一道很有教学价值的几何命题

命题　直三棱柱ＡＢＣ -Ａ1Ｂ1Ｃ1被一个平面所截 ,得截面△Ａ2 Ｂ2 Ｃ2 ,且ＡＡ2 =ｈ1,ＢＢ2 =ｈ2 ,ＣＣ2 =ｈ3,若△ＡＢＣ的面积为Ｓ ,则介于截面与下底面之间的几何体体积为 :Ｖ =13 Ｓ(ｈ1+ｈ2 +ｈ3) ( )1　思路探索从几何图形观察 :当ｈ1、ｈ2 、ｈ3不全相等时 ,截面图 1下面是个不规则的多面体 ,如何求其体积 ?通常采用割补法 ,将其变为规则几何体(如柱、锥、台 ) ,再运用公式。从所证式子观察 :式子右端可拆成三项之和 ,而这三项均为以三棱柱底为底 ,ｈ1、ｈ2 、ｈ3为高的三棱锥体积 ,由此猜想 ,将几何体分割成三个三棱锥 ,故知可连…     

例谈几何体的5种常见变换

立体几何考查的立足点放在空间图形上,突出对空间观念和空间想象能力的考查.不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题,也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间位置关系的问题.即使是考查空间线面位置关系的问题,也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想,能把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题,会等体积转化求解问题,能把立体几何问题转化为平面几何问题求解,或者,把平面问题转化为立体问题来解决等.概括起来几何体常见的变换有“折”、“割”、“拼”…     

一个旋转体体积公式的证明及运用

求旋转体的体积,在高中立体几何中是常见题。但有些旋转体的体积,用现行《立体几何》教材上的公式来计算是相当麻烦的。例如下题: 已知三角形ABC三顶点的坐标分别为A(2,1)、B(6,2)、C(4,5),求△ABC绕y轴旋转一周所得几何体的体积。(如图一)。按常规方法,须分别求出图中四个直角梯形B’BCC’、B’DCC’、A′ABB’及A′ADB’     

旋转体体积一般积分公式的坐标变换法推导

根据已有的已知截面面积的几何体体积积分公式,通过坐标变换,推导沿倾斜轴旋转的旋转体体积的一般积分公式,继而推导作为其特殊形式的平面曲线绕坐标轴旋转所得旋转体体积的积分公式,列举公式的应用.     

巧割妙补求体积

我们学习了规则几何体的体积公式V柱体=S底h,V锥体=1/3S底h,V球=4/3πR^3,当我们遇到求非规则的几何体的体积问题时,就要把所求问题转化为求规则几何体的体积．这种转化常用到以下两种方法：一是把非规则的几何体分割成若干个规则的几何体,即分割的方法;二是把这个非规则的几何体添补若干个规则的几何体成为一个新的规则几何体,即补形的方法．二者统称为割补法．     

旋转体体积计算的一般公式

本文介绍一种求旋转体体积的一般公式的方法,然后由此公式可导出在各种特殊情形下计算旋转体的体积公式.该方法简洁,可不利用坐标轴的平移和旋转公式.     

求环体体积的初等方法

中学立体几何中,用初等方法导出了柱体、锥体、台体、球及球缺的体积公式.还有一种常见的旋转体——环体的体积,是否也可用初等方法加以解决?现给以肯定的回答。设环体是由半径为r的圆绕同一平面内与它不相交的定直线旋转而成的.其中圆心到定直线的距离为l.(图一) 一个几何体体积,往往可应用祖日恒原理,通过一个与之等体积的而又能求体积的几何体的体积来获得,环体也如此,具体的做法如下: 把一个底面半径为r,高为2πl的圆柱     

微元法求旋转体体积的几何研究

运用定积分中的微元法可以求旋转体的体积,一般教材都给出了平面图形绕坐标轴或者平行于坐标轴的直线旋转得到的几何体体积.本文从几何直观去刻画该方法,给出了平面图形绕斜直线旋转所得旋转体的体积计算公式,对定积分的几何应用做了推广.     

定积分应用中的一个问题

有些中学生问我:“微积分初步”课本上求旋转体的体积和侧面积时,都是把它们分成n个厚度同为△X的薄片,使得薄片很薄,再用我们熟悉的几何体对这些薄片作近似代替进行计算,然后求和,在△X→0时这和的极限就是旋转体的体积或侧面积。但是,在求体积时利用的几何体是相应的小圆柱,而在求侧面积时却是用相应的小圆台,这是为什么?     

能“割”善“补”速解题

根据已知条件 ,将一个不规则的、较复杂的几何体用截面分割成几个规则的、容易计算的简单几何体 ,或将几何体补成规则的、便于计算的几何体并加以解决的方法叫做割补法 .本文拟介绍几种常见的分割、补形方法 ,供参考 .　　　　　图 11　分割法　　例 1　 ( 1999年全国高考题 )如图 1,在多面体ＡＢＣＤＥＦ中 ,已知面ＡＢＣＤ是边长为 3的正方形 ,ＥＦ ∥ＡＢ ,ＥＦ=32 ,ＥＦ与面ＡＣ的距离为 2 ,则该多面体体积为 (　　 )(Ａ) 92 　 (Ｂ) 5　 (Ｃ) 6　 (Ｄ) 152 .分析　由条件易知多面体ＡＢＣＤＥＦ为不规则的几何体 ,欲求其体积 ,则可把其…     

等底等高的两个几何体体积相等吗

我们先看一个例子 .例 1　 ( 1990年全国高考题 )在三棱柱ＡＢＣ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 中 ,Ｅ ,Ｆ分别是ＡＣ ,ＡＢ的中点 .平面ＥＣ1 Ｂ1 Ｆ将棱柱分成体积为Ｖ1 、Ｖ2 的左右两个部分 .求Ｖ1 ∶Ｖ2 .有一位同学提出下列解法 .过ＥＦ作一个平面与侧面ＢＣ1 平行 .如图 1,并设 ＡＥＦ面积为Ｓ ,棱柱的高为ｈ ,易知棱柱被分成了三块即 :Ａ1 Ｅ1 Ｆ1 -ＡＥＦ ,ＥＦ -Ｅ1 Ｆ1 Ｂ1 Ｃ1 ,Ｂ1 Ｃ1 -ＣＢＦＥ .其中第一个是三棱柱 ,第二个与第三个几何体的底面积ＳＥＦＢＣ=ＳＥ1 Ｆ1 Ｂ1 Ｃ1 ,且高也相等 ,所以ＶＥＦ-Ｅ1 Ｆ1 Ｂ1 Ｃ1 =ＶＢ1 Ｃ1 -ＣＢ…     

定积分应用中关于极坐标方程表示的几个计算公式

笔者拓广性推导出定积分应用中关于用极坐标方程表示的三种计算公式:求平面曲线围成区域面积的第二种极坐标公式;求平面曲线绕x轴(或y轴)旋转一周所得旋转体体积的极坐标公式;求平面曲线绕x轴(或y轴)旋转一周所得旋转体的侧面积的极坐标公式.     

巧用"割补术"一题多解

在解决一些不规则图形问题时 ,往往需要把不规则图形通过分割、补全的方法 ,使其转化为特殊图形 ,如直角三角形、等腰三角形、平行四边形、等腰梯形等 ,从而使问题迎刃而解 .这一过程体现了从一般到特殊的化归思想 .下面用不同的割补方法解一道中考数学题 .图 1例　某片绿地的形状如图 1所示 ,∠Ａ =6 0°,ＡＢ⊥ＢＣ ,ＡＤ⊥ＣＤ ,ＡＢ =2 0 0ｍ ,ＣＤ =1 0 0ｍ .求 :ＡＤ、ＢＣ的长 .( 2 0 0 2 ,天津市中考题 )( 1 )分割图形图 2分析一 :如图 2 ,作矩形ＢＣＥＦ ,解Ｒｔ△ＣＤＥ ,求出ＣＥ、ＤＥ .由ＣＥ =ＢＦ ,有ＡＦ =ＡＢ -ＢＦ =ＡＢ…     

定积分应用中关于极坐标方程表示的几个计算公式

笔者拓广性推导出定积分应用中关于用极坐标方程表示的三种计算公式 :求平面曲线围成区域面积的第二种极坐标公式 ;求平面曲线绕x轴 (或 y轴 )旋转一周所得旋转体体积的极坐标公式 ;求平面曲线绕x轴 (或 y轴 )旋转一周所得旋转体的侧面积的极坐标公式     

一道北京高考立体几何题的错解辨析

20 0 2年全国高考 (北京卷 )的立体几何解答题如下 :图 1　　如图 1,在多面体ＡＢＣＤ -Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中 ,上、下底面平行且均为矩形 ,相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等 ,侧棱延长后相交于Ｅ、Ｆ两点 ,上下底面矩形的长、宽分别为ｃ、ｄ与ａ、ｂ ,且ａ >ｃ ,ｂ>ｄ ,两底面间的距离为ｈ .(1)求侧面ＡＢＢ1Ａ1与底面ＡＢＣＤ所成二面角的大小 ;(2 )证明 :ＥＦ ∥面ＡＢＣＤ ;(3)在估测该多面体的体积时 ,经常运用近似公式Ｖ估 =Ｓ中截面·ｈ来计算 .己知它的体积公式是Ｖ =ｈ6(Ｓ上底面 4Ｓ中截面 Ｓ下底面) .试判断Ｖ估与Ｖ的大小…     

定积分应用中关于参数式的几个计算公式

推广性给出定积分应用中关于用参数方程表示的三种计算公式 :即平面曲线围成区域面积的第二种参数公式 ;求平面曲线绕X轴 (或y轴 )旋转一周所得旋转体体积的参数公式 ;求平面曲线绕X轴 (或y轴 )旋转一周所得旋转体侧面积参数公式。     

空间几何体体积求法例析

研究立体几何,离不开空间几何体的体积的计算．计算几何体的体积。首先要熟练应用几何体的体积公式;同时也要学会运用等价转化思想,会运用“分割与补形”把组合体求体积问题转化为基本几何体的求体积问题;会变换观察角度,进行等体积转化求体积．下面我们举例说明几何体体积的计算技巧．     

定积分应用中关于参数式的几个计算公式

推广性给出定积分应用中关于用参数方程表示的三种计算公式：即平面曲线围成区域面积的第二种参数公式；求平面曲线绕X轴(或y轴)旋转一周所得旋转体体积的参数公式；求平面曲线绕X轴(或y轴)旋转一周所得旋转体侧面积参数公式。     

定积分应用中关于极坐标方程表示的几个计算公式

笔者拓广性推导出定积分应用中关于用极坐标方程表示的三种计算公式：求平面曲线围成区域面积的第二种极坐标公式；求平面曲线绕x轴(或y轴)旋转一周所得旋转体体积的极坐标公式；求平面曲线绕x轴(或y轴)旋转一周所得旋转体的侧面积的极坐标公式。     

三棱柱体积公式的“推广与应用”

特殊几何体的体积问题一般都采取割补法求解,计算通常比较烦琐,本文以三棱柱的体积公式为载体,推导出两种特殊几何体的体积公式,从而较简便地解决这类问题.