巧妙构造一元二次方程

一、利用根的定义构造一元二次方程例 1　已知ａ、ｂ为互不相等的实数 ,且ａ2 =7- 3ａ,ｂ2 =7- 3ｂ.求ａ2 +ｂ2 的值 .(2 0 0 2年北大附中中考模拟题 )分析　观察发现 ,ａ、ｂ实际上是方程ｘ2 +3ｘ-7=0的两个互不相等的实根 ,从而可以利用根与系数的关系求ａ2 +ｂ2 的值 .　解　由ａ2 =7- 3ａ ,ｂ2 =7- 3ｂ ,知ａ、ｂ是方程ｘ2 +3ｘ- 7=0的两个根 ,则ａ +ｂ =- 3,ａｂ=- 7.∴　ａ2 +ｂ2 =(ａ +ｂ) 2 - 2ａｂ =(- 3) 2 +2× 7=2 3.例 2　已知ａ2 +ａｃ+ｃ2 =0 ,ｂ2 +ｂｃ+ｃ2 =0(ｂ≠ａ) ,请猜想ａ2 +ａｂ +ｂ2 的值 ,并证明你的猜想 . (2 0 …     

巧用韦达定理逆定理 妙解一类竞赛试题

韦达定理和其逆定理是初中数学中一个充满活力的定理 ,不但在历年的中考试题中是一个命题的热点 ,而且其逆定理在初中数学竞赛中应用也较多 ,现举例如下 .例 1　已知实数ａ、ｂ满足ａ2 +ａｂ+ｂ2= 1,且ｔ =ａｂ-ａ2 -ｂ2 ,那么ｔ的取值范围是 (2 0 0 1年ＴＩ杯全国初中数学竞赛试题 ) .解　由ａ2 +ａｂ+ｂ2 =1,ｔ=ａｂ -ａ2-ｂ2 得 ,ａ2 +ｂ2 =1-ｔ2 ,ａ2 ｂ2 =1+ｔ22 ,则以ａ2 、ｂ2 为根的一元二次方程为 :ｘ2 -1-ｔ2 ｘ+ 1+ｔ22 =0 ( ) ,因为ａ、ｂ为实数 ,所以方程 ( )有实数根 ,即Δ =1-ｔ22 -4 1+ｔ22 ≥ 0 ,得 -3 ≤ｔ≤-13 .例 2　…     

应用根与系数的关系应注意的问题

一元二次方程的根与系数的关系是一个非常重要的知识点 ,应用十分广泛 .但是 ,应用这个定理时有几个应注意的问题 ,必须引起大家的重视 .第一 ,要注意对判别式的检验课本叙述根与系数的关系时说 :如果ａｘ2 +ｂｘ+ｃ=0 (ａ≠ 0 )的两个根是ｘ1、ｘ2 ,那么ｘ1+ｘ2 =-ｂａ,ｘ1·ｘ2 =ｃａ.请注意“如果……” ,它告诉我们 ,在实数范围内应用根与系数的关系的条件是 :方程必须有两个实根 ,即Δ≥ 0 .有的同学不注意对判别式的检验 ,往往在这里出错 .例 1　方程ｘ2 -(ｍ +1 )ｘ +3ｍ -5=0的两个实数根为α、β ,且α2 +β2 =1 6,求ｍ的值 .错解…     

一元二次方程实根符号的确定

一元二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ=0 (ａ≠ 0 )两实根的符号可由“Δ =ｂ2 -4ａｃ”、“ｘ1 ｘ2 =-ｂａ”和“ｘ1·ｘ2 =ｃａ”确定 .具体分以下几种情况 :1 两根同正 Δ≥0 ,ｘ1 ｘ2 =-ｂａ>0 ,ｘ1·ｘ2 =ｃａ>0 .2 两根同负 Δ≥0 ,ｘ1 ｘ2 =-ｂａ<0 ,ｘ1·ｘ2 =ｃａ>0 .3 有一个正根 ,一个负根 ｘ1·ｘ2 =ｃａ<0 .特别地 ,有一正根一负根且正根绝对值较大时 ｘ1 ｘ2 =-ｂａ>0 ,ｘ1·ｘ2 =ｃａ<0 .有一正根一负根且负根绝对值较大时 ｘ1 ｘ2 =-ｂａ<0 ,ｘ1·ｘ2 =ｃａ<0 .两根互为相反数 ｂ =0 ,ｘ1·ｘ2 =ｃａ<0 .特别地 ,有一个根为 …     

"三角判别式"及其应用

高中代数上册第 2 97页给出了三角方程 ａｓｉｎｘ ｂｃｏｓｘ ｃ =0 (ａ、ｂ不同时为零 )有解的 条件是 | ｃ ａ2 ｂ2 |≤ 1 ,即ａ2 ｂ2 -ｃ2 ≥ 0。若记Δ = ａ2 ｂ2 -ｃ2 ,并称其为“三角判别式” ,可进一步得到 : 定理　对于三角方程ａｓｉｎｘ ｂｃｏｓｘ ｃ =0 (0≤ ｘ <2π ,ａ、ｂ不同时为零 ) ,则 ①方程有两个不同解 Δ >0 ; ②方程有唯一解 Δ =0 ; ③方程无解 Δ <0。 证明极其简单 ,只要将原方程化为ｓｉｎ(ｘ φ) = -ｃ ａ2 ｂ2 ,其中 φ由ｓｉｎφ =ｂ ａ2 ｂ2 ,ｃｏｓ…     

简单无理方程中参数取值的求法

求简单无理方程中参数的取值范围 ,方法有二 :1 增根控制法此方法主要从两个方面入手 :( 1)首先把无理方程化为一元二次方程 ,考虑其判别式 ;( 2 )考虑无理方程本身成立的条件和控制出现增根的条件 .再结合 ( 1)、( 2 ) ,即可准确求得参数的取值范围 .例 1　若方程 2ｘ 1=ｘ ａ有两个不同的实根 ,求满足条件的ａ .解 :( 1)原方程两边平方并整理 ,得ｘ2 ( 2ａ - 2 )ｘ ａ2 - 1=0 .Δ =( 2ａ - 2 ) 2 - 4(ａ2 - 1) >0 ,解得ａ <1.( 2 )原方程成立的基本条件是2ｘ 1≥ 0 ,ｘ ａ≥ 0 ,即 ｘ≥ - 12 ,ｘ≥ -ａ .要使方程无增根 ,则 -ａ≤ -…     

判别式的应用

知识链接　　①一元二次方程根的判别式Δ >0 方程有两个不相等的实数根 ;②Δ =0 方程有两个相等的实数根 ;③Δ <0 方程没有实数根 .一、不解方程 ,判断一元二次方程根的情况例 1　方程ｘ2 -ｘ + 2 =0的根的情况是 (　　 ) .(Ａ)有两个不相等的实数根(Ｂ)有两个相等的实数根(Ｃ)没有实数根(Ｄ)不能确定 (2 0 0 1年辽宁省大连市中考题 )分析　∵　Δ =(-1) 2 -4× 1× 2 =-7<0 ,∴　给定方程没有实数根 .故应选 (Ｃ) .例 2　已知关于ｘ的一元二次方程ｍｘ2 -2 (ｍ + 1)ｘ +ｍ -2 =0 (ｍ >0 ) .求证 :这个方程有两个不相等的实数根 .(2 0…     

巧用方程根的定义解题

若ｘ1 ,ｘ2 是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的两根 ,则有ａｘ1 2 +ｂｘ1 +ｃ=0 ,ａｘ2 2 +ｂｘ2 +ｃ=0。若ａｘ1 2 +ｂｘ1 +ｃ=0 ,ａｘ2 2 +ｂｘ2 +ｃ=0 (ａ≠ 0 ) ,则当ｘ1 ≠ｘ2 时 ,ｘ1 ,ｘ2是方程的两不等实根 ;当ｘ1 =ｘ2 时 ,ｘ1 ,ｘ2 是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0的两个相等实根。灵活运用上述结论解涉及一元二次方程的有关问题 ,常能化繁为简 ,化难为易 ,举例如下 :例 1　若α ,β是方程ｘ2 + 2ｘ - 2 0 0 1 =0的两个实数根 ,则α2 + 3α +β等于 (　　 ) ( 2 0 0 1年山东省威海市中考题 )Ａ .- 2 0 0 0 ;　　Ｂ .2 0 0 0 ;　　Ｃ…     

用判别式法解题的注意点

判别式Δ=ｂ2 -4ａｃ的代数涵义是判别一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ+ｃ =0有无实根 .随着对二次函数 ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ的图象和性质研究 ,判别式的几何涵义表现为判断抛物线与ｘ轴有无交点 .作为一种重要的数学方法 ,若能正确巧妙地运用判别式法 ,就能给人们一种简单明快、耳目一新的感觉 ,但是 ,若不能正确地把握好使用判别式法解题的条件和本质特征 ,就会造成错误 .因此 ,对如何使用判别式法解题的有关问题 ,必须引起我们注意 .一、注意使用判别式法解题的条件例 1　当实数ｔ为何值时 ,方程ｘ2 + (ｔ+2ｉ)ｘ+ (2 +ｔｉ) =0至少有一个实根 ?…     

谈韦达定理的应用

本文均设x_1,x_2是一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)的两个根,Δ=b~2-4ac为该方程的判别式。下面就初中讲授一元二次方程谈点体会。 一、应用韦达定理不必考虑Δ≥0 1.两根异号的问题。因为此问题就告诉了方程有不相同的两实根,所以Δ>0。     

成果集锦 三角形的顶点式方程再探

定理　设△ＡＢＣ的顶点为Ａ (ｘ1,ｙ1)、Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 )、Ｃ(ｘ3,ｙ3) ,Ｐ(ｘｐ,ｙｐ)为△ＡＢＣ内任一点 ,则△ＡＢＣ的方程为|ａ1ｘ ｂ1ｙ ｃ1 |ｆ2 || |ｆ2 | ａ3ｘ ｂ3ｙ ｃ3=0 .①其中ｆ2 =ｘ　ｙ　 1ｘ1　ｙ1　 1ｘｐ　ｙｐ　 1,ａ1=( ｙ3-ｙｐ)Δ -( ｙ2 -ｙｐ)Δ2Δ3,ｂ1=(ｘ3-ｘｐ)Δ -(ｘ2 -ｘｐ)Δ2Δ3,ｃ1=(ｘｐｙ3-ｘ3ｙｐ)Δ1 (ｘ2 ｙｐ-ｘｐｙ2 )Δ2Δ3,ａ3=[2Δ1Δ2 ( ｙ2 -ｙ3) Δ1Δ3( ｙ3-ｙ1) Δ2 Δ3·( ｙ1-ｙ2 ) ]/ΔΔ3,ｂ3=[2Δ1Δ2 (ｘ2 -ｘ3) Δ1Δ3(ｘ3-ｘ1) Δ2 Δ3·(ｘ1-ｘ2 ) ]/ΔΔ3,ｃ3=[2Δ1Δ2…     

判别式在初中数学中的应用

在一元二次方程一般式中(ax~2+bx+c=0,其中a≠0),有其根的判别式Δ=b~2-4ac,当Δ>0时有两个不等实根,当Δ=O时有两个相等实根,当Δ<0时无实根。从一元二次方程的求根公式中能更好地理解判别式本身。还可推广到利用判别式判断二次三项式是否是完全平方式,一元二次方程有有理数根的条件,有整数根的条件,从判别式自身表现的不同特征探索其用法,更有利于判     

2003年高考数学模拟试题

一、选择题 :1.设集合Ｍ ={ 1,2 } ,则满足Ｍ∪Ｎ { 1,2 ,3 }的集合Ｎ的个数为 (　　 ) .Ａ .1　　Ｂ .4　　Ｃ .7　　Ｄ .82 .已知方程 2 ｘ+ｘ =0的实根为ａ ,ｌｏｇ2 ｘ =2 -ｘ的实根为ｂ ,ｌｏｇ12 ｘ =ｘ的实根为ｃ ,则ａ ,ｂ ,ｃ的大小关系是 (　　 ) .Ａ .ｂ>ａ >ｃ　　Ｂ .ｂ >ｃ >ａ　　Ｃ .ｃ >ｂ >ａ　　Ｄ .ａ >ｂ >ｃ3 .已知当α∈ -3π4,-π2 时 ,则下列不等式成立的是 (　　 ) .Ａ .ｓｉｎα >ｃｏｓα　　Ｂ .ｓｉｎα >ｔａｎα　　Ｃ .ｔａｎα >ｃｏｔα　　Ｄ .ｃｏｓα >ｃｏｔα4.已知ｙ =ａｒｃｓｉｎ(ｓｉｎｘ) ,…     

妙解二元二次不定方程

对于二元二次不定方程 ,若能整理成某个字母的一元二次方程 ,应用根的判别式求解 ,有时显得十分简捷 ,下面列举几例 ,供参考 .例 1　求不定方程ｘ ｙ=ｘ2 -ｘｙ ｙ2 的整数解 .解　将方程整理成关于ｘ的一元二次方程　　ｘ2 - (ｙ 1)ｘ (ｙ2 - ｙ) =0 ,判别式Δ =(ｙ 1) 2 - 4(ｙ2 - ｙ)≥ 0 ,即 (ｙ - 1) 2 ≤ 43.因 ｙ为整数 ,∴ｙ =0 ,1,2 .把 ｙ=0代入原方程中 ,得ｘ =0或ｘ =1;把 ｙ =1代入原方程中 ,得ｘ =0或ｘ =2 ;把 ｙ=2代入原方程中 ,得ｘ =1或ｘ =2 ;∴原不定方程的整数解为ｘ =0 ,ｙ=0 ;　 ｘ =1,ｙ=0 ;　 ｘ =0 ,ｙ=1;…     

代换法证明不等式

例 1　已知ｘ ,ｙ ,ｚ>0 ,证明 :ｚ2 -ｘ2ｘ + ｙ + ｘ2 -ｙ2ｙ +ｚ + ｙ2 -ｚ2ｚ +ｘ ≥ 0 .证明　设ｘ+ ｙ =ａ ,ｙ +ｚ=ｂ ,ｚ +ｘ=ｃ ,则ｚ-ｘ =ｂ-ａ ,ｘ -ｙ =ｃ-ｂ ,ｙ-ｚ=ａ -ｃ,ａ ,ｂ ,ｃ>0 .于是原式等价于ｂｃａ + ｃａｂ + ａｂｃ ≥ａ +ｂ+ｃ .由ｂｃａ + ｃａｂ ≥ 2ｃ等得证 .例 2　在 ＡＢＣ中 ,ａ +ｂ +ｃ=2ｓ ,ａ ,ｂ,ｃ为三边 ,则ａｂｃ≥ 8(ｓ-ａ) (ｓ -ｂ) (ｓ-ｃ) .证明　设ｓ -ａ =α ,ｓ-ｂ =β ,ｓ-ｃ =γ ,则α ,β ,γ >0 ,α+ β =ｃ,β +γ=ａ ,α +γ=ｂ.于是原式等价于(α + β) (β+γ) (γ +α)≥ 8αβ…     

《一元二次方程》2000年中考题选登

一、填空题1 一元二次方程 (ｘ - 1) 2 =2的根是 . (福建省莆田市 )2 一元二次方程ｘ2 + 4ｘ - 12 =0的根是 . (吉林省 )3 方程ｘ2 + 3ｘ - 40 =0的根的判别式Δ =. (四川省 )4 关于ｘ的一元二次方程ｘ2 - 2ｘ + 3=0的根的情况是 . (云南省曲靖市 )5 若关于ｘ的方程ｘ2 + 2ｘ +ｍ =0有两个相等的实数根 ,则ｍ =.(宁夏回族自治区 )6 关于ｘ的一元二次方程ｘ2 + 2ｋｘ +ｋ - 1=0的根的情况是 . (内蒙古包头市 )7 若关于ｘ的一元二次方程ｍｘ2 - 2 (3ｍ - 1)ｘ + 9ｍ - 1=0有两个实数根 ,则ｍ的取值范围是 . (贵州省贵阳市 )8 如果方程ｘ2 -…     

妙题巧解(五)

1 已知ｘ1、ｘ2 是关于ｘ的方程ｘ2 -ｋｘ +2ｋ -6 =0的两个根 ,且 0 <ｘ1<1 ,3<ｘ2 <4 ,求ｋ的取值范围 .2 已知 5 (ａ -ｂ) + 5 (ｂ -ｃ) + (ｃ-ａ) =0 ,且ａ≠ｂ.求证 :4ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ≥ 4ａｂ -2ｂｃ +4ｃａ.3 设有五个自然数 ,其中每四个数的和分别是 39,4 1 ,4 2 ,4 4,4 6 ,求这五个自然数 .4 若三角形内的数是 6 ,四边形内的数是1 0 ,五边形内的数是 1 5 ,六边形内的数是 2 1 ,根据上述规律请你猜想 ,二十边形内的数应是.5 已知ａ +ｂ +ｃ=0 ,4ａ -2ｂ +ｃ=0 ,ａ -ｂ +ｃ>0 .求证 :4ａ+ 2ｂ+ｃ<0 .参考解答图 11 若用方程的观点…     

一类分式函数值域的求法

求形如 ｙ =ａ1ｘ2 ｂ1ｘ ｃ1ａ2 ｘ2 ｂ2 ｘ ｃ2(ａ1与ａ2 ,ａ1与 ｂ1,ａ2 与ｂ2 均不同时为零 )的分式函数的值域 ,最常用的方法是“判别式”法 ,但当自变量ｘ仅在定义域内的某个子区间上取值时 ,判别式法就不再能用 ,而若转化为一元二次程实根的分布问题 ,如求函数 ｙ=ｓｉｎ2 ｘ - 3ｓｉｎｘ 4ｓｉｎ2 ｘ 3ｓｉｎｘ 4的值域 .若设ｓｉｎｘ =ｔ,则转化为求函数 ｙ=ｔ2 - 3ｔ 4ｔ2 3ｔ 4(- 1≤ｔ≤ 1)的值域 ,由文 [1]知判别式法不能用 .文 [1]是将问题转化为关于ｔ的一元二次方程 (ｙ- 1)ｔ2 3(ｙ 1)ｔ 4(ｙ -1) =0在区间…     

巧用“△≤0”求最值

大家知道 ,一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 )根的判别式Δ =ｂ2 - 4ａｃ有着广泛的应用 .下面就用Δ≤ 0求某些函数最值谈谈它的应用 .例 1　若ｘ、ｙ、ｚ为正实数 ,且ｘ + 3ｙ + 5ｚ =15,求 ｘ + 5ｙ+ 2ｚ的最大值 .解 :设函数ｆ (ｍ ) =(ｘ + 3ｙ + 5ｚ)ｍ2 + 2 (ｘ + 5ｙ + 2ｚ)ｍ +1+ 532 + 252 =( ｘｍ + 1) 2 + 3ｙｍ + 532 + 5ｚｍ + 252≥ 0 ,ｘ + 3ｙ + 5ｚ=15>0 ,所以Δ =4 (ｘ + 5ｙ+ 2ｚ) 2 - 4(ｘ + 3ｙ + 5ｚ) 1+ 53+ 25≤ 0 .即ｘ +5ｙ+ 2ｚ≤ 4 6 .易得等号可以成立 ,故所求式的最大值为 4 6 .例 2　设θ为锐角 ,求…     

方程综合题

方程综合题是指以一元二次方程为中心的初中代数方程的综合题 .它涉及方程、方程组、判别式、根与系数的关系、函数等知识点 .以灵活的变换 ,丰富的转化思想为特征 .它是中考命题的一个热点 .例 1　已知关于ｘ的一元二次方程ｍｘ2 -(2ｍ -1 )ｘ +ｍ -2 =0 (ｍ >0 ) .(1 )求证 :这个方程有两个不相等的实数根 ;(2 )如果这个方程的两个实数根分别为ｘ1、ｘ2 ,且 (ｘ1-3 ) (ｘ2 -3 ) =5ｍ ,求ｍ的值 . (2 0 0 0年上海市中考题 )分析　 (1 )要证明已知的一元二次方程有两个不相等的实数根 ,只要证明判别式Δ >0 ;(2 )运用根与系数的关系 ,列出关…