对《一个公式的巧用》的一点补充

“数学教学通讯”85年第5期张山同志的文“一个公式的巧用”读后很受启发,公式(a b c)(a~2 b~2 c~2-ab-bc-ca)=a~3 b~3 c~3-3abc在解题中巧用之处不少。今就这个公式在三角恒等式的证明中巧用的一角补充几个例题,使该文更有说服力。例1.已知sinα sinβ sinγ=0, cosα cosβ cosγ=0 求证:(1)sin~3α sin~3β sin~3γ=3sinαsinβsinγ (2)cos~3α cos~3β cos~3γ=3cosαcosβcosγ证明:当a b c=0时,a~3 b~3 c~3=3abc令α=siaα,b=sinβ,c=sinγ,则sin~3α sin~3β sin~3γ=3sinαsinβsinγ。令a=cosα,b=cosβ,c=cosγ,则cos~3α cos~3β cos~3γ=3cosαcosβcosγ。利用例1的结论又得一题: 例2.已知:sinα sinβ sinγ=0, cosα cosβ cosγ=0 求证:(1)sin3α sin3β sin3γ     

构造法解题几例

例1.若锐角α,β,γ满足cos~2α cos~2β cos~2γ=1,求证:tgαtgβtgγ≥2 2~(1/2)。联想到长方体对角线,于是构造棱分别为a,b,c的长方体,立即得解。是为构图法。     

构造长方体解有关问题

长方体有如下人们所熟悉的性质:定理长方体的长、宽、高为 a、b、c,则其对角线长 l=(a~2 b~2 c~2)/(1/2).推论长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为α、β、γ,则 cos~2α cos~2β cos~2γ=1.     

用辅助问题法解题

我们常通过一个新颖、合适而有效的辅助问题,去帮助我们化简数学问题。下面我们通过若干例题介绍用辅助问题法解题。一、置换用一个形式简单或题型比较熟悉的等价问题去置换一个形式较为复杂或题型较为陌生的问题。例1 若锐角α、β、γ满足cos~2α cos~2β cos~2γ=1,求证:tgα·tgβ·tgγ≥2(2~(1/2))。分析:如果我们对长方体的一系列性质十分熟悉,那么就被下面一个直观性较强的辅助问题所代替,即,     

高中部分

1.如右图,设P是正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1的上底面A_1B_1C_1D_1内任一点。BP与三条棱AB、BC、BB_1所成的角分别为α、β、γ,那么cos~2α cos~2β cos~2γ的值是( )。 A.2 B.1 C.1/2 D.与P点的位置有关 解法一:以BP为体对角线在正方体内“割”出一个长方体,即为《立体几何》(甲种本) P56例1     

一道三角题的别证

《上海中学数学》1995年第3期“数学问题与解答”栏中给出了如下一道问题: 已知α、β、γ为锐角,且sin~2α sin~2β sin~2γ=1。 求(cosα cosβ cosγ)/(sinα sinβ sinγ)的最小值。 本文给出此题的两个简捷解法,供参考。     

构造对偶式解题

一、三角对偶式例1。化简cos~2α cos~2β-2cosαcosβcos(α β). 设原式为A,设B=sin~2α sin~2β 2sinαsinβcos(α β),则A B=2-2cos~2(α β)=2sin(α β),A-B=cos2α cos2β-2cos(α β)·cos(α-β)=0,故A=B=2sin~2(α β). 类似计算cos~2A cos~2B cos~2C 2cosAcosBcosC(A B C=π),Cos~2θ cos~2(θ 120°) cos~2(θ-120°)等.     

从一道全俄数学竞赛题的几何证法谈起

第21届俄罗斯中学生数学竞赛(第4阶段)十一年级第5题为: 已知角α、β、γ、满足不等式sinα sinβ Sinγ≥2,证明:cosα cosβ cosγ≤5~(1/2)。 参考答案给出了一种利用正余弦函数有界性的三角变换证法,本文另辟蹊径,现提供一种简明直观的几何证法。     

构造长方体 巧证不等式

对于长方体,教材给出了如下性质: 定理长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。性质1 长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别是α、β、γ,则 cos~2a cos~2β cos~2γ=1。性质2 长方体的一条对角线与各个面     

三角参数解题的背景

在解决数学问题时,有时需要引入三角参数,但何时引入、怎样引入,学生常会感到不知如何着手,这涉及到题目本身的背景问题。本文就此作一讨论。 一、以平方关系式为背景 在同角三角函数的八个基本关系式中有3个平方关系式:Sin~2α cos~2α=1;1 tg~2α=sec~2α;1 ctg~2α=csc~2α。     

数学练习题(十八)解答

103.α,β,τ为锐角且 cos~2α cos~2β cos~2τ=1,试证:(3)/(4)π<α β τ<π.证由条件可得:cos~2α=sin~2β-cos~2τ>0及 cos~2α=sin~2τ-cos~2β>0.因而又有:sinβ>cosτ及 sinτ>cosβ.于是:sinβ·sinτ>cosτ·cosβ,即 cos(β τ)<0,得:β τ>(π)/(2)·同法可证得:α β>(π)/(2)及τ α>(π)/(2),因而得:α β τ>(3)/(4)π·     

巧用公式，活解题——谈公式的几大作用

同角三角函数的基本关系式:sin~2α cos~2α=1,对于初学者来说易懂,易记,看似简单,但仔细分析,其内容丰富、应用广泛。下面让我们共同来见识它的几大作用。一、互化作用:将公式变形为"sin~2α=1-cos~2α或cos~2α=1-sin~2α",可实现sin~2α与cos~2α之间的互化。例1.已知cos~4α cos~2α 2=asin~4α bsin~2α c对任意α恒成立,求a,b,c.     

一道俄罗斯数学竞赛题的复数证法

第21届俄罗斯中学生数学竞赛(第四阶段)十一年级第5题:已知角α,β,γ满足不等式sinα sinβ sinγ≥2,证明:cosα cosβ cosγ≤5~(1/2).文[1]另辟蹊径,提供了一种简明直观的几何证法,并进一步推广得如下的:定理 设m∈R~ ,n∈N,n≥2,m≤n,角α_1,α_2,α_3,…,α_n满足不等式sinα_1 sinα_2 … sinα_n≥m,-(n~2-m~2)/(1/2)≤     

一命题的简证、推广与联想

题:求证:sin~(10)α cos~(10)α≥1/(16).这是摘自《中学数学》杂志上的一道题,其证法较多,本人给出这个不等式一种简洁证法.证明:sin~(10)α cos~(10)α=((1-cos2α)/2)~5 ((1 cos2α)/2)~5=1/(16)(5cos~42× 10cos~22α 1)     

借助一个条件等式解三角题

若角a、β、γ满足a β λ=π,则cos~2a cos~2β cos~2 2coxacosβcoxγ=1。这是一个常见的三角条件等式,它外观优美、形式整齐,容易记忆。一些含有或隐含有三角之和等于π的若干三角问题,借此可以获得新颖独特、简捷巧妙的解法。本文拟从四个方面进行初步探讨。 1.求三角函数式的值     

也谈一道俄罗斯数学竞赛题的新证法

《中学数学月刊》1998年第5期刊登了陶明斌老师的文章《一道俄罗斯数学竞赛题的复数证法》,文中给出证法十分简捷。本文利用重心坐标公式给出一种更简捷的证法。 题目 已知α,β,γ夕,满足不等式sinβ Sinβ Sinγ≥2,试证:cosα cosβ cosγ≤√5。(第21届俄罗斯中学数学竞赛第四阶段十一年级第5题) 证 如图所示,显然点A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ)C(cosγ,sinγ)都在单位圆x~2 y~2=1上, 由三角形的重心     

借题发挥,培养研究能力

许多教学参考资料中不少例题和习题 ,题中概念少 ,难度不大 ,但往往蕴藏着丰富的内容 .教学中若引导学生重视和钻研这些习题 ,不但能帮助学生全面掌握基础知识和基本技能 ,而且能培养学生的研究能力 .下举一例 ,望诸君赐教 .长方体的一条对角线与各个面所成的角分别为α、β、γ,求证 :cos2 α+cos2 β +cos2 γ =2 .本题证明 ,不再赘述 .在此前提下 ,我们从两个方面挖掘潜能 .一、多角度思考 ,培养发现问题的能力1.求证 :sinα +sinβ +sinγ≤3( cosα +cosβ +cosγ)≤ 6证明 :∵ cos2α +cos2β +cos2γ =2 ,∴ sin2 α +sin2 β +sin2 …     

点击“sin~2α+cos~2α=1”的应用

同角三角函数关系式“sin~2α cos~2α=1”在三角恒等变形中具有广泛的应用．本文作一介绍,供大家参考．一、正用例1已知tanα=m≠0,求sinα．解:由sin~2α cos~2α=1,sinα/cosα=tanα,可得tan~2α=sin~2α/cos~2α=1-cos~2α/cos~2α= 1/cos~2α-1,所以cos~2α=1/1 m~2,可得cosα=±1/(?)~(1/2)．又m≠0,知α终边     

从长方体对角线的性质定理谈起

高中《立体几何》(甲种本)第56页上有一个关于长方体对角线的定理:长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。由这一定理可获得推论一若长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为α、β、γ,则 cos~2α+cos~2β+cos~2γ=1。     

长方体内的三角不等式链

命题(一) 如果长方体的对角线与共顶点的三条棱所成角为α、β、γ,那么(i)sin~2α sin~2β sin~2γ=2