从必要条件的一次争论谈起

某中学的一次数学教研会上对一个题的解法出现了争论。题:两条不同的直线l_1和l_2的斜率k_1=k_2是l_1∥l_2的什么条件?(用充分、必要回答) 两部分人对条件的必要性分别提出了如下两种不同解法和结论。解法1 充分性显然。关于必要性。由于l_1∥l_2时,斜率可能不存在,所以不一定有k_1=k_2,于是条件不必要,因此结论是充分但不必要的条件。解法2 充分性显然。关于必要性,研究必要性只要研究充分性命题的逆命题即可。我们改成研究与逆命题等价的否命题,即考察命题“若两条不同     

直线“到角”“夹角”公式的应用

<正>到角公式:直线l_1到l_2的角α,即指直线l_1绕着与l_2的交点逆时针方向旋转到同l_2重合时所转过的最小的正角(如图1),tanα=(k_2-k_1)/(1+k_1k_2)(其中k_1,k_2是直线l_1,l_2的斜率).夹角公式:直线l_1与l_2的夹角β,即直线l_1与l_2相交所成的四个角中最小的角,tanβ=|(k_2-k_1)/(1+k_1k_2)|(其中k_1,k_2是直线l_1,l_2的斜率).     

一个命题的证明与应用

一、问题的提出当两条直线的斜率 k_1、k_2存在,且满足 k_1·k_2=-1时,两直线垂直,教材中已作了详细的研究,但当 k_1·k_2=1时,两直线的位置关系如何?有哪些性质?却尚未引起人们的关注.下面就此作些探讨,供大家参考。二、结论及证明命题已知:     

关于线束交比公式的一个注记

一、问题的提出 关于已知共点四有穷直线的斜率,求其交比的问题,有如下定理:“若共点四有穷直线的斜率为k_1,k_2,k_3,k_4(它们彼此不等),则线束的交比 (l_1l_2,l_3l_4)=((k_3-k_1)(k_4-k_2))/(k_4-k_1)(k_3-k_2)……(Ⅰ)如果共点四线中有一直线的斜率不存在(即此直线垂直于x轴),则不能利用公式(Ⅰ)来计算它们的交比。     

有关Ax By C=0为轴对称的直线问题的解法

题 在直角坐标平面上,如果直线l_1:A_(1x) B_(1y) C_1=0斜率为k_1,直线l:Ax By C=0斜率为k,直线l和l_1的交点为D(x_0,y_0),则直线l_1关于直线l的对称直线l_2的方程是:y-y_0=(2k k_1k~2-k_1)/(1 2kk_1-k~2) (x-x_0)。     

解析几何中过定点问题的“另类”解法

<正>1.问题的提出已知点A是椭圆C:x²/8+y2/8+y²/r=1的上顶点,过点A且斜率为k_1,k_2(k_1≠k_2)的两条直线分别与椭圆另交于点P、Q。若k_1k_2=2,证明:直线PQ过定点。2.常用方法回顾该题一般的解法有以下两种:解法1:先通过对称性或利用一些特殊的直线先找到定点;再利用点斜式设出直线AP、BP的方程,分别和椭圆方程联立解出点P、Q的坐标;最后通过证明三点共线来证     

双曲线中点弦的一个性质

双曲线中点弦有如下一个性质: 如图1,直线l与双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1相交于A、B两点,P是AB中点,如果l的斜率为k_1(k_1为常数,且不为零),直线OP的斜率为k_(OP)(k_(OP)为常数)则k_1·k_(OP)=b~2/a~2     

对中点坐标公式的等价性思考

<正>解析几何中经常出现与中点坐标公式有关的问题.奇怪的是,在三点共线的前提下运用中点横坐标公式,与运用中点纵坐标公式有时得出的结果不一样,这是为什么呢?一、案例呈现例1 过点P(0,1)作直线l与直线l_1:2x+y-8=0和l_2:x-3y+10=0分别交于A、B两点,线段AB的中点为P,求直线l的方程.解法1 (1)若直线l的斜率不存在,则l的方程为x=0,与l_1\,l_2的方程联立方程组,可     

有问必答

问 证明平行线等分线段定理的那条辅助线,是怎样想出来的?答 先看看定理的条件和结论.己知:如图1,直线l_1//l_2//l_3,AB=BC.求证:A_1B_1=B_1C_1.我们可以这样来思考:1.求证的是什么?两线段相等.证明线段相等,我们学过哪些方法?这里选用哪种方法较好?根据已知条件,可考虑利用三角形全等.2.但是要证明其相等的两线段,不是某两个三角形的对应边,该怎么办?考虑作辅助线构造两个三角形全等.     

千树万树梨花开——对一道解析几何问题的探讨

1.问题(2014年苏州统测模拟第22题)过x轴上一动点A(a,0)引抛物线y=x²+1的两条切线AP,AQ,P,Q为切点,设切线AP,AQ的斜率分别为k_1和k_2.(Ⅰ)求证:k_1k_2=-4.(Ⅱ)试问:直线PQ是否经过定点?若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.     

奇妙的“e^2—1”

大家都知道,圆具有如下性质:“如果AB是圆O的任意一条弦,M为AB的中点,那么AB上 OM,用‘斜率’的语言来叙述,即k_(AB·k_(OM)=-1.”其实,一般有心二次曲线均有类似的性质,用命题分述如下: 命题1:如果AB是椭圆x2/a2+y2/b2=1的任意一条弦,O为椭圆的中心,e为椭圆的离心率,M为AB的中点,即k_(AB)·k_(OM)=e2-1. 命题2:如果AB是双曲线x2/a2-y2/b2=1的任意一条弦,O为双曲线的中心,e为双曲线的离心率,M为AB的中点,即k_(AB)·k_(OM)=e2-1. 下面给出命题1的证明(命题2同理可证)     

例谈高考解析几何题中参数的考查与运用

<正>一、用直线的斜率作参数例1(2013年浙江卷)如图1,点P(0,-1)是椭圆C_1:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)的一个顶点,C_1的长轴是圆C_2:x~2+y~2=4的直径.l_1,l_2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l_1交圆C_2于A,B两点,l_2交椭圆C_1于另一点D.(1)求椭圆C_1的方程;(2)求△ABD面积取最大值时直线l_1的方程.     

从1992年高考的一道题目谈起

1992年高考第(13)题是: 已知直线l_1和l_2夹角的平分线为y=x,如果l_1的方程是ax by c=0(ab>0),那么l_2的方程是 (A)bx ay c=0;(B)ax-by c=0; (C)bx ay-c=0;(D)bx-ay c=0。标准卷上选(A)。但明显,这四个选择支都是欠妥的。直线l_1:ax by c=0(ab>0),所以斜率k=-a/b<0,如图1所示,不妨固定平面上某一点A,则l_1只能     

一道高考作图题的剖析

2010年上海秋季高考数学试卷的最后一题如下：已知椭圆Γ的方程为（x~2）/（a~2）＋（y~2）/（b~2）=1（a〉b〉0）,点P的坐标为（-a,b）.（1）若直角坐标平面上的点M、A（0,-b）、B（a,0）满足（？）=（？）,求点M的坐标;（2）设直线l_1：y=k_1x＋p交椭圆Γ于C、D两点,交直线l_2：y=k_2x于点E.若k_1·k_2=-（b~2）/（a~2）,证明：E为CD的中点;（3）对于椭圆Γ上的点Q（acosθ,bsinθ）（0〈θ〈丌）,如果椭圆Γ上存在不同的两点P_1、P_2使得（？）,写出求作点P_1、P_2的步骤,并求出使P_1、P_2存在的θ的取值范围.     

解几一命题的证明及应用

命题:已知直线l与抛物线 C:y~2=2px,过C的焦点F且垂直于l的直线交l于点N,则(1)l与C相切(?)点N在y轴上;(2)l与C相交(?)点N在y轴右侧;(3)l与C相离(?)点N在y轴左侧.证明:设直线 l:Ax By C=0,(A、B不全为零).     

提高教学有效性的若干思考

<正>提高数学教学的有效性,涉及的方面很多.笔者就以下几点谈一些自己的思考.一、教师个人良好的素质是实施有效教学的根本和源头例1(苏教版必修2第84页思考题)已知直线l_1:x+y+1=0,l_2:x-2y+4=0,那么方程x+y+1+λ(x-2y+4)=0(λ为任意实数)表示的直线有什么特点?过去遇到这个问题,一般都是直接给出答案:该方程表示经过l_1与l_2交点(-2,1)的     

直线过定点问题的解法分析和拓展推广

<正>一、试题与解法探究题目已知椭圆■ (a> b>0)的右焦点为F(2,0),上顶点为M,O为坐标原点,且■MOF是等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程;(2)过点M分别作直线交椭圆于A,B两点,设MA,MB的斜率分别为k_1,k_2,并且k_1+k_2=8,证明:直线AB过定点.解(1)■.(过程略)(2)分析1先求点A,B的坐标,得直线AB的方程,再利用"交轨法"使问题获证.     

求与两条平行直线平行的直线方程的简便方法

我们知道,若两条平行直线的方程为,l_1:ax+by+c_1=0,l_2:ax+by+c_2=0(c_1≠c_2)则ax+by+c_1+λ(ax+by+c_2)=0(λ≠0,λ≠-1)是与l_1、l_2都平行的直线l_3的方程。设M(x_0,y_0)是l_3上任一点,那么ax_0+by_0+c_1+λ(ax_0+by_0+c_2)=0(?)λ=-((ax_0+by_0+c_1)/(ax_0+by_0+c_2)) (1)因此|λ|表示l_3到l_1的距离与l_3到l_2的距离之比。当λ>0时,从(1)知(ax_0+by_0+c_1)/(ax_0+by_0+c_2)<0,这时,l_3介于l_2、l_3之间;当λ<0时,由(1)知,(ax_0+by_0+c_1)/(ax_0+by_0+c_2)>0,这时,l_3位于l_1、l_2之外。这样,我们推出下列有用的结论。定理:若两条平行直线l_1:ax+by+c_1=0,l_2:ax+by+c_2=0(c_1≠c_2),则到l_1的距离与到l_2的距离之比为|λ|的直线l_3的方程为ax+by+c_1+λ(ax+     

巧证两道IMO试题

定理 圆心不共线的三圆两两相交,则三条公共弦共点。 为方便起见,我们给出统一的解析证明, 设⊙O_i(i=1,2,3)的方程为:x~2 y~2 D_ix E_iy F_i=0. 将它们两两相减得公共弦方程: l_1:(D_-D_2)x (E_1-E_2)y F_1-F_2=0, l_2:(D_2-D_3)x (E_2-E_3)y F_2-F_3=0, l_3:(D_3-D_1)x (E_3-E_1)y F_3-F_1=0. 由于圆心不共线,故设l_1与l_2的交点P的坐标为(x_0,y_0),易验证:P∈l_3,即l_1,l_2,l_3,交于点P. 本文巧用定理证明两道IMO试题. 例1 (1MO36-1)设A,B,C,D是一条直线上依次排列的四个不同点,分别以AC,BD为直径的圆相交于X,Y,直线XY交BC于Z,若P为直线XY上异于Z的一点,直线CP与以AC为直径的圆相交于C及M,直线BP与以BD为直径的圆相交于B及N,试证AM,DN,XY三线共点.     

异面直线距离的几种求法

求异面直线的距离,在立体几何中是一个难点。怎么求?条件不同,方法各异。很多刊物介绍了其代数和几何求法,下面再介绍几种代数求法。式1 如果l_1、l_2为异面直线,l_2交以l_1为交线的两平面π_1,π_2于A、B两点。若AB==m,又对l_1上任两点C、D,有AC=a、BD=b、∠ACD=a,∠BDC=β,l_1、l_2间夹角为θ,则l_1、l_2间距离: d=1/(2msinθ)(4a~2b~2sin~2a.sin~2β-(a~2sin~2a+b~2sin~2β-m~2sin~2θ)~2)~(1/2)