一个代数恒等式的诞生

《中学数学教学参考》编辑部举办的首届中学生数学智能通讯赛中高二年级试题第18题为 :若x ,y∈R ,x y =1,则xx2 y3 yx3 y2 ≤ 83 . ( 1)(从该刊 2 0 0 4年第 5期 p .5 9提供的解答来看 ,条件“x ,y ∈R”应为“x ,y ∈R ”)类比之 ,容易证得命题 1　若x ,y ,∈R ,x y =1,则xx y2 yx2 y ≤ 43 . ( 2 )证明　因为x y2 =y2 -y 1=( y-12 ) 2 34>0 ,x2 y>0 ,所以不等式 ( 2 )等价于3 [x(x2 y) y(x y2 ) ] ≤ 4(x y2 ) (x2 y) x3 y3 4x2 y2 -2xy≥ 0 (x y) 3-3xy(x y) 4x2 y2 -2xy≥ 0 4x2 y2 -5xy 1≥ 0 (xy-14 ) (xy-1)≥ 0 ( 3…     

一个代数恒等式的诞生

<中学数学教学参考>编辑部举办的首届中学生数学智能通讯赛中高二年级试题第18题为:     

一个代数恒等式的推广

初中代数中有这样一道化简题:已知abc=1,化简     

一个代数恒等式的应用

人教版初中《代数》第三册给出了一个重要的代数恒等式:ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是二次方程ax2+bx+c=0的两个根,也是二次函数y=ax2+bx+c与x轴两个交点的横坐标.巧妙地运用这一恒等式解题可使解题思路明显,过程简捷.下面以若干竞赛题为例说明这一恒等式的应用.     

一个代数恒等式及其应用

本文拟给出一个代数恒等式，并探讨它的一些应用．（1）式虽然简单，但很有用．它既可证明等式和不等式，又可加强不等式．下面举例说明．一、证明恒等式例2设a、b、c是△ABC的三边，△、P、r分别为其面积、半周长和内切圆半径．则证参照文[1]，（2）等价于因此，只要证由（1）、（4）易证（5）式成立．所以（3）成立，从而（2）得证．二、证明不等式例4设x，y，z是正数，则（6）式是W·Janous猜测，下面用（l）给出一个简捷证法．以上三式相加，整理得所以，（6）得证．三、加强不等式此即平均值不等式的加强．用a_i去替代上式中的a_i~2…     

一个恒等式的几何意义

一个恒等式的几何意义许国芳孙禾工（苍山县实验中学，２７７７００）在代数上起着重要作用的复数，在平面上的几何学中也能找到方便的有趣的应用．例如，根据复数运算的几何意义，解释四数所构成的交比的重要性质（ａ，ｄ，ｂ，ｃ）＋（ａ，ｂ，ｄ，ｃ）＝１，便可推得Ｅ...     

一个代数恒等式的不等联想

一、一个经典恒等式 命题1：若abc=1,则：1/ab＋a＋1＋1/bc＋b＋a＋1/ca＋c＋1=1.（1） 命题1是我们所熟知的一个著名恒等式,人们对其探究的热情一直持续不减,关于它的解法探讨和推广拓展的文章散见于各种书籍杂志．一种有趣的思考是：经过一些技术处理,将其向不等式方向发展,会有什么迷人的发现呢？     

一个应用广泛的代数恒等式

本文给出一个新的代数恒等式,利用它可以很容易地导出一些代数与几何不等式,并且这些不等式都是通常的一些重要不等式的推广形式。     

三角恒等式的几何模型

一些三角恒等式可以用平面几何方法证明,用于面几何法证明,自成体系,形象直观,可结合图形帮助记忆公式,其缺点是对角的范围有些限制。 本文试给出二十几个三角公式的几何证明,(以下提及之α,β,2α,α±β均为锐角) 1 证和差化积、积化和差公式     

一个三角恒等式的几何背景

文 [1]中的例 1是 :若 sin4θa + cos4θb =1a+ b(a,b为正数 ) .求证 :sin8θa3 + cos8θb3 =1(a+ b) 3 .该例是文 [2 ]例 4的特例 :设 sin4xa + cos4xb =1a+ b,a>0 ,b>0 .证明 :对任何正整数 n都有 sin2 nxan-1 + cos2 nxbn-1 =1(a+ b) n-1 .文 [2 ]用了丢番图恒等式来证明 ,并认为若用三角式的恒等变形 ,则过程复杂 ,运算冗繁 .实际上 ,如果发现了条件与结论中的某种对称性 ,用数形结合的思想和方法来思考 ,揭示这个三角恒等式的几何背景 ,简便易行 ,过程简明 ,体现了数学的和谐美与简洁之美 .设椭圆 (或圆 )的方程为(a+ b)· X2b + (a+ …     

用一个代数恒等式解一类竞赛题

利用配方法容易证明下面的代数恒等式:a~2 b~2 c~2-ab-bc-ca=1/2[(a-b)~2 (b-c)~2 (c-a)~2](*)上式左右两边关于 a、b、c 轮换对称,并且右边是三个非负数之和的一半,同时隐含着(a-b) (b-c) (c-a)=0这一条件.下面举例说明它在解一类竞赛题中的应用.     

一个代数不等式的几何证法

华东师大《数学教学》2002年第1期的“数学问题与解答”栏中的问题554是:已知x,y∈R,求证(1)经探究,不等式(1)的左端——作为关于x和y的二元函数表达式——其最小值并非是,而是,不等式(1)的右端疑为笔误(当然,原不等式(1),也是正确的,只是其中的等号不可能成立).     

一个代数不等式的几何解释

设a,b,c∈R_ ,则有(a~2 ab b~2)~(1/2) (b~2 bc c~2)~(1/2) (c~2 ca a~2)~(1/2)≥3~(*1/2)(a b c).这一不等式除代数证法外,文[1]、[2]都给出了一种几何证法。其思路是依余弦定理分别表出左端各项,然后求其最小值。但都没有给出左、右两     

一个代数不等式的几何证明

题:设x,y,z∈R,求证: x/(1 x xy) y/(1 y yz) z/(1 z zx)≤1. 这是《中等数学》1995年第6期数学奥林匹克高中训练题17二试第一大题。编者给出了一种代数证法,现在给出由我班学生曹     

一个几何命题的代数解法

问题1 平行四边形ABCD内有P。使∠PAB=∠PCB。 求证:∠PBC=∠PDC。 此题目极流行的证法是几何变换法。(见单墫《数学竞赛研究教程》,江苏教育出版社(1993),第351页)下面我们给出一种代数证法。     

一个代数不等式的几何解释

定理 对任意实数a、b、c、d有 (a~2 b~2 c~2 d~2)~2 ≥(-a b c d)(a-b c d) ·(a b-c d)(a b c-d),①当且仅当a=b=c=d>0时等号成立.     

三角形旁切椭圆的一个几何恒等式

先证明一个关于三角形旁切圆的一个几何恒等式： 命题1 设O是△ABC的分别与BC边,AC、AB延长线相切的旁切圆的圆心,则下列等式恒成立：     

一个三角恒等式的几何解释及其应用

有如下一个三角恒等式:cosα cos(120°-α) cos(120° α)=0(其中α为任意角) (*) 下面主要给出它的一个几何解释及其应用。     

一个三角恒等式在几何解题中的应用

几何问题的三角解法,早已为大家熟知,并且成为解决许多几何问题的行之有效的方法。不过,对于结果中出现的是线段平方和的等式的证明,一般说来,三角法就显得不够灵活了。本文拟通过三角函数恒等式sin~2θ+sin~2(60°+θ)+sin~2(60°-θ)=cos~2θ+cos~2(60°+θ)+cos~2(60°-θ)=3/2(*),来寻求一种与正三角形有关的几何问题的解法。以下用四个例子来说明解答这类问题的一般途径。