波利亚的解题思想在竞赛题中的应用

在数学解题领域，波利亚是一面旗帜，是一代宗师，其名著《怎样解题》深刻地揭示了作者的解题思想——“现代启发法”．现代启发法又称为探究法，是一种循序渐进的解题理论．波利亚的解题思想注重认知规律，作者反对那种“像是帽子里跑出一只兔子”式的巧妙证明．波利亚强调解题的过程。“数学家是怎样发现这个定理的，是什么促使数学家想到这个证法的”．他由此创造了解题表．     

学会反思策略 提高数学思维能力

数学教育家玻利亚在《怎样解题》中指出：解题就是对已有知识的反思．它是主体自觉地对自身活动进行回顾、思考、总结、评价、调节的过程．一旦学生学会了解题反思，他的思维就会很活跃，思路也会很开阔，因为他知道该选择哪种合适的方法．因此，在教学过程中，教师要鼓励并指导学生进行解题的反思，使他们养成反思的习惯，提高反思的水平，从而培养他们的数学思维能力．     

变换探究角度提升学习境界

波利亚在论述“怎样解题”时十分强调“解题回顾”，要求在解题后必须再自问一下“我能一眼就将结果或方法看出吗”？这貌似平淡无奇的一问，却颇值得我们体悟．“一眼看出”其实是一种“会当凌绝顶，一览众山小”的学习境界．会不会解题关键在于能否“看透”题目，一旦“看透”了，解题策略自然就水落石出了．可见，波利亚看重的不只是会求解，而是学习境界的提升，在他看来学习境界的提升与解题能力的提高是同步的，并构成因果关系．由此可见，提升学生的学习境界至关重要．     

高中数学解题逻辑性错误分析

解题是实现数学教学目的的一种手段，也是数学教学活动的重要形式．学生的认知结构包括知识结构和认识结构，当学生的认知结构不能同化他所接触的题目时，就发生解题错误，数学解题的错误其终极表现必然在数学知识上．学生知识结构和认识结构不完善是数学解题错误的两个主要原因．数学逻辑性错误是认知结构不完善的常见错误之一．     

数学解题思维策略例说

著名的数学教育家波利亚在《数学的发现》序言中说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练．”他还有一句脍炙人口的名言：“掌握数学就是意味着善于解题．”解题就是“解决问题”，即求出数学题的答案，这个答案在数学上也叫做“解”，所以，解题就是找出题解的活动．数学解题可以理解为解题者凭已有的知识和经验由初始状态（问题的信息）向目标状态（问题的结论）逐步转化的思维过程，本文就此结合实例谈几点数学解题思维的策略．[第一段]     

分析解题过程的操作

以《中学数学解题的理论与实践》一书（广西教育出版社,2008,9）为基础,本刊特邀罗增儒教授谈他解题的理论与实践,谈他对“怎样解题”“怎样学会解题”的理论思考与实践尝试．最近几期的选题公告如下：1．什么是数学解题（第1～2期）;2．怎样学会解题（第3期）;3．解题分析的理念与实践（第4期）;4．分析解题过程的操作（第5期）;5．成功解题的基本要素（第6期）;6．数学解题的错例分析（第7期）．     

解题分析的理念与实践

以《中学数学解题的理论与实践》（广西教育出版社,2008,9）为基础,本刊特邀罗增儒教授谈他解题的理论与实践,谈他对“怎样解题”“怎样学会解题”的理论思考与实践尝试．最近几期的选题公告如下：1．什么是数学解题（第1～2期）;2．怎样学会解题（第3期）;3．解题分析的理念与实践（第4期）;4．分析解题过程的操作（第5期）;5．成功解题的基本要素（第6期）;6．数学解题的错例分析（第7期）．     

成功解题的基本要素

以《中学数学解题的理论与实践》（广西教育出版社,2008,9）为基础,本刊特邀罗增儒教授谈他解题的理论与实践,谈他对“怎样解题”“怎样学会解题”的理论思考与实践尝试．最近几期的选题公告如下：1．什么是数学解题（第1～2期）;2．怎样学会解题（第3期）;3．解题分析的理念与实践（第4期）;4．分析解题过程的操作（第5期）;5．成功解题的基本要素（第6期）;6．数学解题的错例分析（第7期）．     

一道例题的教学与反思

罗增儒老师一系列解题论中的主要思想是“怎样学会解题(从而怎样学会数学)”，“注重解题思路的探索，解题过程的改进，解题成果的扩大，注重心路的历程和数学的特征”．每次拜读他的作品，每次都有收获，运用到课堂教学当中，常有与学生一齐升华的效果．本文记录的是我对一道例题的教学片段，尽管课前准备得很充分，也自信会讲得很透、很精彩，不料被学生“教训”了一次，真正是一次“双赢”的教学，     

电子守恒法解题十例

“守恒法”就是利用物质变化中的某些守恒关系为解题依据，直接列关系式解题．运用守恒法解题易于形成解题思路．同时可避免书写繁琐的解题过程，大大提高了解题的效率，是化学计算中的常用的方法．     

谈数学解题的两种思维模式

奥林匹克数学最早发起人之一，前苏联著名数学家塔尔塔科夫斯基在回答《怎样寻找解题》的问题时，打比方说，“寻找解题就好象去抓藏在石头堆里的老鼠”他说，在石头堆里抓住老鼠有两种方法．     

透过现象看本质——兼谈数学解题反思

荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔说过：“反思是数学思维活动的核心和动力．”而数学解题反思最早是由美国籍数学教育家波利亚提出和发展起来的．在他的名著《怎样解题》中列出了解题表,把解题分为四个阶段：“弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾．”其中,“回顾”就是我们现在所说的解题反思．那么什么是解题反思呢？简言之,解题反思就是对解题活动的反思,它是对解题活动深层次的再思考,     

在解题中尝试评价初探

数学解题是一种复杂的思维活动，学习数学意味着解题．在数学解题中，学生更多关注的是最后答案的正确程度，而对解题过程则仅仅凭着熟能生巧的感觉去被动地把握，常常为解题而解题．这种学习方式毫无疑问影响了学生的学习效率，令其陷入了认知的误区．为此，在数学解题教学过程中，我们尝试把评价引入解题，实行一种新的学习方式，主要做法如下：     

例谈解题方法的严密性问题

为使解题方法严密，首先要考虑解题步骤的合理性，发展学生逻辑推理能力．解题步骤的合理性，是指正确应用数学概念，熟练运用相关定理、公式，推理符合逻辑、表述条理清晰的解题过程．合理的解题步骤，体现了一定的逻辑推理能力．反思解题步骤，就是审视解题过程中的每一步是否“言必有据”，是否符合逻辑要求，是否有多余的表述．     

谈数学解题过程中的反思

为什么有些学生花了很多时间，做了大量的题目，就是不得解题要领呢？缺少对解题过程的反思是其中一个非常重要的原因．美国著名数学家波利亚在其著作《怎样解题》中指出：解题是数学学习最基本的活动形式，通过解题可以获取、巩固和深化数学知识，形成基本技能，提高数学能力．数学解题过程分以下几个步骤：审题一探索一表达一反思．但是有些学生认为解题过程就是前面三步：理解题意，找到解题途径，写出解答，解题就算完成了．这样的认识是不完整的．如果解题到此为止，那么它的全部功能没有得到充分发挥，其价值也未得到充分的挖掘，     

代数学轶事（续）

3．日本的关孝和 关孝和（约1642-1708，图1）日本江户中期的数学家，悉心研究中国的天元术等数学著作，他是日本古典数学的奠基人．他研究了各类代数方程与方程组的解法，独立发现行列式并应用于解题．对勾股定理、椭圆面积公式、阿基米德螺线、连分数理论、圆周率等也有所研究，他还写过数种天文历法方面的著作．     

解题反思：内涵理解与实践探索

著名数学教育理论家波利亚曾经强调：数学教学的本质在于使学生学会解题．他结合自己数十年的教学与科研经验,提炼出了分析和解决数学问题的一般规律和方法,明确了“怎样解题”的4个步骤：弄清问题、拟订解题计划、实现解题计划、回顾反思等。为了经由解题提高数学素养,数学解题教学中不能忽视解题“回顾反思”这个环节．     

做高中数学题后的"反思"

好多学习比较刻苦的同学，埋头做了大量习题．但解题时仍破绽百出．其主要原因是：只注重做题的数量，而不重视解题的质量；只注重做题结果．而不重视解题的过程及解题后的反思．因此，要提高解题效率，就必须在“反思”上下功夫．     

例谈理解题意的有效途径

波利亚指出“掌握数学就意味着善于解题，”并把解题过程分为：理解题意，拟定方案，执行方案，回顾与反思四个过程．理解题意是解题的第一步．只有在正确理饵题意的基础上才有可能产生正确的解法．而题意理解错误往往是导致解题错误的主要原因．理解题意贯穿了解题的始终，对解题过程的回顾与反思也包含了对问题的进一步理解认识．由于对题意的不同理解而产生了不同的解法和答案，     

向前一小步能力一大步——高考复习中的开放性变式研究

新课教学要按教学规律办事，而高考复习要按考试规律办事．由于目前高考是以解题作为唯一测试手段的能力考试，这就决定了高考复习的成果最终必须表现为解题能力的提高，因此高考复习必须以解题训练为中心．可以说“解题”是数学学习，特别是高考复习的主要活动．波利亚有一句脍炙人口的名言：“掌握数学就是意味着善于解题”．在这里，“解题”近于“掌握数学”的同义语了．