数学竞赛初级讲座 西姆松定理及应用

1　基础知识西姆松定理　过三角形外接圆上异于顶点的任意一点作三边的垂线 ,则三垂足共线 (此线称为西姆松线 ) .证明 :如图 1 ,设P为△ABC的外接圆上任一点 ,从P向三边BC、CA、AB所在直线作垂线 ,垂足分别为L、M、N .连结PA、PC ,由P、N、A、M四点共圆 ,有∠PMN =∠PAN =∠PAB =∠PCB =∠PCL .又P、M、C、L四点共圆 ,有∠PML =∠PCL .故∠PMN =∠PML ,即L、N、M三点共线 .注 :此定理有许多证法 .例如 ,如图 1 ,连结PB ,令∠PBC =α ,∠PCB =β ,∠PCM =γ ,则∠PAM =α ,∠PAN =β ,∠PBN =γ ,且BL =PB…     

数学竞赛初级讲座 柯西不等式

柯西不等式是一个十分重要的不等式定理 ,从近年来国内外各级竞赛中不难看出 ,许多涉及不等式的赛题 ,若能运用柯西不等式进行求解 ,便可获得较为简明的解法 .一、基础知识1 柯西 (Ｃａｕｃｈｙ)不等式定理　设ａ1、ａ2 、…、ａｎ,ｂ1、ｂ2 、…、ｂｎ 均是实数 ,则(ａ1ｂ1 ａ2 ｂ2 … ａｎｂｎ) 2≤ (ａ12 ａ2 2 … ａｎ2 ) (ｂ12 ｂ2 2 … ｂｎ2 ) ,等号当且仅当ａｉ=λｂｉ(λ为常数 ,ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ)时成立 .这个命题的证明在一般的竞赛教程中都可以查找到 ,这里从略 .2 柯西不等式的推论推论 1　设ａ1、ａ2 、…、ａｎ,ｂ1…     

数学竞赛中的二项式定理问题归类解析

以近些年全国各省市高中数学预赛试题为例,梳理其中与二项式定理有关的问题类型与求解途径.     

数学竞赛单元训练题二项式定理及其应用

一、选择题 1.若(x十1)’~扩+…十。扩+b袱+Cx十1(n任N+,且a’b~3,1,那么b的值是(). A。55 B.60 C.66 D.70 2 .1+ZC盖。。。+以00.+ZC皇。。‘+C茎。。‘+ZC妻。。。+…+ZC湍息+C盖名韶~(). A.2·32006 B.2·3200, C.3·22006 D.3·22005 3.(2十了王)’“的展开式中二的整数次幂项的系数之和为().第O行第1行第2行第3行第4行 1 1 12.’1 3311」4 641,一它们的比是项系数与第系数最大的项.A.含“+3’·“,e.合“十2’”+”B·合(1+52一)D·合(1+22·+1)3项系数之比为琴,求展开式中 O16。(一1)’十吃·A红,4.函数f(x)一1十C子+C盖+…     

数学竞赛初级讲座 三角函数的最值

求三角函数的最值 ,在知识上 ,除涉及三角函数的所有知识外 ,还用到了二次函数、不等式等其他重要的知识点 ;在解题的方法上 ,具有较强的综合性 .因此 ,求三角函数的最值能综合考查学生分析问题、解决问题的能力 ,所以它也就成为各级数学竞赛中的一个热点内容 .一、基础知识求三角函数的最值的常用方法有 :1 .通过适当的三角变换 ,把所求的三角式化为 ｙ=Ａｓｉｎ(ωｘ φ) ｂ的形式 ,利用正弦函数的有界性求其最值 .2 .把所求问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题 .3 .利用数形结合的方法求最值 .4 .利用基本不等式求最值 .5.利用三…     

高考数学中的二项式定理问题

近几年高考中与二项式定理有关的内容的试题一般为一个，题型为选择题或填空题，多为容易题和中等题．高考主要针对二项式定理的展开式的有关性质及其应用进行考查．下面笔者对其作一分类归纳，并分别进行阐述．     

数学竞赛中涉及二项式定理的基本题型及解决方法

二项式定理,由于结构复杂,多年来在高考中未能充分展现其应有的知识地位,而数学竞赛的命题者却对其情有独钟.本文结合近几年的考题,来谈谈一些基本的题型及解决方法.     

二项式定理

二项式定理是中学数学的一个重要定理,不仅在初等数学学习中有着广泛应用,而且又是学习概率、微积分等有关高等数学知识的重要基础.ZHONGDIAN NANDIAN重点难点重点:二项式定理的通项公式和二项式系数的性质.难点:二项式定理的应用.     

二项式定理

二项式定理是中学数学的一个重要定理,不仅在初等数学学习中有着广泛应用,而且又是学习概率、微积分等有关高等数学的重要基础知识.重点难点重点:二项式定理的通项公式和二项式系数的性质.难点:二项式定理的应用.方法突破1.二项式定理是恒等式,要注意公式的正用和逆用:从左往右用,可解决如整除性问题、余数问题、近似计算等;从右往左用,是把一个多项式合并,或者是一个求和公式,利用它可解决某些求和的问题.     

排列组合二项式定理中的数学思想方法

现行高中数学中的排列和组合,是当今发展很快的组合数学的最初步的知识.虽然在高考中占分不多,但是这种以计数问题为特征的内容在中学数学中是较为独特的,不仅应用广泛、蕴含的思想方法丰富,也是学习后续的概率统计知识以及进一步学习高等数学有关分支的准备知识,特别是新教材中对于数学思想方法的渗透贯穿于这一章节的始终,这是我们在教学中要加以重视的.本文通过实例介绍几种常用的数学思想方法在排列组合中的运用.     

以数学理论指导二项式定理的教学

美国当代著名教育家布鲁纳曾提出“教什么?”、“什么时候教?”、“怎样教?”等问题。他指示:在教学中应设计最佳教学程序,即要求教师要具体了解学习者的认知水平,已有的经验,教     

巧用二项式定理

在(a+b)~n的展开式中,给a,b赋予不同的值,可得到多种形式的组合恒等式,注意灵活应用;有时也可以构造同一问题的不同解法,通过变更问题,使问题获得解决。     

数学竞赛讲座——位似变换

若图形F′和图形F的点和点之间。具有下列性质的对应关系：     

排列组合二项式定理

实质追索 随着计算机科学、数字通讯理论等现代科学的迅速发展，使组合数学这一具有悠久历史的数学分支在自然科学和社会科学的众多领域中得到了广泛的应用。组合数学的研究课题之一，是在给定一个集合之后，确定这个集合中元素的个数，这一问题称为计数问题，而同学们所学习的排列组合是解决计数问题的基本工具之一。排列组合也是与我们日常生活联系最为密切的高中数学内容，如可应用来计算世界杯球赛比赛场数、有多少种可能的比赛结果、足球彩票有多少种不同的填写方法等等。     

浅析二项式定理

二项式定理内容是高考考点之一。本文将近两年高考二项式定理试题归类解析,从中分析考题形式与特点,克服复习的盲目性,增强自觉性,提高复习效率。     

广义二项式定理

本文用初等方法研究二项式定理的推广。对于正整数n,已知对于负指数,如我们将要证明的,对应的结果是:如果-1相似文献   

巧用二项式定理

由二项式定理:(a+b)~n=C_n~0a~n+C_n~1a~(n-1)b+…+C_n~nb~n,(a-b)~n=C_n~0a~n-C_n~1a~(n-1)b+…+(-1)~nC_n~nb~n相加可得 (a+b)~n+(a-b)~n =2(C_n~ca~n+C_n~2a~(n-2)b~2+C_n~4a~(n-4)b~4+…)。(*)合理利用(*)式,可解答几类难度较大的问题。