浅谈一类平几题的证法

本文谈谈在平几题中,结论为"a·b+c·d=e·f"型证法之寻求.下面我们从证托列迷(Ptolemg)定理的分析谈起.定理:圆内接四边形两组对边乘积的和,等于两对角线的乘积.(《几何》、二册P92、20.初中课本)     

巧用托勒密定理解一类平几题

圆内接四边形两组对边乘积的和等于其对角线的乘积,这就是著名的托勒密定理.巧用这一定理解某些难度较大、层次较高的圆内接多边形问题,可收到构思新颖、步骤简明的奇特效果,下面举例说明.例1已知P是正方形ABCD的外接圆DC上任一点,如图1,求证:(PB PD)/PA PC)=(PA)/(PB) 证明 连结AC、BD,并设正方形边长     

换个角度解决一类平几题

文[1]、[2]中的例题,都是求两条线段的比或证明四条线段成比例,其几何图形都存在四组三点共线,六个相交点这一基本特征．解决这类问题的方法是选择其中一点作平行线,利用平行线分线段成比例定理解决（文[1]介绍的方法）;或利用杠杆平衡原理来处理（文[2]介绍的解法）,     

立几中的一类常用命题

在立体几何中,有许多“由两个条件推出一个结论,且条件与结论中有两个垂直和一个平行”的命题．这些命题看似简单,但容易混淆．这些命题还可以实现“垂直与平行之间的相互转化”,现分类叙述如下：     

一个平几命题的推广

题　如图1,内接于圆的四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于点K,过点K的直线与边AD,BC分别相交于点H和M.求证:(1)如果KH⊥AD,那么CM=MB;(2)如果CM=MB,那么KH⊥AD.这是九年义务教育初中几何课本第三册第210页B组第2题.本文作如下推广:推广1　圆的两弦AC,BD所在直线垂直相交于点K,过点K的直线与弦AD,BC分别相交于点H和M(如图2,3),则KH⊥ADCM=MB.图2　　　　　　　　　图3特别地,平移BD或AC,使BD为圆的切线,B(D)为切点(如图4),此时,上述结论仍成立.证明此略.图4　　　　　　　　　　图5推广2　设直线x y n=0,x-y p=0的…     

一道平几命题的多方探讨

初中《几何》第二册习题二十二的第8题: 命题矩形ABCD中,AB=a,BC=b,M是BC的中点,DE⊥AM,E为垂足.求证:DE=2ab/(4a~2+b~2)~(1/2). 该题的结构严谨,综合性和规律性较强,而且解法多变. 一、解法探讨 1.面积法将结论变形为:DE·(a~2+(b/2)~2)~(1/2)=ab.等式的右边ab恰好是矩形ABCD的面积,由此联想到利用面积来证明该题.连结DM(图1).不难看出S_(△ADM)=1/2S_(矩形ABCD),即     

选择题的命题原则与方法

命题原则: 一、选择性强:各选择支命中概率相差不大; 二、灵活性强:一般不用详细计算和推理即可判断正误; 三、概念性强:反映基本概念,又有较大的迷惑性; 四、实践性强:选择支基本上应来自学生中的错误解法与判断. 命题方法: 一、从模糊概念入手制造混乱例1.A∩B=φ,M={A的子集}, N={B的子集},则 (A)M∩N=φ;(B)M∩N={φ}; (C)M∩N=4∩B; (D)M∩N■A∩B. 学生会误为A,B无公共元素,A,B的子集更无公共元素,因而选(A)。(C),事实上φ∈M,φ∈N,应选(B). 二、利用隐含关系造成疏忽     

一个平几命题与只用直尺作图问题

在尺规作图中，直尺的作用是过两点作直线。因此，只用直尺作图是比较困难的．下面我们利用一个平面几何命题来解决一类只用直尺的作图问题却是简单易行。     

平几题证法例谈

平面几何问题的证题方法可分为两类：一类是一般方法,即适用于所有问题的证法,包括分析法、综合法和反证法三种;另一类是适用于某类特殊问题的方法,如变轨法、辅助图法、相似形法、位似图法等。本文就平面几何问题的一股证朋方法举例予以说明。一、分析法”分析法是从命题的结论出发,根据已知的定义、公理和定理等,逐步向命题的条件逆求,直至命题条件的思维方法。其证题模式是：欲证命题结论B为真,只需证命题B;为真,从而又只需证命题B。为真,…只需证条件A为真,而由已知知A为真,故结论为真,命题得证。分析法是论证命题时的…     

一道平几题的推广

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一道平几题的应用

定理设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,则b~2=a~2+ac的充要条件是∠B=2∠A. 这是一道脍炙人口的名题,通常被人们视为平几中一题多解的典范,而往往忽视了它的潜在功能.本文就其应用介绍如下: 一、解三角形例1 若△ABC的三边长为连续整数,且最大角∠B是最小角∠A的两倍,求三角形的三边长. (第10届IMO试题) 解:设AB=X,则AC=I十1,M=I—l,由定理得 (。+1)2一k-])’+k-1),化简整理得X’-SX一0, ∴\X=0(舍去)或X一5.故 AB=5.M=4,AC=6. 例2 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若角A、B、C的大小成等比数列且b~2-a~2=ac,则     

一道平几题的启示

初中几何第一册第225页第8题: 在△ABC中,∠C=90°,AC=2.1cm,BC=2.8cm。①求△ABC的面积;②求AB;③求高CD。要求高CD,一般的解法是先求出面积:S_(△ABC),再用勾股定理求斜边AB,然后利用面积相等的关系求出斜边上的高CD,如果不先求出面积和斜边上的长,能否直接求出斜边上的高呢?     

平几题怎样添加辅助线

一道几何题的证明,往往要用到不少定理,但仔细分析就会发现,其中起关键作用的常是一两个主要定理。当这些定理不能直接运用时,就得借助辅助线沟通其与已知条件的联系。本文试就此作一探讨。 例已知：如图, Ｏ与 Ｏ’相交于Ａ、Ｂ,ＡＣ是 Ｏ的直径,ＣＡ、ＣＢ的延长线分别交 　 Ｏ’于Ｄ、Ｅ,且ＢＣ＝ＡＤ,ＡＣ＝１２,ＢＥ＝３０。 求：ＤＥ的长,　Ｃ的度数及阴影部分的面积。 解：连接ＡＢ、ＯＢ 　ＡＣ是　Ｏ的直径,　,又Ａ、Ｂ、Ｅ、Ｄ四点共圆, 设 ＢＣ＝ ＡＤ＝ ｘ,由割线定理ＣＢ·ＣＥ＝ ＣＡ· ＣＤ解之得Ｘ＝－２４…     

一道平几题的浅析

省编初三数学练习册 P84上有这样一道习题: AD为△ABC中BC边上的高,H为AD上任一点,BH的延长线交AC于E,CH的延长线交AB于F.求证:AD平分∠EDF. 此题条件简洁,结论漂亮,足以使数学同行们爱不释手.     

一道平几题的引伸

全日制十年制学校初中数学课本几何第二册复习题五第20题: 例一:如图求证。在园内接四边形ABCD中,AB·CD+BC·AD=AC·BD,课本中有这样一段提示(设法在BD上取P点,使AB·CD=AC·BP)学生就有这样一个疑问,这个P点是如何设想出来的。     

三角法证明平几题

有些平面几何题巧用三角法进行证明，往往不需要添加或少添加辅助线，使解题过程简捷、直观．     

一个有趣的平几命题及应用

究竟是什么使我们感到一个结果和一个证明是精美的呢?它就是不同部分之间的和谐,它们的对称性,它们的美好的平衡……——(法国大数学家)庞加莱     

一个平几命题在解几中的应用

文 [1]运用解析法给出了圆锥曲线上点的四个有趣性质 .本文由一个平几命题得到这四个性质的统一简证 .定理　设直线 l1 与 l2 交于点 O,点 M,N是 l2 上的两个定点 ,且 |OM|=m,|ON |=n(m >n>0 ) ,l1 上的点 P对线段 MN的视角为α,则当 |OP|=mn时 ,α最大 .图 1证明　如图1,过点 M,N 作⊙ C切 l1 于点 K,则∠ MKN是 MN的圆周角 ,∠MPN是 MN的圆外角 .故∠MKN是 α的最大值 ,此时 ,由切割线定理知 |OK|2 =|OM|· |ON |=mn,即当 |OP|=mn时 ,α最大 .推论　设直线 l1 ⊥ l2 于点 O,点 M,N是l2 上的两个定点 ,且 |OM|=m,|ON |=n…