆内接四边形是指四个顶点均在同一个圆上的四边形．圆内接四边形的几何性质较多,能够在数学几何问题求解中进行运用．本文以初中数学中圆的内接四边形问题的解法为例,对圆内接四边形相关性质进行分析．一、探究圆的内接四边形对角互补为提高同学们的解题能力,更好地理解圆的内接四边形对角互补的性质,同学们可通过如下例题巩固认知．     

欧拉不等式的推广

欧拉不等式是指:若三角形的内切圆和外接圆半径分别为r和R,则R≥2r。将此不等式推广到四边形中,有: 定理设双圆四边形(既有内切圆又有外连圆的四边形的内切圆和外接圆的半径分别为r和R,则 R≥2~(1/2)r ①分析如图,设ABCD为双圆四边形,边长依次为a、b、c、d,令AC=u,则 u=((ac bd)(ad bc)/(ab cd))~(1/2) (参见[3]) 设ABCD的面积为△,则△A=rs,其中s=1/2(a b c d)∴r=△/s。